（河南专版）2019年中考数学一轮复习 第六章 空间与图形 6.2 图形的相似（试卷部分）课件.ppt

第六章图形与交换 6 2图形的相似 中考数学 河南专用 A组2014 2018年河南中考题组 五年中考 1 2015河南 10 3分 如图 ABC中 点D E分别在边AB BC上 DE AC 若BD 4 DA 2 BE 3 则EC 答案 解析 DE AC EC 2 2018河南 22 10分 1 问题发现如图1 在 OAB和 OCD中 OA OB OC OD AOB COD 40 连接AC BD交于点M 填空 的值为 AMB的度数为 2 类比探究如图2 在 OAB和 OCD中 AOB COD 90 OAB OCD 30 连接AC交BD的延长线于点M 请判断的值及 AMB的度数 并说明理由 3 拓展延伸在 2 的条件下 将 OCD绕点O在平面内旋转 AC BD所在直线交于点M 若OD 1 OB 请直接写出当点C与点M重合时AC的长 解析 1 1 1分 40 注 若填为40 不扣分 2分 2 AMB 90 注 若无判断 但后续证明正确 不扣分 4分 理由如下 AOB COD 90 OAB OCD 30 又 COD AOD AOB AOD 即 AOC BOD AOC BOD 6分 CAO DBO AOB 90 DBO ABD BAO 90 CAO ABD BAO 90 AMB 90 8分 3 AC的长为2或3 10分 提示 在 OCD旋转过程中 2 中的结论仍成立 即 AMB 90 如图所示 当点C与点M重合时 AC1 AC2的长即为所求 思路分析 1 证明 AOC BOD 得AC BD OAC OBD AMB AOB 40 2 证明 AOC BOD 得 OAC OBD AMB AOB 90 3 作图确定 OCD旋转后点C的两个位置 分别求出BD的长度 根据 得出AC的长 方法规律本题为类比探究拓展问题 首先根据题 1 中的特例感知解决问题的方法 类比探究 可以类比 1 中解法 解 2 中的问题 得出结论 总结解答前两个问题所用的方法和所得结论 依据结论对 3 中的问题分析 通过作图 计算得出结果 问题 3 直接求AC的两个值难度较大 可以先求出BD的两个值 根据 再求出AC的两个值 3 2015河南 22 10分 如图1 在Rt ABC中 B 90 BC 2AB 8 点D E分别是边BC AC的中点 连接DE 将 EDC绕点C按顺时针方向旋转 记旋转角为 1 问题发现 当 0 时 当 180 时 2 拓展探究试判断 当0 360 时 的大小有无变化 请仅就图2的情形给出证明 3 问题解决当 EDC旋转至A D E三点共线时 直接写出线段BD的长 解析 1 1分 2分 2 无变化 3分 在题图1中 DE是 ABC的中位线 DE AB EDC B 90 如题图2 EDC在旋转过程中形状和大小不变 仍然成立 4分 又 ACE BCD ACE BCD 6分 在Rt ABC中 AC 4 的大小不变 8分 3 4或 10分 提示 当 EDC在BC上方 且A D E三点共线时 四边形ABCD为矩形 BD AC 4 当 EDC在BC下方 且A E D三点共线时 ADC为直角三角形 由勾股定理可求得AD 8 AE 6 根据 可求得BD 思路分析 1 根据勾股定理和三角形中位线定理求各线段的长 从而求得 2 EDC绕点C旋转时 在题图1中 ABC EDC 在题图2中 ACE BCD 得到 将求的值转化为求的值 得出结论 3 类比 2 问中的方法 讨论A D E三点共线和A E D三点共线的两种情况求解 考点一相似的性质与判定 B组2014 2018年全国中考题组 1 2017黑龙江哈尔滨 9 3分 如图 在 ABC中 D E分别为AB AC边上的点 DE BC 点F为BC边上一点 连接AF交DE于点G 则下列结论中一定正确的是 A B C D 答案C根据平行线分线段成比例定理可知 所以选项A B D错误 选项C正确 故选C 2 2017陕西 8 3分 如图 在矩形ABCD中 AB 2 BC 3 若点E是边CD的中点 连接AE 过点B作BF AE交AE于点F 则BF的长为 A B C D 答案B由题意得 AFB D BAD 90 FAB DAE 90 FAB ABF 90 ABF DAE ADE BFA 则 即 3 设AF x x 0 则BF 3x 在Rt ABF中 由勾股定理得AF2 BF2 AB2 即x2 3x 2 22 解得x 负值舍去 所以3x 即BF 故选B 思路分析先通过证明 ADE BFA得到AF与BF的数量关系 再在Rt ABF中 由勾股定理建立方程求解 3 2015江苏南京 3 2分 如图 在 ABC中 DE BC 则下列结论中正确的是 A B C D 答案C DE BC ADE ABC 故选项A B错误 根据 相似三角形的周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 可知选项C正确 选项D错误 故选C 4 2015四川绵阳 12 3分 如图 D是等边 ABC边AB上的一点 且AD DB 1 2 现将 ABC折叠 使点C与D重合 折痕为EF 点E F分别在AC和BC上 则CE CF A B C D 答案B设等边 ABC的边长为3 则AD 1 BD 2 由折叠的性质可知 C EDF 60 EDA FDB 120 在 AED中 A 60 AED ADE 120 AED BDF 又 A B AED BDF 又 CE DE CF DF 可得2CE 