（河北专版）2019年中考数学一轮复习 第五章 图形的认识 5.2 三角形与等腰三角形（试卷部分）课件.ppt

5 2三角形与等腰三角形 中考数学 河北专用 1 2018河北 1 3分 下列图形具有稳定性的是 A组2014 2018年河北中考题组 五年中考 答案A三角形具有稳定性 故选A 2 2018河北 6 3分 尺规作图要求 过直线外一点作这条直线的垂线 作线段的垂直平分线 过直线上一点作这条直线的垂线 作角的平分线 下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图 则正确的配对是 A B C D 答案D根据尺规作图的方法可知正确的配对是 故选D 3 2018河北 8 3分 已知 如图 点P在线段AB外 且PA PB 求证 点P在线段AB的垂直平分线上 在证明该结论时 需添加辅助线 则作法不正确的是 A 作 APB的平分线PC交AB于点CB 过点P作PC AB于点C且AC BCC 取AB中点C 连接PCD 过点P作PC AB 垂足为C 答案B无论作 APB的平分线PC交AB于点C 还是取AB中点C 连接PC或过点P作PC AB 垂足为C 都可以通过等腰三角形三线合一得出结论 选项A C D的作法正确 故选B 4 2017河北 10 3分 如图 码头A在码头B的正西方向 甲 乙两船分别从A B同时出发 并以等速驶向某海域 甲的航向是北偏东35 为避免行进中甲 乙相撞 则乙的航向是 A 北偏东55 B 北偏西55 C 北偏东35 D 北偏西35 答案D因为甲 乙两船分别从A B同时出发 并以等速驶向某海域 所以相撞时航行的路程相等 也就是说以相撞点与A B为顶点的三角形是等腰三角形 由于甲的航向是北偏东35 为避免行进中甲 乙相撞 所以乙的航向不能是北偏西35 故选D 5 2016河北 10 3分 如图 已知钝角 ABC 依下列步骤尺规作图 并保留作图痕迹 步骤1 以C为圆心 CA为半径画弧 步骤2 以B为圆心 BA为半径画弧 交弧 于点D 步骤3 连接AD 交BC延长线于点H 下列叙述正确的是 A BH垂直平分线段ADB AC平分 BADC S ABC BC AHD AB AD 答案A由作图可知点B C到线段AD的两个端点的距离分别相等 点B C都在线段AD的垂直平分线上 即BC垂直平分线段AD 故选A 解题关键本题考查作图 线段的垂直平分线的性质等知识 解题的关键是掌握线段垂直平分线的证明方法 6 2016河北 16 2分 如图 AOB 120 OP平分 AOB 且OP 2 若点M N分别在OA OB上 且 PMN为等边三角形 则满足上述条件的 PMN有 A 1个B 2个C 3个D 3个以上 答案D如图所示 过点P分别作OA OB的垂线 垂足分别为C D 连接CD 则 PCD为等边三角形 在OC DB上分别取M N 使CM DN 则 PCM PDN 所以 CPM DPN PM PN MPN 60 则 PMN为等边三角形 因为满足CM DN的M N有无数个 所以满足题意的三角形有无数个 解题关键本题考查等边三角形的判定和性质 全等三角形的判定和性质等知识 解题的关键是正确添加辅助线 7 2015河北 15 2分 如图 点A B为定点 定直线l AB P是l上一动点 点M N分别为PA PB的中点 对于下列各值 线段MN的长 PAB的周长 PMN的面积 直线MN AB之间的距离 APB的大小 其中会随点P的移动而变化的是 A B C D 答案B 点M N分别为PA PB的中点 无论点P怎样移动 总有MN AB 直线l与直线MN的距离及直线MN AB之间的距离不变 所以 中的值不变 随着点P的移动 点P与点A B的距离及 APB的大小发生变化 故选B 8 2014河北 2 2分 如图 ABC中 D E分别是边AB AC的中点 若DE 2 则BC A 2B 3C 4D 5 答案C易知DE BC DE 2 BC 4 故选C 9 2014河北 4 2分 如图 平面上直线a b分别过线段OK两端点 数据如图 则a b相交所成的锐角是 A 20 B 30 C 70 D 80 答案B设直线a b相交于点M 则100 角为三角形OKM的外角 由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 得直线a b相交所成的锐角是100 70 30 故选B 10 2014河北 12 3分 如图 已知 ABC AC BC 用尺规在BC上确定一点P 使PA PC BC 则符合要求的作图痕迹是 答案D由选项A可得PB AB 所以BC AB PC 由选项B可得PA PC 所以BC PB PA 由选项C可得PC AC 所以BC PB AC 由选项D可得PB PA 所以BC PA PC 故选D 11 2017河北 17 3分 如图 A B两点被池塘隔开 不能直接测量其距离 于是 小明在岸边选一点C 连接CA CB 分别延长到点M N 使AM AC BN BC 测得MN 200m 则A B间的距离为m 答案100 解析 AM AC BN BC AB是 CMN的中位线 AB MN MN 200m AB 100m 12 2017河北 18 3分 如图 依据尺规作图的痕迹 计算 答案56 解析如图 四边形ABCD是矩形 AD BC DAC ACB 68 由作法可知AF是 DAC的平分线 EAF DAC 34 由作法可知 EF是线段AC的垂直平分线 AEF 90 AFE 90 34 56 56 思路分析由矩形的性质得AD BC 可得出 DAC的度数 由作法可知AF为 DAC的平分线 从而求出 EAF的度数 又可知EF为线段AC的垂直平分线 从而得出 AEF的度数 根据三角形内角和定理得出 AFE的度数 进而可得出 的度数 解题关键熟悉角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键 13 2015河北 20 3分 如图 BOC 9 点A在OB上 且OA 1 按下列要求画图 以A为圆心 1为半径向右画弧交OC于点A1 得第1条线段AA1 再以A1为圆心 