基于MATLAB的数值分析.ppt

第三章线性代数 3 1常用矩阵函数 norm 矩阵或向量范数 Forvectors norm V P sum abs V P 1 P norm V norm V 2 norm V inf max abs V norm V inf min abs V 例x 12345 x 120300405 x 100002000300405 norm x 1 norm x 2 norm x 3 norm x inf 例 不同范数意义下的单位圆运行以下Matlab程序 文件名为 normpolt m描绘norm x 1 1 norm x 2 1 norm x inf 1的图形 Formatrices norm X isthelargestsingularvalueofX max svd X norm X 2 isthesameasnorm X norm X 1 isthe1 normofX thelargestcolumnsum max sum abs X norm X inf istheinfinitynormofX thelargestrowsum max sum abs X norm X fro istheFrobeniusnorm sqrt sum diag X X norm X P isavailableformatrixXonlyifPis1 2 infor fro 例x 120300 400506 708009 norm x 1 norm x 2 norm x inf norm x fro dot x y 向量的内积det A 方阵的行列式 rank A 矩阵的秩 trace A 矩阵的迹 rref A 初等变换化矩阵A为阶梯矩阵inv A 矩阵的逆 即A 1pinv A 矩阵的广义逆A null A 零空间的基阵roth A 值空间的基阵orth A 将A标准正交化cond A flag 矩阵的条件数 flag 2 1 inf fro 例 分别求x 1378 2 y 393 39 的长度与它们的夹角 x 1378 2 y 393 39 xx norm x 2 yy norm y 2 theta acos dot x y xx yy s xx yy theta 例 给定一组线性无关的向量 将其标准正交化a magic 5 b orth a d eig A 方阵的特征值 V D eig A A V V D V J jordan A A V V Jc condeig A 向量c中包含矩阵A关于各特征值的条件数 V D c condeig A 例 A 100 120 123 d eig A V D eig A C condeig A V D C condeig A 例 观察7阶随机矩阵特征值的分布a rands 7 7 产生7阶随机矩阵e eig a title 特征值的分布 plot real e imag e o xlabel 实轴 ylabel 虚轴 注 本例验证了如下定理 实方阵的特征值或为实数或呈共轭对出现 例 观察正交矩阵的特征值分布a rands 7 7 b orth a 构造一个正交矩阵theta 0 0 01 2 pi e eig b plot real e imag e r cos theta sin theta axisequaltitle 正交矩阵特征值的分布 xlabel 实轴 ylabel 虚轴 注 本例验证了正交矩阵的特征值分布在复平面的单位圆上 例 矩阵范数与谱半径之间的关系 观察所有特征值的分布是否在半径为 A 的复单位圆内 a rands 7 7 phro norm normspet a p p 1 2 inf 3 2矩阵的运算 一 矩阵的转置 乘积 逆 A 100 120 123 A trans A H 123 210 123 K 123 210 231 HK H KH inv inv H K inv K 1 二 矩阵的左除和右除 左除 求矩阵方程AX B的解 A B的行要保持一致 解为X A B 当A为方阵且可逆时有X A B inv A B 右除 求矩阵方程XA B的解 A B的列要保持一致 解为X B A 当A为方阵且可逆时有X B A B inv A 例 求逆 法和 左除 法解恰定方程的性能对比 1 构造一个条件数很大的高阶恰定方程randn state 0 A gallery randsvd 100 2e13 2 x ones 100 1 b A x cond A ans 1 9990e 013 2 用 求逆 法求解ticxi inv A b ti toceri norm x xi rei norm A xi b norm b ti 0 4400eri 0 0469rei 0 0047 3 用 左除 法求解tic xd A b td toc erd norm x xd red norm A xd b norm b td 0 0600erd 0 0078red 2 6829e 015 ti 0 4400eri 0 0469rei 0 0047 求矩阵方程 设A B满足关系式 AB 2B A 求B 其中A 301 110 014 解 有 A 2I B A程序 A 301 110 014 B inv A 2 eye 3 A BB A 2 eye 3 A观察结果 三 矩阵函数的计算 给定n阶方阵A 求exp A sqrt A log