3CF CE CF CF 3CE CE CF 2CE 3CF CF 3CE 故选B 5 2018安徽 14 5分 矩形ABCD中 AB 6 BC 8 点P在矩形ABCD的内部 点E在边BC上 满足 PBE DBC 若 APD是等腰三角形 则PE的长为 答案3或 解析在矩形ABCD中 AD BC 8 在 ABD中 由勾股定理可得BD 10 AB AD 根据 PBE DBC可知P点在线段BD上 当AD PD 8时 由相似可得 PE 当AP PD时 P点为BD的中点 PE CD 3 故答案为3或 思路分析根据AB AD及已知条件先判断P点在线段BD上 再根据等腰三角形腰的情况分两种情况 AD PD 8 AP PD 再由相似三角形中对应边的比相等求解即可 难点突破判断P点在线段BD上是解答本题的突破口 6 2016江苏南京 15 2分 如图 AB CD相交于点O OC 2 OD 3 AC BD EF是 ODB的中位线 且EF 2 则AC的长为 答案 解析 EF是 ODB的中位线 OE OD EF BD AC BD EF BD AC EF AC 7 2016湖北武汉 16 3分 如图 在四边形ABCD中 ABC 90 AB 3 BC 4 CD 10 DA 5 则BD长为 答案2 解析如图 连接AC 过点D作DE BC 交BC的延长线于E ABC 90 AB 3 BC 4 AC 5 CD 10 DA 5 AC2 CD2 AD2 ACD 90 ACB DCE 90 ACB BAC 90 BAC DCE 又 ABC DEC 90 ABC CED 即 CE 6 DE 8 在Rt BED中 BD 2 8 2018江西 14 6分 如图 在 ABC中 AB 8 BC 4 CA 6 CD AB BD是 ABC的平分线 BD交AC于点E 求AE的长 解析 BD平分 ABC ABD CBD AB CD ABD D ABE CDE CBD D BC CD AB 8 CA 6 CD BC 4 AE 4 思路分析根据角平分线性质和平行线的性质求出 D CBD 进而可得BC CD 4 通过 ABE CDE 得出含AE的比例式 求出AE的值 方法总结证明三角形相似的常见方法 平行于三角形的一边的直线与其他两边或其延长线相交 所构成的三角形与原三角形相似 相似的基本图形可分别记为 A 型和 X 型 如图所示 在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形 9 2016四川南充 24 10分 已知正方形ABCD的边长为1 点P为正方形内一动点 若点M在AB上 且满足 PBC PAM 延长BP交AD于点N 连接CM 1 如图一 若点M在线段AB上 求证 AP BN AM AN 2 如图二 在点P运动过程中 满足 PBC PAM的点M在AB的延长线上时 AP BN和AM AN是否成立 不需说明理由 是否存在满足条件的点P 使得PC 请说明理由 解析 1 证明 PBC PAM PBC PAM 1分 四边形ABCD是正方形 AD BC PBC ANP PAM ANP 2分 PAM PAN 90 ANP PAN 90 APN 90 即AP BN 3分 BAN 90 AP BN BPA BAN 90 ABP NBA ABP NBA 4分 又 PBC PAM 5分 故 又 AB BC AM AN 6分 2 点M在AB的延长线上时 AP BN和AM AN仍然成立 7分 不存在 理由如下 如图 以AB为直径 作半圆O 连接OC OP BC 1 OB OC 8分 AP BN 点P一定在以点O为圆心 为半径的半圆上 A B两点除外 如果存在点P 那么OP PC OC 则PC 9分 故不存在满足条件的点P 使得PC 10分 评析本题是以考查相似三角形为主的综合题 涉及正方形的性质 圆的性质等知识 有一定难度 10 2015山东威海 23 10分 1 如图 已知 ACB DCE 90 AC BC 6 CD CE AE 3 CAE 45 求AD的长 2 如图 已知 ACB DCE 90 ABC CED CAE 30 AC 3 AE 8 求AD的长 图 图 解析 1 连接BE 1分 ACB DCE 90 ACB ACE DCE ACE 即 BCE ACD 又 AC BC DC EC ACD BCE AD BE 3分 AC BC 6 AB 6 4分 BAC CAE 45 BAE 90 在Rt BAE中 AB 6 AE 3 BE 9 AD 9 5分 2 连接BE 6分 在Rt ACB和Rt DCE中 ABC DEC 30 tan30 ACB DCE 90 ACB BCD DCE BCD 即 ACD BCE ACD BCE 8分 BAC 60 CAE 30 BAE 90 在Rt ACB中 AC 3 ABC 30 AB 6 在Rt BAE中 AB 6 AE 8 BE 10 9分 AD 10分 评析求线段长的常见方法 利用相似三角形的性质求线段长 通过解直角三角形 含勾股定理 求线段长 所以对于此类问题要从相似或解直角三角形入手 通过作辅助线等寻找解题思路 1 2015甘肃兰州 5 4分 如图 线段CD两个端点的坐标分别为C 1 2 D 2 0 以原点为位似中心 将线段CD放大得到线段AB 若点B的坐标为 5 0 则点A的坐标为 A 2 5 B 2 5 5 C 3 5 D 3 6 考点二图形的位似 答案B设点A的坐标为 x y 由位似图形的性质知 得x 2 5 y 5 则点A的坐标为 2 5 5 故选B 2 