1为半径向右画弧交OB于点A2 得第2条线段A1A2 再以A2为圆心 1为半径向右画弧交OC于点A3 得第3条线段A2A3 这样画下去 直到得第n条线段 之后就不能再画出符合要求的线段了 则n 答案9 解析由题意可知 AO A1A A1A A2A1 则 AOA1 OA1A A1AA2 A1A2A BOC 9 A1AB 2 9 18 A2A1C 27 A3A2B 36 A4A3C 45 9 n 1 90 解得n 9 思路分析根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得 A1AB的度数 A2A1C的度数 A3A2B的度数 A4A3C的度数 依此得到规律 再根据三角形的内角最多有一个大于或等于90 的角 即可求得n的值 B组2014 2018年全国中考题组 考点一三角形的有关概念 1 2018贵州贵阳 2 3分 如图 在 ABC中有四条线段DE BE EF FG 其中有一条线段是 ABC的中线 则该线段是 A 线段DEB 线段BEC 线段EFD 线段FG 答案B连接三角形一个顶点和它对边中点 所得的线段叫做三角形这条边上的中线 从图形中看出 线段DE EF FG都不经过 ABC的顶点 仅有线段BE经过 ABC的顶点B 所以线段BE是 ABC的中线 故选B 2 2017湖南长沙 5 3分 一个三角形三个内角的度数之比为1 2 3 则这个三角形一定是 A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰直角三角形 答案B根据三角形的内角和为180 可知三个角分别为30 60 90 因此这个三角形是直角三角形 故选B 3 2016陕西 6 3分 如图 在 ABC中 ABC 90 AB 8 BC 6 若DE是 ABC的中位线 延长DE交 ABC的外角 ACM的平分线于点F 则线段DF的长为 A 7B 8C 9D 10 答案B DE是 ABC的中位线 DE BC DE BC 3 EFC FCM AB 8 BC 6 ABC 90 AC 10 E是AC的中点 EC AC 5 CF平分 ACM ACF FCM ACF EFC EF EC 5 DF DE EF 8 故选B 解题关键本题考查三角形的中位线 角平分线 平行线等知识 属于容易题 4 2015四川绵阳 5 3分 如图 在 ABC中 B C的平分线BE CD相交于点F ABC 42 A 60 则 BFC A 118 B 119 C 120 D 121 答案C在 ABC中 ACB 180 A ABC 180 60 42 78 BE CD分别平分 ABC ACB FBC ABC 21 FCB ACB 39 BFC 180 FBC FCB 180 21 39 120 故选C 解题关键本题主要考查三角形内角和定理 角平分线的概念 属容易题 5 2014江苏连云港 6 3分 如图 若 ABC和 DEF的面积分别为S1 S2 则 A S1 S2B S1 S2C S1 S2D S1 S2 答案C如图 过点A作AM BC于点M 过点D作DN EF交FE的延长线于点N S1 BC AM 8 5 sin40 S2 EF DN 5 8 sin40 所以S1 S2 故选C 6 2018福建 13 4分 如图 Rt ABC中 ACB 90 AB 6 D是AB的中点 则CD 答案3 解析依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线 由 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 可得CD AB 3 7 2016江苏南京 21 8分 用两种方法证明 三角形的外角和等于360 如图 BAE CBF ACD是 ABC的三个外角 求证 BAE CBF ACD 360 证法1 BAE 1 CBF 2 ACD 3 180 3 540 BAE CBF ACD 540 1 2 3 BAE CBF ACD 540 180 360 请把证法1补充完整 并用不同的方法完成证法2 解析 BAE 1 CBF 2 ACD 3 180 1 2 3 180 证法2 如图 过点A作射线AP 使AP BD AP BD CBF PAB ACD EAP BAE PAB EAP 360 BAE CBF ACD 360 考点二等腰三角形 1 2018内蒙古包头 8 3分 如图 在 ABC中 AB AC ADE的顶点D E分别在BC AC上 且 DAE 90 AD AE 若 C BAC 145 则 EDC的度数为 A 17 5 B 12 5 C 12 D 10 答案D AB AC B C B 180 C BAC 35 C 35 DAE 90 AD AE AED ADE 45 EDC AED C 45 35 10 故选D 2 2017山东烟台 5 3分 某城市几条道路的位置关系如图所示 已知AB CD AE与AB的夹角为48 若CF与EF的长度相等 则 C的度数为 A 48 B 40 C 30 D 24 答案D AB CD DFE BAF 48 CF EF C E C E DFE 48 C 24 3 2017山东滨州 8 3分 如图 在 ABC中 AB AC D为BC上一点 且DA DC BD BA 则 B的大小为 A 40 B 36 C 80 D 25 答案B设 C x 由DA DC可得 DAC C x 所以 ADB C DAC 2x 因为BD BA 所以 BAD ADB 2x 由AB AC可得 B C x 根据三角形内角和定理 得x x 3x 180 解得x 36 所以 B 36 4 2015陕西 6 3分 如图 在 ABC中 A 36 AB AC BD是 ABC的角平分线 若在边AB上截取BE BC 连接DE 则图中等腰三角形共有 A 2个B 3个C 4个D 5个 答案D依题意 可知题图中的 ABC AED BDC BDE ADB为等腰三角形 则共有5个等腰三角形 故选D 5 2014广东 9 3分 一个等腰三角形的两边长分别为3和7 则它的周长为 A 17B 15C 13D 13或17 答案A 