三角恒等变换-知识点+例题+练习.doc

两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(2)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(3)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(4)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(5)T()：tan()；(6)T()：tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin 22sin_cos_；(2)C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)T2：tan 2.3有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.4函数f()acos bsin (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos()，其中可由a，b的值唯一确定两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2()()；()；.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等双基自测1(人教A版教材习题改编)下列各式的值为的是()A2cos2 1 B12sin275C. Dsin 15cos 152(2011福建)若tan 3，则的值等于()3已知sin ，则cos(2)等于()4(2011辽宁)设sin，则sin 2()5tan 20tan 40tan 20 tan 40_.考向一三角函数式的化简【例1】化简.审题视点 切化弦，合理使用倍角公式 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向【训练1】 化简：.考向二三角函数式的求值【例2】已知0，且cos，sin，求cos()的值 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系【训练2】 已知，sin ，tan()，求cos 的值考向三三角函数的求角问题【例3】已知cos ，cos()，且0，求. 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好【训练3】 已知，且tan ，tan 是方程x23x40的两个根，求的值考向四三角函数的综合应用【例4】(2010北京)已知函数f(x)2cos 2xsin2x.(1)求f的值；(2)求f(x)的最大值和最小值 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中需要利用这些公式，先把函数解析式化为yAsin(x)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质【训练4】 已知函数f(x)2sin(x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论【示例】 (2011江苏)已知tan 2，则的值为_二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角【示例】 (2011南昌月考)已知tan()，tan ，且，(0，)，求2的值三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向【示例】 (2011温州一模)已知向量a(sin ，2)与b(1，cos )互相垂直，其中.(1)求sin 和cos 的值；(2)若5cos()3cos ，0，求cos 的值 【课后训练】A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2012江西)若tan 4，则sin 2等于()A. B. C. D.2 (2012大纲全国)已知为第二象限角，sin cos ，则cos 2等于()A B C. D.3 已知，都是锐角，若sin ，sin ， 则等于()A. B.C.和 D和4 (2011福建)若，且sin2cos 2，则tan 的值等于()A. B.C. D.二、填空题(每小题5分，共15分)5 cos275cos215cos 75cos 15的值等于_6. _.7sin ，cos ，其中，则_.三、解答题(共22分)8 (10分)已知2tan ，试确定使等式成立的的取值集合9 (12分)已知，且sin cos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2012山东)若，sin 2，则sin 等于()A. B.C. D.2 已知tan()，tan，那么tan等于()A. B.C. D.3 当x时，函数f(x)sin xcos x的()A最大值是1，最小值是1B最大值是1，最小值是C最大值是2，最小值是2D最大值是2，最小值是1二、填空题(每小题5分，共15分)4已知锐角满足cos 2cos，则sin 2_.5已知cos，则_.6 设x，则函数y的最小值为_三、解答题7 (13分)(2012广东)已知函数f(x)2cos(其中0，xR)的最小正周期为10.(1)求的值；(2)设，f，f，求cos()的值