2015江苏镇江 17 3分 如图 坐标原点O为矩形ABCD的对称中心 顶点A的坐标为 1 t AB x轴 矩形A B C D 与矩形ABCD是位似图形 点O为位似中心 点A B 分别是点A B的对应点 k 已知关于x y的二元一次方程组 m n是实数 无解 在以m n为坐标 记为 m n 的所有的点中 若有且只有一个点落在矩形A B C D 的边上 则k t的值等于 A B 1C D 答案D因为方程组无解 所以mn 3 且n 那么以实数m n为坐标的点在反比例函数y 的图象上 且y 矩形A B C D 与矩形ABCD的位似比为k 因为A 1 t 所以A 点的坐标为 k kt C 点的坐标为 k kt 当矩形A B C D 与函数y 的图象有交点时 则交点至少有两个 分别是A k kt C k kt 当kt 时 A C 又n 所以A 不在函数y 的图象上 有且只有C 在函数y 的图象上 即当kt 时 有且只有一个点在矩形A B C D 的边上 评析本题以平面直角坐标系中的位似和方程组的解的存在性为背景 考查了反比例函数的图象与性质 解题关键是运用中心对称的性质 本题属难题 3 2017甘肃兰州 17 4分 如图 四边形ABCD与四边形EFGH位似 位似中心是点O 则 答案 解析 四边形ABCD与四边形EFGH位似 OEF OAB OFG OBC 4 2018安徽 17 8分 如图 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10 10网格中 已知点O A B均为网格线的交点 1 在给定的网格中 以点O为位似中心 将线段AB放大为原来的2倍 得到线段A1B1 点A B的对应点分别为A1 B1 画出线段A1B1 2 将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90 得到线段A2B1 画出线段A2B1 3 以A A1 B1 A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位 解析 1 线段A1B1如图所示 3分 2 线段A2B1如图所示 6分 3 20 8分 提示 根据 1 2 可知四边形AA1B1A2是正方形 边长为 2 以A A1 B1 A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积为 2 2 20 个平方单位 5 2016广西南宁 21 8分 如图 在平面直角坐标系中 已知 ABC三个顶点的坐标分别是A 2 2 B 4 0 C 4 4 1 请画出 ABC向左平移6个单位长度后得到的 A1B1C1 2 以点O为位似中心 将 ABC缩小为原来的 得到 A2B2C2 请在y轴右侧画出 A2B2C2 并求出 A2C2B2的正弦值 解析 1 A1B1C1为所求作三角形 3分 正确作出一个点给1分 2 A2B2C2为所求作三角形 6分 正确作出一个点给1分 根据勾股定理得A2C2 sin A2C2B2 8分 考点一相似的性质与判定 C组教师专用题组 1 2018湖北黄冈 5 3分 如图 在Rt ABC中 ACB 90 CD为AB边上的高 CE为AB边上的中线 AD 2 CE 5 则CD A 2B 3C 4D 2 答案C在Rt ABC中 因为CE为AB边上的中线 所以AB 2CE 2 5 10 又AD 2 所以BD 8 易证 ACD CBD 则CD2 AD DB 2 8 16 所以CD 4 故选C 2 2016重庆 8 4分 ABC与 DEF的相似比为1 4 则 ABC与 DEF的周长比为 A 1 2B 1 3C 1 4D 1 16 答案C因为 ABC与 DEF的相似比为1 4 所以由相似三角形周长的比等于相似比 得 ABC与 DEF的周长比为1 4 故选C 3 2016安徽 8 4分 如图 ABC中 AD是中线 BC 8 B DAC 则线段AC的长为 A 4B 4C 6D 4 答案B由AD是中线可得DC BC 4 B DAC C C ADC BAC AC2 BC DC 8 4 32 AC 4 故选B 评析本题考查了相似三角形的判定与性质及三角形的中线 属容易题 4 2016广西南宁 11 3分 有3个正方形如图所示放置 阴影部分的面积依次记为S1 S2 则S1 S2等于 A 1 B 1 2C 2 3D 4 9 答案D如图所示 由题意可知AG GE EF BH HC BC 设DE a 则AG2 GE2 EF2 2a2 则AE2 4a2 即AE 2a AD 3a HC a S1 a2 S2 a2 S1 S2 4 9 5 2016黑龙江哈尔滨 9 3分 如图 在 ABC中 D E分别为AB AC边上的点 DE BC BE与CD相交于点F 则下列结论一定正确的是 A B C D 答案A DE BC ADE ABC 故选项A正确 故选A 6 2015山东聊城 7 3分 下列命题中的真命题是 A 两边和一角分别相等的两个三角形全等B 相似三角形的面积比等于相似比C 正方形不是中心对称图形D 圆内接四边形的对角互补 答案DA项 在两边和一角中 当角为两边中一边的对角时 这两个三角形不一定全等 故本选项错误 B项 相似三角形面积比等于相似比的平方 故本选项错误 C项 正方形是中心对称图形 故本选项错误 D项 圆内接四边形对角互补 故本选项正确 故选D 7 2014河北 13 3分 在研究相似问题时 甲 乙同学的观点如下 对于两人的观点 下列说法正确的是 A 两人都对B 