三角形为等腰三角形 且三角形任意两边之和大于第三边 三角形的三边长分别为3 7 7 周长为17 故选A 6 2014江苏扬州 7 3分 如图 已知 AOB 60 点P在边OA上 OP 12 点M N在边OB上 PM PN 若MN 2 则OM A 3B 4C 5D 6 答案C如图 过点P作PH MN 垂足为H 因为PM PN MN 2 所以MH MN 1 在Rt POH中 OP 12 POH 60 所以OH 6 所以OM OH MH 6 1 5 故选C 解题关键解决本题的关键是构造直角三角形 7 2018吉林 14 3分 我们规定 等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的 特征值 记作k 若k 则该等腰三角形的顶角为度 答案36 解析设等腰三角形的顶角为x度 则一个底角的度数为2x度 由x 2 2x 180 x 36 故顶角为36度 思路分析设出顶角度数 根据 特征值 可知底角度数 再由三角形内角和定理即可求得 8 2016湖南长沙 17 3分 如图 ABC中 AC 8 BC 5 AB的垂直平分线DE交AB于点D 交边AC于点E 则 BCE的周长为 答案13 解析 DE垂直平分AB AE BE BCE的周长为BE CE BC AE CE BC AC BC 8 5 13 9 2017北京 19 5分 如图 在 ABC中 AB AC A 36 BD平分 ABC交AC于点D 求证 AD BC 证明 AB AC A 36 ABC C 72 BD平分 ABC ABD 36 ABD A AD BD BDC A ABD 72 BDC C BD BC AD BC 10 2016河南 22 10分 1 发现如图1 点A为线段BC外一动点 且BC a AB b 填空 当点A位于时 线段AC的长取得最大值 且最大值为 用含a b的式子表示 图1 2 应用点A为线段BC外一动点 且BC 3 AB 1 如图2所示 分别以AB AC为边 作等边三角形ABD和等边三角形ACE 连接CD BE 请找出图中与BE相等的线段 并说明理由 直接写出线段BE长的最大值 图2 3 拓展如图3 在平面直角坐标系中 点A的坐标为 2 0 点B的坐标为 5 0 点P为线段AB外一动点 且PA 2 PM PB BPM 90 请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标 解析 1 CB延长线上 a b 2分 2 DC BE 理由如下 ABD和 ACE为等边三角形 AD AB AC AE BAD CAE 60 BAD BAC CAE BAC 即 CAD EAB 5分 CAD EAB DC BE 6分 BE长的最大值是4 8分 3 AM的最大值为3 2 点P的坐标为 2 10分 提示 如图a 构造 BNP MAP 则NB AM 由 1 知 当点N在BA的延长线上时 NB有最大值 如图b 易得AN 2 AM NB 3 2 过点P作PE x轴于E PE AE P 2 解题关键本题属类比探究题 主要考查三角形的全等 等边三角形的性质 考点三尺规作图 1 2017广东深圳 8 3分 如图 已知线段AB 分别以A B为圆心 大于AB为半径作弧 连接弧的交点得到直线l 在直线l上取一点C 使得 CAB 25 延长AC至M 则 BCM的度数为 A 40 B 50 C 60 D 70 答案B l垂直平分AB C在l上 AC BC B CAB 25 BCM 50 故选B 思路分析先根据直线l与线段AB的关系 得出线段AC与线段BC的关系 再根据三角形的外角与内角的关系 求出 BCM 2 2018山西 14 3分 如图 直线MN PQ 直线AB分别与MN PQ相交于点A B 小宇同学利用尺规按以下步骤作图 以点A为圆心 以任意长为半径作弧交AN于点C 交AB于点D 分别以C D为圆心 大于CD长为半径作弧 两弧在 NAB内交于点E 作射线AE交PQ于点F 若AB 2 ABP 60 则线段AF的长为 答案2 解析过点B作BG AF交AF于点G 由尺规作图可知 AF平分 NAB NAF BAF MN PQ NAF BFA BAF BFA BA BF 2 BG AF AG FG ABP 60 BAF BFA 30 在Rt BFG中 FG BFcos BFG 2 AF 2FG 2 3 2017四川成都 14 4分 如图 在平行四边形ABCD中 按以下步骤作图 以A为圆心 任意长为半径作弧 分别交AB AD于点M N 分别以M N为圆心 以大于MN的长为半径作弧 两弧相交于点P 作射线AP 交边CD于点Q 若DQ 2QC BC 3 则平行四边形ABCD的周长为 答案15 解析由作图知AQ平分 DAB 在 ABCD中 AB CD 所以 DAQ BAQ DQA 所以DQ DA BC 3 因为DQ 2QC 所以DC 4 5 所以平行四边形ABCD的周长为2 4 5 3 15 4 2018江西 15 6分 如图 在四边形ABCD中 AB CD AB 2CD E为AB的中点 请仅用分别按下列要求画图 保留画图痕迹 1 在图1中 画出 ABD的BD边上的中线 2 在图2中 若BA BD 画出 ABD的AD边上的高 解析画法如图 1 AF即为所求 2 BF即为所求 思路分析 1 连接EC 通过判断四边形BEDC是平行四边形得出EC和BD的交点F为线段BD的中点 进而画出所求 2 连接EC ED 连接点A与EC和BD的交点 利用三角形重心的性质及等腰三角形三线合一的知识画出 ABD的AD边上的高 解题关键本题考查复杂作图 解题的关键是灵活运用平行四边形的性质和三角形的重心及等腰三角形三线合一等性质解决问题 5 2017山东青岛 15 4分 已知 四边形ABCD 求作 点P 使 PCB B 且点P到边AD和CD的距离相等 解析如图 点P1或点P2即所求作的点 两种情况只要考虑到一种均得满分 6 2016广东 19 6分 如图 已知 ABC中 D为AB的中点 1 请用尺规作图法作边AC的中点E 并连接DE 保留作图痕迹 不要求写作法 2 在 1 的条件下 若DE 4 