A 矩阵函数的Matlab函数分别为expm A sqrtm A logm A 例 求三个特殊矩阵函数a magic 3 e expm a 求矩阵函数ee exp a 求矩阵中每个元素的函数值s sqrtm a ss sqrt a l logm a ll log a L U P lu A PA LUr chol A A LLT r LT Q R qr A Q R qr A 0 A QR U S V svd A A USVT Q R schur A QTAQ R P H hess A PAP 1 H 3 3常用矩阵分解函数 实方阵的初等化简分解 A1 313 252 123 L U lu A1 A2 112 123 121 116 Q R qr A2 Q1 R1 qr A2 0 A3 211 14 1 1 13 r chol A3 奇异值分解 A 11 11 00 U D V svd A U1 D1 V1 svd A 0 实方阵的正交相似化简 Q R schur A A1 310 4 10 48 2 Q1 R1 schur A1 A2 9 314930 1000 1100 0010 Q2 R2 schur A2 A3 211 14 1 1 13 Q3 R3 schur A3 实方阵的上Hessenberg分解 P H hess A A1 310 4 10 48 2 P H hess A1 P H inv P 3 4稀疏矩阵 一 稀疏矩阵的特点和存储 在编辑器内建立一个数据文本文件 st m行列aij11321212122132542134332 loadst m sa spconvert st sa 1 1 3 2 1 2 1 2 1 2 2 1 3 2 5 4 2 1 2 3 4 3 3 2 二 稀疏矩阵的运算 例 a full sa a 310214052010 pa 0100 10000001 0010 pa 0100100000010010 pa saans 214310010052 1 稀疏矩阵的初等变换 行初等变换 pv 2143 s1 sa pv 列初等变换 pv 213 s2 sa pv s1 spa sas1 1 1 2 2 1 3 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 5 1 3 4 4 3 2 spa sparse pa spa 2 1 1 1 2 1 4 3 1 3 4 1 2 稀疏矩阵的特殊运算函数 P394 3 稀疏矩阵的分解函数 L U P lu sa L U luinc sa 0 r chol sa r cholinc sa 0 Q R qr sa eigs sa svds sa 例A 41000 14100 01410 00141 00014 sa sparse A L U P lu sa 用下面例子说明稀疏矩阵的处理优点 xs m 设n 3000 输入n 3000 b 1 n a1 sparse 1 n 1 n 1 n n a2 sparse 2 n 1 n 1 1 n n a 4 a1 a2 a2 输出用稀疏矩阵求解的时间t1tic x a b t1 tocaa full a 输出用满矩阵求解的时间t2tic xx aa b t2 toc 为检验x与xx是否相同分别输出其分量之和y sum x yy sum xx 结果y与yy相同 而t1与t2相差巨大 1 不用预优矩阵的共轭斜量法x pcg a b tol kmax 2 用预优矩阵的共轭斜量法 1 x pcg a b tol kmax m 2 r chol m x pcg a b tol kmax r r x0 3 未给定预优矩阵的共轭斜量法r cholinc sa 0 x pcg a b tol kmax r r x0 3 5用预条件共轭斜量法求解线性方程组 其中a m为对称正定矩阵 1 不用预优矩阵的双共轭梯度法x bicg a b tol kmax 2 用预优矩阵的双共轭梯度法 l u lu m x bicg a b tol kmax l u x0 3 未给定预优矩阵的双共轭梯度法 l u luinc sa 0 x bicg a b tol kmax l u x0 3 6求解大型稀疏非对称正定的线性方程组 一 双共轭梯度法 二 广义极小残差法gmres 3 7不可解问题 例 考察下面三个线性方程组的解 A1 x y 1 A2 x y 1 A3 x 2y 2 2x 2y 2 x y 0 x y 12x y 0 A1 11 22 b1 1 2 x1 A1 b1A10 11 b10 1 x10 A10 b10 A2 11 11 b2 1 0 x2 A2 b2 A3 12 11 2 1 b3 2 1 0 x3 A3 b3 注 系数矩阵A必须是行满秩或列满秩 3 8病态问题 例 考察舍入误差对线性方程组解的影响0 12065x 0 98775y 2 010450 12032x 0 98755y 2 00555 A 0 120650 98775 0 120320 98755 b 2 01045 2 00555 x A b A 0 120650 98775 0 120320 98755 b1 2 01145 2 00555 x1 A b1 A1 0 121650 98775 0 120320 98755 b 2 01144 2 00555 x2 A1 b