两人都不对C 甲对 乙不对D 甲不对 乙对 答案A由题意知新三角形与原三角形的对应角相等 所以两个三角形相似 甲的观点正确 新矩形与原矩形的对应角相等 但对应边的比并不相等 所以新矩形与原矩形不相似 乙的观点也正确 故选A 8 2014贵州贵阳 7 3分 如图 在方格纸中 ABC和 EPD的顶点均在格点上 要使 ABC EPD 则点P所在的格点为 A P1B P2C P3D P4 答案C由题图可知 E A 90 要使 ABC EPD 则 2 所以EP 2AB 6 点P所在的格点为P3 故选C 评析本题考查相似三角形的判定 设计巧妙 属容易题 9 2018云南 5 3分 如图 已知AB CD 若 则 答案 解析 AB CD A C B D AOB COD 10 2018辽宁沈阳 16 3分 如图 ABC是等边三角形 AB 点D是边BC上一点 点H是线段AD上一点 连接BH CH 当 BHD 60 AHC 90 时 DH 答案 解析延长AD至点E 使得HE BH 连接BE CE BHD 60 BHE是等边三角形 BH BE HE BEH 60 ABC是等边三角形 AB BC ABC 60 ABH CBE ABH CBE BEC BHA 120 HEC 60 CH AD CHE 90 设BH x x 0 则HE x CH x 过点B作BG HE于G 则BG x EG BGD CHD 90 又 BDG CDH BDG CDH BC CD 又DH GH HE 由勾股定理得 DH2 CH2 CD2 即 x 2 解得x 1 DH 疑难突破此类题型中 可根据等边三角形 60 这些条件 通过补全小等边三角形 构造全等三角形 从而实现线段的转化 11 2017黑龙江哈尔滨 20 3分 如图 在矩形ABCD中 M为BC边上一点 连接AM 过点D作DE AM 垂足为E 若DE DC 1 AE 2EM 则BM的长为 答案 解析 BAM EAD 90 EAD EDA 90 BAM EDA 又 B AED 90 ADE MAB 即 AE BM 由AE 2EM可设AE 2x EM x x 0 则BM 2x 在Rt ABM中 由勾股定理可知 2x x 2 12 2x 2 解得x 舍负 BM 2x 12 2016辽宁沈阳 16 3分 如图 在Rt ABC中 A 90 AB AC BC 20 DE是 ABC的中位线 点M是边BC上一点 BM 3 点N是线段MC上的一个动点 连接DN ME DN与ME相交于点O 若 OMN是直角三角形 则DO的长是 答案或 解析 A 90 AB AC BC 20 AB AC 10 DE是 ABC的中位线 DE BC DE BC 10 BD CE 5 当DN BC时 OMN为直角三角形 如图 易知 BDN为等腰直角三角形 BN DN 5 BM 3 MN 2 DE BC ODE ONM 即 解得OD 当DN ME时 OMN为直角三角形 如图 过点E作EF BC 垂足为点F 易知 CEF为等腰直角三角形 EF FC 5 BM 3 MF 20 3 5 12 在Rt MFE中 ME 13 DE BC DEO EMF DOE EFM 90 ODE FEM 即 解得OD 综上所述 DO的长是或 评析对于几何探究型问题 分类讨论思想是重点考查内容 本题中 要对 OMN分两种情况进行讨论 一是 ONM为直角时 二是 MON为直角时 13 2015山东临沂 18 3分 如图 在 ABC中 BD CE分别是边AC AB上的中线 BD与CE相交于点O 则 答案2 解析连接DE BD CE分别是AC AB边上的中线 DE为 ABC的中位线 DE BC DE BC OBC ODE 2 14 2015重庆 15 4分 已知 ABC DEF ABC与 DEF的相似比为4 1 则 ABC与 DEF对应边上的高之比为 答案4 1 解析两个相似三角形对应边上的高之比等于相似比 所以答案是4 1 15 2014四川成都 12 4分 如图 为估计池塘岸边A B两点间的距离 在池塘的一侧选取点O 分别取OA OB的中点M N 测得MN 32m 则A B两点间的距离是m 答案64 解析由题意易知MN为 OAB的中位线 根据三角形中位线的性质可得AB 2MN 2 32 64m 故答案为64 16 2018云南昆明 23 12分 如图1 在矩形ABCD中 P为CD边上一点 DP CP APB 90 将 ADP沿AP翻折得到 AD P PD 的延长线交边AB于点M 过点B作BN MP交DC于点N 1 求证 AD2 DP PC 2 请判断四边形PMBN的形状 并说明理由 3 如图2 连接AC 分别交PM PB于点E F 若 求的值 解析 1 证明 在矩形ABCD中 AD BC C D 90 DAP APD 90 APB 90 CPB APD 90 DAP CPB 1分 ADP PCB 2分 AD CB DP PC AD BC AD2 DP PC 3分 2 四边形PMBN为菱形 理由如下 4分 在矩形ABCD中 CD AB BN PM 四边形PMBN为平行四边形 ADP沿AP翻折得到 AD P APD APM CD AB APD PAM APM PAM 6分 APB 90 PAM PBA 90 APM BPM 90 又 APM PAM PBA BPM PM MB 又 四边形PMBN为平行四边形 四边形PMBN为菱形 7分 3 解法一 APM PAM PM AM PM MB AM MB 四边形ABCD为矩形 CD AB且CD AB 设DP a 则AD 2DP 2a 