求BC的长 解析 1 如图 2分 E点 DE即为所求 3分 2 DE是 ABC的中位线 且DE 4 BC 2DE 2 4 8 6分 解题关键本题主要考查平面几何中尺规作图的基本方法 中点的作法 以及三角形中位线的性质 7 2015浙江杭州 21 10分 综合与实践 学习活动准备制作一组三角形 记这些三角形的三边分别为a b c 并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度 1 用记号 a b c a b c 表示一个满足条件的三角形 如 2 3 3 表示边长分别为2 3 3个单位长度的一个三角形 请列举出所有满足条件的三角形 2 用直尺和圆规作出三边满足a b c的三角形 用给定的单位长度 不写作法 保留作图痕迹 解析 1 共九种 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 4 2 4 4 3 3 3 3 3 4 3 4 4 4 4 4 2 只有a 2 b 3 c 4的一个三角形 如图的 ABC即为满足条件的三角形 C组教师专用题组 考点一三角形的有关概念 1 2018福建 3 4分 下列各组数中 能作为一个三角形三边边长的是 A 1 1 2B 1 2 4C 2 3 4D 2 3 5 答案C三角形的三边边长要满足 任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 选项A B D均不符合 故选C 2 2018黑龙江齐齐哈尔 4 3分 一副直角三角板如图放置 点C在FD的延长线上 AB CF F ACB 90 则 DBC的度数为 A 10 B 15 C 18 D 30 答案B AB CD ABD EDF 45 CBD ABD ABC 45 30 15 故选B 3 2017浙江金华 3 3分 下列各组数中 不可能成为一个三角形三边长的是 A 2 3 4B 5 7 7C 5 6 12D 6 8 10 答案C 5 6 12 5 6 12不可能成为一个三角形的三边长 故选C 4 2017吉林长春 5 3分 如图 在 ABC中 点D在AB上 点E在AC上 DE BC 若 A 62 AED 54 则 B的大小为 A 54 B 62 C 64 D 74 答案C A 62 AED 54 ADE 180 62 54 64 DE BC B ADE 64 故选C 5 2016江苏南京 4 2分 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是 A 3 4 4B 3 4 5C 3 4 6D 3 4 7 答案C由三角形的三边关系知A B C能构成三角形 D不能构成三角形 设一个三角形的三边长分别为a b c 且ac2 则三角形为锐角三角形 若a2 b2 c2 则三角形为钝角三角形 32 42 62 长为3 4 6的三条线段可组成钝角三角形 故选C 6 2015湖南长沙 10 3分 过 ABC的顶点A 作BC边上的高 以下作法正确的是 答案A根据三角形高线的定义知 ABC中BC边上的高是以点A为端点 且垂直于BC的垂线段 故选A 7 2018湖北武汉 16 3分 如图 在 ABC中 ACB 60 AC 1 D是边AB的中点 E是边BC上一点 若DE平分 ABC的周长 则DE的长是 答案 解析延长BC至点F 使CF AC 连接AF D是AB的中点 AD DB DE平分 ABC的周长 AC CE AD DB BE AC CE BE BE CF CE EF DE是 ABF的中位线 DE AF ACB 60 ACF 120 又AC CF 1 FAC AFC 30 作CH AF 则AH AC 所以AF AC DE AF 思路分析延长BC至点F 使CF AC 利用已知条件证明DE为 ABF的中位线 由已知条件求得AF的长 从而求得DE的长 解题技巧对于求线段长度的问题 若条件涉及三角形边的中点 可以考虑运用中位线性质来解答 8 2016黑龙江大庆 14 3分 如图 在 ABC中 A 40 D点是 ABC和 ACB角平分线的交点 则 BDC 答案110 解析 D点是 ABC和 ACB角平分线的交点 CBD ABD ABC BCD ACD ACB A 40 ABC ACB 180 40 140 CBD BCD 70 BDC 180 70 110 9 2014江苏扬州 14 3分 如图 ABC的中位线DE 5cm 把 ABC沿DE折叠 使点A落在边BC上的点F处 若A F两点间的距离是8cm 则 ABC的面积为cm2 答案40 解析连接AF 因为DE是中位线 且DE 5cm 所以DE BC 且BC 2DE 10cm 因为A F关于DE对称 所以AF DE 所以AF BC 所以 ABC的面积为 10 8 40cm2 考点二等腰三角形 1 2018湖北黄冈 4 3分 如图 在 ABC中 直线DE是AC的垂直平分线 且分别交BC AC于点D和E B 60 C 25 则 BAD为 A 50 B 70 C 75 D 80 答案B因为直线DE是AC的垂直平分线 所以AD DC 所以 DAC C 25 所以 ADC 180 25 25 130 因为 ADC B BAD 所以 BAD ADC B 130 60 70 故选B 2 2018福建 5 4分 如图 等边三角形ABC中 AD BC 垂足为D 点E在线段AD上 EBC 45 则 ACE等于 A 15 B 30 C 45 D 60 答案A由等边三角形ABC中 AD BC 垂足为点D 可得 ACB 60 且点D是BC的中点 所以AD垂直平分BC 所以EC EB 根据等边对等角 得到 ECB EBC 45 故 ACE ACB ECB 60 45 15 3 2017吉林 5 2分 如图 在 ABC中 以点B为圆心 以BA长为半径画弧交边BC于点D 连接AD 若 B 40 C 36 则 DAC的度数是 A 70 B 44 C 34 D 24 答案C由作图知BA BD BAD BDA 70 BDA C DAC DAC BDA C 34 故选C 4 2017湖北武汉 10 3分 如图 在Rt ABC中 C 90 以 ABC的一边为边画等腰三角形 使得它的第三个顶点在 ABC的其他边上 则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 A 4B 5C 6D 7 答案D 如图1 以B为圆心 BC长为半径画弧 交AB于点D 则 BCD就是等腰三角形 如图2 以A为圆心 AC长为半径画弧 交AB于点E 则 ACE就是等腰三角形 如图3 以C为圆心 BC长为半径画弧 交AB于M 交AC于点F 则 BCM BCF是等腰三角形 如图4 作AC的垂直平分线交AB于点H 则 ACH就是等腰三角形 如图5 作AB的垂直平分线交AC于点G 则 AGB就是等腰三角形 如图6 作BC的垂直平分线交AB于I 则 BCI就是等腰三角形 故选D 5 2016湖北武汉 10 3分 平面直角坐标系中 已知A 2 2 B 4 0 若在坐标轴上取点C 使 ABC为等腰三角形 则满足条件的点C的个数是 A 5B 6C 7D 8 答案A如图 当AB AC时 以点A为圆心 AB长为半径作圆 与坐标轴有两个交点 点B除外 即O 0 0 C0 0 4 其中点C0与A B两点共线 不符合题意 当AB BC时 以点B为圆心 AB长为半径作圆 与坐标轴有两个交点 均符合题意 当AC BC时 作AB的垂直平分线 与坐标轴有两个交点 均符合题意 所以满足条件的点C有5个 故选A 6 2015广西南宁 7 3分 如图 在 ABC中 AB AD DC B 70 则 C的度数为 A 35 B 40 C 45 D 50 答案A AB AD ADB B 70 AD DC C DAC ADB是 ADC的外角 C ADB 35 故选A 7 2018四川成都 11 4分 等腰三角形的一个底角为50 则它的顶角的度数为 答案80 解析 等腰三角形的两底角相等 180 50 2 80 顶角为80 8 2014天津 17 3分 如图 在Rt ABC中 D E为斜边AB上的两个点 且BD BC AE AC 则 DCE的大小为 答案45 解析设 DCE x ACD y 则 ACE x y AE AC DEC ACE x y BD BC CDE DCB 90 y 在 DCE中 DCE CDE DEC 180 x 90 y x y 180 解得x 45 DCE 45 9 2017浙江绍兴 23 12分 已知 ABC AB AC D为直线BC上一点 E为直线AC上一点 AD AE 设 BAD CDE 1 如图 若点D在线段BC上 点E在线段AC上 如果 ABC 60 ADE 70 那么 求 之间的关系式 2 是否存在不同于以上 中的 之间的关系式 若存在 请求出这个关系式 求出一个即可 若不存在 说明理由 解析 1 因为AD AE 所以 AED ADE 70 DAE 40 又因为AB AC ABC 60 所以 BAC C ABC 60 所以 BAC DAE 60 40 20 AED C 70 60 10 设 ABC x ADE y 则 ACB x AED y 由 AED CDE ACB得 y x 由 BAD ABC ADE CDE得 x y 所以 2 2 当点E在CA延长线上 点D在线段BC上时 设 ABC x ADE y 则 ACB x AED y 由 ABD BAD CDE ADE得 x y 由 ACB AED CDE 180 得 x y 180 所以 2 180 注 求出其它关系式 相应给分 如点E在CA的延长线上 点D在CB的延长线上 可得 180 2 10 2016内蒙古呼和浩特 21 7分 已知 如图 ACB和 ECD都是等腰直角三角形 ACB ECD 90 D为AB边上一点 1 求证 ACE BCD 2 求证 2CD2 AD2 DB2 证明 1 ACB和 ECD都是等腰直角三角形 CD CE AC BC ECD ACB 90 ECD ACD ACB ACD 即 ECA DCB 1分 在 ACE与 BCD中 3分 ACE BCD 4分 2 ACE BCD AE BD 5分 EAC BAC 45 EAD 90 在Rt EAD中 ED2 AD2 AE2 ED2 AD2 BD2 6分 又ED2 EC2 CD2 2CD2 2CD2 AD2 DB2 7分 11 2016安徽 23 14分 如图1 A B分别在射线OM ON上 且 MON为钝角 现以线段OA OB为斜边向 MON的外侧作等腰直角三角形 分别是 OAP OBQ 点C D E分别是OA OB AB的中点 1 求证 PCE EDQ 2 延长PC QD交于点R 如图2 若 MON 150 求证 ABR为等边三角形 如图3 若 ARB PEQ 求 MON的大小和的值 解析 1 证明 点C D E分别是OA OB AB的中点 DE OC CE OD 四边形ODEC为平行四边形 OCE ODE 又 OAP OBQ都是等腰直角三角形 PCO QDO 90 PCE PCO OCE QDO ODE EDQ 又 PC AO CO ED CE OD OB DQ PCE EDQ 5分 2 证明 如图 连接OR PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线 12 2015北京 20 5分 如图 在 ABC中 AB AC AD是BC边上的中线 BE AC于点E 求证 CBE BAD 证明 AB AC AD是BC边上的中线 AD BC BAD CAD BE AC BEC ADC 90 CBE 90 C CAD 90 C CBE CAD CBE BAD 考点三尺规作图 1 2017广西南宁 7 3分 如图 ABC中 AB AC CAD为 ABC的外角 观察图中尺规作图的痕迹 则下列结论的是 A DAE BB EAC CC AE BCD DAE EAC 答案D根据作图痕迹可知 题图是用尺规作一个角等于已知角 即 DAE B 进而得到AE BC 从而有 EAC C 故选项A B C均正确 因为AB AC 所以 ABC ACB 即 DAE EAC 故选项D错误 故选D 思路分析由作图痕迹可知 在三角形ABC的外角 