由AD2 DP PC得PC 4a DC AB 5a 8分 MA MB CD AB ABF CPF BAF PCF BFA PFC 9分 同理可得 MEA PEC 10分 11分 12分 解法二 过点F作FG PM 交MB于点G APM PAM PM AM PM MB AM MB 四边形ABCD为矩形 CD AB且CD AB 设DP a 则AD 2DP 2a 由AD2 DP PC得PC 4a DC AB 5a 8分 MA MB CD AB CPF ABF PCF BAF PFC BFA 9分 FG PM 10分 AM MB FG PM 12分 思路分析 1 根据矩形的性质以及所给条件 证明 ADP PCB 从而得AD2 DP PC 2 由翻折得 APD APM 由等角的余角相等得 PBA BPM 从而得PM MB 进而易得四边形PMBN为菱形 3 解法一 设DP a 则可求得AD 2a PC 4a AB 5a 由CD AB 可得 BFA PFC MEA PEC 所以 进而可得的值 解法二 过点F作FG PM 交MB于点G 设DP a 可求得AD 2a PC 4a AB 5a MA MB 根据CD AB FG PM AM MB这些条件可求得的值 解题关键本题主要考查了矩形的性质 轴对称 菱形的判定 相似三角形的判定与性质等知识 题目综合性强 计算量大 属难题 解题的关键在于从复杂的条件中确定解决问题所需的条件 进而推理 论证 计算 使题目得以解答 17 2017安徽 23 14分 已知正方形ABCD 点M为边AB的中点 1 如图1 点G为线段CM上的一点 且 AGB 90 延长AG BG分别与边BC CD交于点E F 求证 BE CF 求证 BE2 BC CE 2 如图2 在边BC上取一点E 满足BE2 BC CE 连接AE交CM于点G 连接BG并延长交CD于点F 求tan CBF的值 图1图2 解析 1 证明 四边形ABCD为正方形 AB BC ABC BCF 90 又 AGB 90 BAE ABG 90 又 ABG CBF 90 BAE CBF ABE BCF ASA BE CF 4分 证明 AGB 90 点M为AB的中点 MG MA MB GAM AGM 又 CGE AGM 从而 CGE CBG 又 ECG GCB CGE CBG 即CG2 BC CE 由 CFG GBM BGM CGF 得CF CG 由 知 BE CF BE CG BE2 BC CE 9分 2 解法一 延长AE DC交于点N 如图1 图1 四边形ABCD是正方形 AB CD N EAB 又 CEN BEA CEN BEA 故 即BE CN AB CE AB BC BE2 BC CE CN BE 由AB DN知 又AM MB FC CN BE 不妨令正方形的边长为1 设BE x 则由BE2 BC CE 得x2 1 1 x 解得x1 x2 舍去 于是tan CBF 14分 解法二 不妨令正方形的边长为1 设BE x 则由BE2 BC CE 得x2 1 1 x 解得x1 x2 舍去 即BE 作GN BC交AB于N 如图2 图2则 MNG MBC 设MN y 则GN 2y GM y 即 解得y GM 从而GM MA MB 此时点G在以AB为直径的圆上 AGB是直角三角形 且 AGB 90 由 1 知BE CF 于是tan CBF 14分 18 2016福建福州 25 12分 如图 在 ABC中 AB AC 1 BC 在AC边上截取AD BC 连接BD 1 通过计算 判断AD2与AC CD的大小关系 2 求 ABD的度数 解析 1 AD BC AD2 AC 1 CD 1 AD2 AC CD 2 AD2 AC CD AD BC BC2 AC CD 即 又 C C ABC BDC 又AB AC BD BC AD A ABD ABC C BDC 设 A ABD x 则 BDC A ABD 2x ABC C BDC 2x A ABC C x 2x 2x 180 解得x 36 ABD 36 评析本题主要考查相似三角形的性质和判定 等腰三角形的性质 三角形内角和定理的应用 证得 ABC BDC是解题的关键 19 2016湖北武汉 23 10分 在 ABC中 P为边AB上一点 1 如图1 若 ACP B 求证 AC2 AP AB 2 若M为CP的中点 AC 2 如图2 若 PBM ACP AB 3 求BP的长 如图3 若 ABC 45 A BMP 60 直接写出BP的长 图1 图2图3 解析 1 证明 ACP B A A ACP ABC 2分 AC2 AP AB 3分 2 解法一 延长PB至点D 使BD PB 连接CD M为CP的中点 CD MB D PBM 4分 PBM ACP D PBM ACP 由 1 得AC2 AP AD 5分 设BP x 则22 3 x 3 x 解得x 舍去负根 即BP 7分 解法二 取AP的中点E 连接EM M为CP的中点 ME AC EM AC 1 4分 PME ACP PBM ACP PME PBM 由 1 得EM2 EP EB 5分 设BP x 则12 解得x 舍去负根 即BP 7分 BP 1 10分 20 2015江苏连云港 25 10分 如图 在 ABC中 ABC 90 BC 3 D为AC延长线上一点 AC 3CD 过点D作DH AB 交BC的延长线于点H 1 求BD cos HBD的值 2 若 CBD A 求AB的长 解析 1 DH AB BHD ABC 90 ACB DCH ABC DHC AC 3CD