CAD内画了一个新角 DAE 且 DAE B 由此得到其他相关的结论 2 2018四川成都 14 4分 如图 在矩形ABCD中 按以下步骤作图 分别以点A和C为圆心 以大于AC的长为半径作弧 两弧相交于点M和N 作直线MN交CD于点E 若DE 2 CE 3 则矩形的对角线AC的长为 答案 解析如图 连接AE 由作图方法得MN垂直平分AC EA EC 3 在Rt ADE中 AD 在Rt ADC中 AC 思路分析连接AE 根据题中的作图方法 可得MN垂直平分AC 则EA EC 3 用勾股定理先计算出AD 再计算出AC 得解 解题关键本题考查了矩形的性质 基本作图 作已知线段的垂直平分线 勾股定理 识别基本作图并熟练应用勾股定理计算是解题的关键 3 2017北京 16 3分 下面是 作已知直角三角形的外接圆 的尺规作图过程 已知 Rt ABC C 90 求作 Rt ABC的外接圆 作法 如图 1 分别以点A和点B为圆心 大于AB的长为半径作弧 两弧相交于P Q两点 2 作直线PQ 交AB于点O 3 以O为圆心 OA长为半径作 O O即为所求作的圆 请回答 该尺规作图的依据是 答案到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 两点确定一条直线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 圆的定义 4 2018北京 17 5分 下面是小东设计的 过直线外一点作这条直线的平行线 的尺规作图过程 已知 直线l及直线l外一点P 求作 直线PQ 使得PQ l 作法 如图 在直线l上取一点A 作射线PA 以点A为圆心 AP长为半径画弧 交PA的延长线于点B 在直线l上取一点C 不与点A重合 作射线BC 以点C为圆心 CB长为半径画弧 交BC的延长线于点Q 作直线PQ 所以直线PQ就是所求作的直线 根据小东设计的尺规作图过程 1 使用直尺和圆规 补全图形 保留作图痕迹 2 完成下面的证明 证明 AB CB PQ l 填推理的依据 5 2017福建 19 8分 如图 ABC中 BAC 90 AD BC 垂足为D 求作 ABC的平分线 分别交AD AC于P Q两点 并证明AP AQ 要求 尺规作图 保留作图痕迹 不写作法 解析如图 BQ是所求作的 ABC的平分线 P Q是所求作的点 证明如下 AD BC ADB 90 BPD PBD 90 BAC 90 AQP ABQ 90 ABQ PBD BPD AQP BPD APQ APQ AQP AP AQ 答案三边分别相等的两个三角形全等 全等三角形的对应角相等 等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合 两点确定一条直线 解析连接PA QA PB QB 由题意可知PA QA PB QB 又AB AB PAB QAB 三边分别相等的两个三角形全等 PAB QAB 全等三角形的对应角相等 由两点确定一条直线作直线PQ PA QA AB PQ 等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合 7 2014河南 11 3分 如图 在 ABC中 按以下步骤作图 分别以点B C为圆心 以大于BC的长为半径作弧 两弧相交于M N两点 作直线MN交AB于点D 连接CD 若CD AC B 25 则 ACB的度数为 答案105 解析由题意知MN垂直平分BC CD BD 又CD AC AC CD BD DCB B 25 A CDA 50 ACB 180 A B 105 8 2014广东 19 6分 如图 点D在 ABC的AB边上 且 ACD A 1 作 BDC的平分线DE 交BC于点E 用尺规作图法 保留作图痕迹 不要求写作法 2 在 1 的条件下 判断直线DE与直线AC的位置关系 不要求证明 解析 1 作图正确 实线 虚线均可 结论 DE即为所求 3分 2 DE AC 6分 考点一三角形的有关概念 三年模拟 A组2016 2018年模拟 基础题组 1 2018秦皇岛海港一模 2 如图 在 ABC中 D是BC延长线上一点 B 40 ACD 120 则 A等于 A 80 B 70 C 60 D 90 答案A ACD是 ABC的外角 ACD A B ACD 120 B 40 A 120 40 80 故选A 2 2017唐山路南一模 16 已知 ABC在正方形网格中的位置如图所示 点A B C P均在格点上 则点P叫做 ABC的 A 内心B 重心C 外心D 无法确定 答案B连接并延长AP与BC的交点为BC的中点 连接并延长CP与AB的交点为AB的中点 所以点P是 ABC的三条中线的交点 故选B 3 2017唐山路南一模改编 11 如图 在 ABC中 AB 6 AC 10 点D E F分别是AB BC AC的中点 则四边形ADEF的周长为 答案16 解析 点D E分别是AB BC的中点 AC 10 DE AC DE AC 5 同理 EF AB EF AB 3 DE AC EF AB 四边形ADEF为平行四边形 四边形ADEF的周长 5 3 2 16 4 2016保定清苑一模改编 15 图1为一张三角形ABC纸片 点P在BC上 将A折至P时 出现折痕BD 其中点D在AC上 如图2所示 若 ABC的面积为80 ABD的面积为30 则AB与PC的长度之比为 答案3 2 解析由翻折可得S ABD S PBD 30 S ABC 80 S CDP 20 S PBD S CDP 3 2 所以PB PC 3 2 AB PB AB PC 3 2 5 2018唐山丰南一模 20 如图 已知 ABC中 AB 2 BC 4 画出 ABC的高AD和CE 并求出的值 解析AD和CE如图 S ABC BC AD AB CE BC AD AB CE AB 2 BC 4 4AD 2CE 考点二等腰三角形 1 2018邢台宁晋质检 13 如图 小明为了测量河宽AB 先在BA延长线上取一点D 再在同岸取一点C 测得 CAD 60 BCA 30 AC 15m 那么河宽AB为 A 15mB 5mC 10mD 12m 答案A CAD是 ABC的外角 CAD BCA B CAD 60 BCA 30 B 30 B BCA AC AB AC 15m AB 15m 故选A 2 2018石家庄十八县一模 13 如图 在 ABC中 A 80 将 ABC沿过点C的一条直线进行裁剪 得到两个新的三角形 若这两个新的三角形都是等腰三角形 则 B的度数不可能是 A 10 B 22 5 C 25 D 40 答案B设过点C的直线交AB于D 若 B BCD 10 则 ADC 20 CD BD ACD 80 CD AD 选项A符合题意 若 B BCD 22 5 则 ADC 45 CD BD ACD 55 选项B不符合题意 若 B BCD 25 则 ADC 50 CD AD ACD 50 AC AD 选项C符合题意 若 B BCD 40 则 ADC 80 CD BD ADC A AC CD 选项D符合题意 故选B 3 2016石家庄裕华一模 9 等腰三角形顶角的度数是84 则一腰上的高与底边所成的角的度数是 A 42 B 60 C 36 D 46 答案A如图 ABC中 AB AC BD是边AC上的高 A 84 ABC C 180 84 2 48 在Rt BDC中 BDC 90 C 48 DBC 90 48 42 故选A 4 2016邯郸一模 20 如图 在第1个 A1BC中 B 20 A1B CB 在边A1B上任取一点D 延长CA1到A2 使A1A2 A1D 得到第2个 A1A2D 在边A2D上任取一点E 延长A1A2到A3 使A2A3 A2E 得到第3个 A2A3E 按此做法继续下去 则第5个三角形中以A5为顶点的内角的度数是 答案5 解析 B 20 A1B CB BA1C C 80 A1A2 A1D DA2A1 A1DA2 BA1C 40 同理可得 EA3A2 DA2A1 20 FA4A3 EA3A2 10 依此类推 第5个三角形中以A5为顶点的内角的度数为5 5 2017邯郸丛台期末质检 22 如图 已知BD平分 ABC AB AD DE AB 垂足为E 1 求证 AD BC 2 若DE 6cm 求点D到BC的距离 当 ABD 35 DAC 2 ABD时 求 BAC的度数 解析 1 证明 BD平分 ABC ABD DBC AB AD ADB ABD ADB DBC AD BC 2 过点D作DF BC于F BD平分 ABC DE AB DF BC DE 6cm DF DE 6cm 即点D到BC的距离为6cm BD平分 ABC ABD 35 ABC 2 ABD 70 DAC 2 ABD DAC 70 AD BC ACB DAC 70 BAC 180 ABC ACB 180 70 70 40 考点三尺规作图 1 2016石家庄长安一模 12 已知 在 ABC中 AB AC 求作 ABC的内心O 以下是甲 乙两同学的作法 甲 如图1所示 作AB的垂直平分线DE 作BC的垂直平分线FG DE FG交于点O 则点O即为所求 乙 如图2所示 作 ABC的平分线BD 作BC的垂直平分线EF BD EF交于点O 则点O即为所求 图1图2对于两人的作法 下列说法正确的是 A 两人都对B 两人都不对C 甲对 乙不对D 甲不对 乙对 答案D甲同学作了两边的垂直平分线 则有OA OB OC 所以点O为 ABC的外心 乙同学作了 ABC的平分线和底边BC的垂直平分线 因为AB AC 所以BC的垂直平分线平分 BAC 则点O为 ABC的内心 故选D 2 2018石家庄十八县一模 18 如图 在Rt ABC中 C 90 BC 8 AC 4 依据尺规作图的痕迹 计算CD的长为 答案3 解析由尺规作图可知 BAD B AD BD 在Rt ACD中 AD2 CD2 AC2 BC 8 AC 4 AD2 8 AD 2 42 解得AD 5 CD BC BD 8 5 3 3 3 2018石家庄桥西一模 18 如图 在 ABCD中 B 50 依据尺规作图的痕迹 计算 DAE 答案80 解析由尺规作图可得E在AB的中垂线上 AE BE B BAE 50 四边形ABCD是平行四边形 AD BC B BAD 180 BAD 180 50 130 DAE BAD BAE 130 50 80 B组2016 2018年模拟 提升题组 时间 30分钟分值 40分 一 选择题 每小题2分 共10分 1 2018保定定兴二模 7 如图 将 BAC沿DE向 BAC内折叠 使AD与A D重合 A E与AE重合 若 A 30 则 1 2 A 50 B 60 C 45 D 以上都不对 答案B连接AA 1 DAA DA A 2 EAA EA A 1 2 DAA DA A EAA EA A DAE DA E 由折叠可得 DAE DA E 30 1 2 60 故选B 2 2018石家庄裕华一模 10 如图 DE是线段AB的中垂线 AE BC AEB 120 AB 8 则点A到BC的距离是 A 4B 4C 5D 6 答案A过点A作AF CB 垂足为F DE垂直平分AB AE BE EAB ABE AEB 120 EAB 30 AE BC ABC EAB 30 AF AB 4 故选A 3 2017石家庄裕华一模 11 如图是四张形状不同的纸片 用剪刀沿一条直线将它们分别剪开 只允许剪一次 不能够得到两个等腰三角形纸片的是 答案B在选项A的图中 可使 BCD 35 CD为剪切线 BCD B 35 CD BD ADC B BCD 70 A 70 AC CD 在选项C的图中 可使 BCD 27 5 CD为剪切线 BCD B 27 5 CD BD ADC B BCD 55 A 70 ACD 55 ADC ACD AC AD 在选项D的图中 可使 BCD 20 CD为剪切线 BCD B 20 CD BD ADC B BCD 40 A 70 ACD 70 A ACD AD CD 只有选项B不能分成两个等腰三角形 故选B 4 2017石家庄正定摸底 10 如图 在 ABC中 C 90 B 30 以A为圆心 任意长为半径画弧分别交AB AC于点M和N 再分别以M N为圆心 大于MN的长为半径画弧 两弧交于点P 