BC 3 CH 1 BH BC CH 4 在Rt BHD中 cos HBD BDcos HBD BH 4 4分 2 解法一 A CBD ABC BHD ABC BHD 6分 ABC DHC AB 3DH DH 2 AB 6 10分 解法二 CBD A BDC ADB CDB BDA BD2 CD AD BD2 CD 4CD 4CD2 BD 2CD 6分 CDB BDA AB 6 10分 21 2015安徽 23 14分 如图1 在四边形ABCD中 点E F分别是AB CD的中点 过点E作AB的垂线 过点F作CD的垂线 两垂线交于点G 连接GA GB GC GD EF 若 AGD BGC 1 求证 AD BC 2 求证 AGD EGF 3 如图2 若AD BC所在直线互相垂直 求的值 解析 1 证明 由题意知GE垂直平分AB GA GB 同理 GD GC 在 AGD和 BGC中 GA GB AGD BGC GD GC AGD BGC AD BC 5分 2 证明 AGD BGC AGB DGC 在 AGB和 DGC中 AGB DGC AGB DGC 8分 又 AGE DGF AGD EGF AGD EGF 10分 3 如图1 延长AD交GB于点M 交BC的延长线于点H 则AH BH 图1 由 AGD BGC 知 GAD GBC 在 GAM和 HBM中 GAD GBC GMA HMB AGB AHB 90 12分 AGE AGB 45 又 AGD EGF 14分 本小题解法有多种 如可按图2和图3作辅助线求解 过程略 图2图3 评析本题综合考查了等腰直角三角形的性质 直角三角形斜边中线 三角形全等和相似的判定方法和性质 属于拓展探索型题 学生要有较强的基本功和综合分析问题的能力 22 2015福建福州 25 13分 如图 在锐角 ABC中 D E分别为AB BC中点 F为AC上一点 且 AFE A DM EF交AC于点M 1 求证 DM DA 2 点G在BE上 且 BDG C 如图 求证 DEG ECF 3 在图 中 取CE上一点H 使 CFH B 若BG 1 求EH的长 解析 图 1 证明 DM EF AMD AFE AFE A AMD A DM DA 2 证明 D E分别为AB BC的中点 DE AC 图 DEB C BDE A 又 AFE A BDE AFE BDG GDE C FEC BDG C EDG FEC DEG ECF 图 3 解法一 如图 所示 BDG C DEB B B BDG BED 即BD2 BE BG A AFE B CFH C 180 AFE CFH EFH 又 FEH CEF EFH ECF 即EF2 EH EC DE AC DM EF 四边形DEFM是平行四边形 EF DM AD BD BE EC EH BG 1 解法二 如图 在DG上取一点N 使DN FH 图 A AFE ABC CFH C BDG EFH 180 AFE CFH C BDG DE AC DM EF 四边形DEFM是平行四边形 EF DM AD BD BDN EFH BN EH BND EHF BNG FHC BDG C DBG CFH BGD FHC BNG BGD BN BG EH BG 1 解法三 如图 取AC中点P 连接PD PE PH 则PE AB 图 PEC B 又 CFH B PEC CFH 又 C C CEP CFH CEF CPH CFE CHP 由 2 可得 CFE DGE CHP DGE PH DG D P分别为AB AC的中点 DP GH DP BC BE 四边形DGHP是平行四边形 DP GH BE EH BG 1 解法四 如图 作 EHF的外接圆交AC于另一点P 连接PE PH 图 则 HPC HEF FHC CPE B CFH C C A CHF A CPE PE AB DE AC 四边形ADEP是平行四边形 DE AP AC DE CP 由 2 可得 GDE CEF DEB C GDE CPH DEG PCH GE HC EH BG 1 图 解法五 如图 取AC中点P 连接PE PH 则PE AB PEC B 又 CFH B PEC CFH 又 C C CEP CFH CEF CPH CEF CPH 由 2 可得 CEF EDG C DEG D E分别是AB BC的中点 DE AC PC DEG PCH CH EG EH BG 1 1 2017四川成都 8 3分 如图 四边形ABCD和A B C D 是以点O为位似中心的位似图形 若OA OA 2 3 则四边形ABCD与四边形A B C D 的面积比为 A 4 9B 2 5C 2 3D 考点二图形的位似 答案A由位似图形的性质知 所以 故选A 2 2015甘肃兰州 17 4分 如果 k b d f 0 且a c e 3 b d f 那么k 答案3 解析由题意得a bk c dk e fk 则a c e k b d f 3 b d f 故k 3 3 2015天津 16 3分 如图 在 ABC中 DE BC 分别交AB AC于点D E 若AD 3 DB 2 BC 6 则DE的长为 答案 解析 DE BC ADE ABC DE 4 2018陕西 20 7分 周末 小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽 测量时 他们选择了河对岸岸边的一棵大树 将其底部作为点A 在他们所在的岸边选择了点B 使得AB与河岸垂直 并在B点竖起标杆BC 再在AB的延长线上选择点D 