连接AP并延长交BC于点D 则下列说法中正确的个数是 AD是 BAC的平分线 ADC 60 点D在AB的中垂线上 S DAC S ABC 1 3 A 1B 2C 3D 4 5 2016邯郸二模 9 如图 ABC中 ABC 63 点D E分别是 ABC的边BC AC上的点 且AB AD DE EC 则 C的度数是 A 21 B 19 C 18 D 17 答案A DE EC C CDE AED C CDE AED 2 C AD DE DAE AED 2 C ADB DAE C ADB 3 C AB AD ABC ADB 3 C ABC 63 C 21 故选A 二 填空题 每小题2分 共10分 6 2018石家庄裕华一模 18 如图 ABC的顶点落在两条平行线上 点D E F分别是 ABC三边中点 平行线间的距离是8 BC 6 移动点A 当CD BD时 EF的长度是 答案5 解析如图 连接DF D为AB中点 F为BC中点 CD DB DF AC DF BC AC BC 由题意得AC 8 BC 6 AB 10 E为AC中点 F为BC中点 EF AB 5 7 2018承德双滦一模 18 如图 在 ABC中 AB AC BAC 54 BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O 将 C沿EF E在BC上 F在AC上 折叠 点C与点O恰好重合 则 OEC的度数为 答案108 解析连接OB OC AB AC BAC 54 ABC ACB 63 AO平分 BAC BAO BAC 27 OD垂直平分AB OA OB BAO OBA 27 OBC 63 27 36 AB AC BAO CAO AO AO BAO CAO OB OC OBC OCB 36 由折叠可知OE CE EOC OCB 36 OEC 180 36 2 108 8 2018邯郸一模 19 如图 在 ABC中 BC AC 5 AB 8 CD为AB边的高 点A在x轴上 点B在y轴上 点C在第一象限 若A从原点出发 沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动 则点B随之沿y轴下滑 并带动 ABC在平面内滑动 设运动时间为t秒 当B到达原点时停止运动 1 连接OC 线段OC的长随t的变化而变化 当OC最大时 t 2 当 ABC的边与坐标轴平行时 t 答案 1 4 2 和 解析 1 BC AC 5 CD AB AD BD AB 4 AOB 90 AD BD OD AB 4 当O D C共线时 OC取最大值 此时OD AB OD AB OD AD BD 4 AOB为等腰直角三角形 OA t AD 4 2 当AC y轴时 有 BAC ABO AOB ADC 90 ADC BOA 解得t 当BC x轴时 有 ABC BAO AOB BDC 90 BDC AOB 解得t 9 2017邢台临城一模 19 如图 ABC的三条中线AD BE CF交于点G 若S ABC 12 则图中阴影部分面积是 答案4 解析 CF为 ABC的中线 S BFC S ABC 连接EF 点E F分别为AC AB的中点 EF CB EF BC FG CF S BFG S BFC S ABC 同理S CGE S ABC S阴影 S BFG S CGE S ABC S ABC 12 S阴影 4 10 2016邯郸二模 19 如图 已知 ABC的周长是20 BO CO分别平分 ABC和 ACB OD BC于D 且OD 3 则 ABC的面积是 答案30 解析如图 过点O作OE AB OF AC 垂足分别为E F BO平分 ABC OD BC OE AB DO EO 3 同理DO FO 3 S ABC S OBC S AOB S AOC BC 3 AB 3 AC 3 BC AB AC 20 30 思路分析根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB AC BC的距离都相等 从而可得到 ABC的面积等于周长的一半乘3 解题关键本题考查了角平分线的性质 找出三角形的面积与周长的关系是解题的关键 三 解答题 共20分 11 2017石家庄裕华一模 22 在学习三角形中位线的性质时 小亮对课本给出的解决办法进行了认真思考 课本研究三角形中位线性质的方法已知 如图 在 ABC中 D E分别是AB AC两边中点 求证 DE BC DE BC 证明 延长DE至F 使EF DE 连接FC 则 ADE CFE 请你利用小亮的发现解决下列问题 1 如图 AD是 ABC的中线 BE交AC于E 交AD于F 且AE EF 求证 AC BF 2 如图 在 ABC中 B 45 AB 10 BC 8 DE是 ABC的中位线 过点D E作DF EG 分别交BC于F G 过点A作MN BC 分别与FD GE的延长线交于点M N 则四边形MFGN的周长的最小值是 解析 1 延长AD至点M 使MD FD 连接MC 在 BDF和 CDM中 AD是 ABC的中线 BD CD BDF CDM DF DM BDF CDM SAS MC BF M BFM EA EF EAF EFA AFE BFM M MAC AC MC AC BF 2 8 10 提示 MN DE FG BC 4 四边形MFGN的周长的最小值取决于MF的最小值 当DF BC时 四边形MFGN的周长取最小值 此时DF BD sin45 MF NG 5 四边形MFGN的周长的最小值为 5 4 2 8 10 12 2016唐山路南二模 23 如图 在等腰直角 ABC中 ACB 90 AC BC 2 点D是边AC的中点 点E是斜边AB上的动点 将 ADE沿DE所在的直线折叠得到 A1DE 1 当点A1落在边BC 含边BC的端点 上时 折痕DE的长是多少 可在备用图上作图 2 连接A1B 当点E在边AB上移动时 求A1B长的最小值 解析 1 点D到BC的距离是CD的长 且DC DA 1 点A1落在边BC上时 点A1与点C重合 如图所示 此时 DE所在直线为AC的垂直平分线 即DE为 ABC的中位线 DE BC 1