竖起标杆DE 使得点E与点C A共线 已知 CB AD ED AD 测得BC 1m DE 1 5m BD 8 5m 测量示意图如图所示 请根据相关测量信息 求河宽AB 解析 CB AD ED AD ABC ADE 90 BAC DAE ABC ADE 3分 5分 BC 1m DE 1 5m BD 8 5m AB 17m 河宽AB为17m 7分 思路分析首先根据 ABC ADE BAC DAE判定 ABC ADE 再根据相似三角形的性质得出 进而可求得AB的值 方法指导解与三角形有关的实际应用题时应注意的事项 审题 结合图形通读题干 第一时间锁定采用的知识点 如 观察题图是否含有已知度数的角 如果含有 考虑利用锐角三角函数解题 如果仅涉及三角形的边长 则采用相似三角形的性质解题 筛选信息 由于实际问题文字阅读量较大 因此筛选有效信息尤为关键 构造图形 只要是与三角形有关的实际问题都会涉及图形的构造 如果题干中给出了相应的图形 则可直接利用所给图形进行计算 必要时可添加辅助线 若未给出图形 则需要通过 中获取的信息构造几何图形进行解题 5 2015宁夏 20 6分 在平面直角坐标系中 ABC的三个顶点坐标分别为A 2 4 B 3 2 C 6 3 1 画出 ABC关于x轴对称的 A1B1C1 2 以M点为位似中心 在网格中画出 A1B1C1的位似图形 A2B2C2 使 A2B2C2与 A1B1C1的相似比为2 1 解析 1 如图所示 3分 2 如图所示 6分 考点一相似的性质与判定1 2017郑州二模 6 如图 两条直线l4 l5分别被三条平行直线l1 l2 l3所截 若AB 3 BC 6 DE 2 则DF的长为 A 4B 5C 6D 7 三年模拟 A组2016 2018年模拟 基础题组 答案C l1 l2 l3 EF 4 DF DE EF 6 故选C 2 2016安阳一模 6 如图 AB CD AD与BC相交于点O 若AO 2 DO 4 BO 3 则BC的长为 A 6B 9C 12D 15 答案B AB CD CO 6 BC BO OC 3 6 9 故选B 3 2018郑州二模 13 如图 在 ABC中 C 90 D是AC上一点 DE AB于点E 若AC 8 BC 6 DE 3 则AD的长为 答案5 解析在Rt ABC中 AB 10 DE AB AED 90 C AED AED ACB AD 5 4 2017开封一模 12 如图 在 ABC中 DE AC 则DE AC 答案5 8 解析在 ABC中 DE AC BDE BAC 5 2016郑州一模 10 已知四条线段a b c d是成比例线段 即 其中a 3cm b 2cm c 6cm 则d cm 答案4 解析因为a 3cm b 2cm c 6cm 所以 所以d 4cm 6 2018信阳一模 22 1 问题发现 如图 在等边三角形ABC中 点M为BC边上异于B C的一点 以AM为边作等边三角形AMN 连接CN NC与AB的位置关系为 2 深入探究 如图 在等腰三角形ABC中 BA BC 点M为BC边上异于B C的一点 以AM为边作等腰三角形AMN 使 ABC AMN AM MN 连接CN 试探究 ABC与 ACN的数量关系 并说明理由 3 拓展延伸 如图 在正方形ADBC中 AD AC 点M为BC边上异于B C的一点 以AM为边作正方形AMEF 点N为正方形AMEF的中心 连接CN 若BC 10 CN 试求EF的长 解析 1 NC AB 2 ABC ACN 理由如下 1且 ABC AMN ABC AMN AB BC BAC 180 ABC AM MN MAN 180 AMN BAC MAN BAM CAN ABM ACN ABC ACN 3 如图 连接AB AN 四边形ADBC AMEF为正方形 点N为正方形AMEF的中点 ABC BAC 45 MAN 45 BAC MAC MAN MAC 即 BAM CAN ABM ACN BM CN 2 CM BC BM 8 在Rt AMC中 AM 2 EF AM 2 思路分析 1 根据 ABC AMN为等边三角形 运用判定定理SAS证明 BAM CAN 即可得到 B ACN BAC 得出NC AB 2 根据条件判定 ABC AMN 根据相似三角形的性质得到 又 BAM CAN 证明 ABM CAN 得到 ABC ACN 3 连接AB AN 类比第 2 问解题过程 根据正方形的性质证明 ABM ACN 根据相似三角形的性质得出 得到BM 2 CM 8 再根据勾股定理即可得到答案 7 2017濮阳一模 22 1 问题发现如图1 在Rt ABC中 AB AC 2 BAC 90 点D为BC的中点 以CD为一边作正方形CDEF 点E恰好与点A重合 则线段BE与AF的数量关系为 2 拓展探究在 1 的条件下 如果正方形CDEF绕点C旋转 连接BE CE AF 线段BE与AF的数量关系有无变化 请仅就图2的情形给出证明 3 问题解决当正方形CDEF旋转到B E F三点共线时 直接写出线段AF的长 解析 1 BE AF 2 无变化 证明 在Rt ABC中 BAC 90 AB AC ACB 45 四边形CDEF是正方形 FCE 45 ACB FCE ACB ACE FCE ACE 即 ECB FCA ECB FCA 即BE AF 3 AF 1或AF 1 8 2016许昌一模 22 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB于点D 点E是直线AC上一动点 连接DE 过点D作FD ED 交直线BC于点F 1 探究发现 如图1 若m n 点E在线段AC上 则 2 数学思考 如图2 若点E在线段AC上 则 用含m n的代数式表示 当点E在直线AC上运动时 中的结论是否仍然成立 请仅根据图3的情形给出证明 3 拓展应用 若AC BC 2 DF 4 请直接写出CE的长 解析 1 1 2 成立 证明如下 ACB 90 A ABC 90 CD AB DCB ABC 90 A DCB FDE ADC 90 FDE CDE ADC CDE 即 ADE CDF ADE CDF A A ADC ACB 90 ADC ACB 3 CE的长为2或 1 2017重庆江津一模 6 在平面直角坐标系中 ABC顶点A的坐标是 2 3 若以原点O为位似中心 画三角形ABC的位似图形 A B C 使 ABC与 A B C 的相似比为 则A 的坐标为 A B C 或D 或 考点二图形的位似 答案C 解析 ABC与 A B C 的相似比为 A B C 与 ABC的相似比为 位似中心为原点O A 或A 即A 或A 故选C 1 2017安阳一模 10 在平面直角坐标系中 已知点A 2 4 点B在直线OA上 且OA 2OB 则点B的坐标是 A 1 2 B 1 2 C 4 8 D 1 2 或 1 2 B组2016 2018年模拟 提升题组 时间 35分钟分值 25分 一 选择题 每小题3分 共9分 答案D 点B在直线OA上 且OA 2OB OB与OA的位似比为 A 2 4 点B的坐标为 1 2 或 1 2 故选D 思路分析在平面直角坐标系中 位似比为1 2的点的坐标有两个 2 2016焦作一模 7 如图 在 ABCD中 点E是边AD的中点 EC交对角线BD于点F 则EF FC等于 A 3 2B 3 1C 1 1D 1 2 答案D在 ABCD中 AD BC AD BC E为AD的中点 ED AD BC AD BC EFD CFB 故选D 思路分析根据平行四边形的性质知AD BC 得 EFD CFB 从而得EF FC ED BC 1 2 3 2016新乡一模 7 如图 在 ABC中 AD平分 BAC 按如下步骤作图 第一步 分别以点A和D为圆心 大于AD的长为半径作弧 两弧相交于M N两点 第二步 作直线MN 分别交AB AC于点E F 第三步 连接DE DF 若BD 6 AF 4 CD 3 则BE的长是 A 2B 4C 6D 8 答案D由MN的作法可知 MN是AD的垂直平分线 根据垂直平分线的性质有AE ED AF DF 所以 AFD和 AED是等腰三角形 所以 1 2 3 4 又因为AD平分 BAC 所以 1 3 所以 1 2 3 4 所以ED AC AE FD 所以四边形AEDF是平行四边形 因为AE DE 所以平行四边形AEDF为菱形 所以AE ED DF AF 4 因为ED AC 所以 BED BAC 所以 所以 解得BE 8 经检验BE 8为原方程的解 故选D 思路分析由作法知四边形AEDF是菱形 则DE AC AE AF 4 由 BED BAC求得BE的长 4 2017郑州一模 12 如图 在 ABC中 D E分别是AB和AC上的点 且DE BC 如果AB 12cm AD 9cm AC 8cm 那么AE的长是 二 填空题 每小题3分 共6分 答案6cm 解析 DE BC ADE ABC AE 6cm 思路分析根据DE BC得到 ADE ABC 由相似的性质求得AE的长 5 2017南阳一模 14 如图 等边 ABC被一平行于BC的矩形所截 AB被截成三等份 若BC a 则图中阴影部分的面积是 答案a2 解析由题意知EH FG BC 由AB被截成三等份 得AH HG GC AE EF FB 所以S ABG S ABC S阴影 S ABG S ABC 在等边 ABC中 BC a 所以S阴影 a2 6 2016新乡二模 22 10分 问题背景 已知在 ABC中 AB边上的动点D由A向B运动 与A B不重合 同时 点E由点C沿BC的延长线方向运动 E不与C重合 连接DE交AC于点F 点H是线段AF上一点 求的值 1 初步尝试如图1 若 ABC是等边三角形 DH AC 且点D E的运动速度相等 小王同学发现可以过点D作DG BC 交AC于点G 先证GH AH 再证GF CF 从而求得的值为 2 类比探究如图2 若在 ABC中 ABC 90 ADH BAC 30 且点D E的运动速度之比是 1 求的值 三 解答题 共10分 图1图2图3 3 延伸拓展如图3 若在 ABC中 AB AC ADH BAC 36 记 m 且点D E的运动速度相等 试用含m的代数式表示的值 直接写出结果 不必写解答过程 解析 1 2 2 如图 过点D作DG BC 交AC于点G 则 ADG B 90 BAC ADH 30 AH DH HGD HDG 60 GH DH AD GD AH GH 由题意可知 AD CE GD CE DG BC GDF CEF DGF ECF GDF CEF GF CF GH GF AH CF 即HF AH CF 2 3 思路分析 1 根据题意构造全等三角形 得GF CF 由等边三角形的性质得AH GH 从而求得的值 2 类比第 1 问构造全等三角形 结合含30 角的直角三角形的三边之比为1 2 表示GD AD AG的关系 求出的值 3 类比 1 和 2 的解法 得到相似三角形 则 m m 所以 解题关键作DG BC 构造全等三角形或相似三角形 结合全等或相似的性质 表示并计算边与边 线段与线段间的数量关系