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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试（理工类） 2017.3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）开始输入m,n是结束输出a否a能被n整除？（2）若满足 则的最大值为（A）（B）（C）（D）（3）执行如图所示的程序框图，若输入，则输出（A）（B）（C）（D）（4）给出如下命题： 若“pq”为假命题，则p, q均为假命题；在ABC中，“”是“”的充要条件；的展开式中二项式系数最大的项是第五项. 其中正确的是（A） （B） （C） （D）（5）设抛物线的焦点为F，准线为，P为抛物线上一点，A为垂足.若直线AF的斜率为，则 （A） （B） （C） （D）16 （6）已知函数若,是互不相同的正数，且，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是侧视图0.5俯视图1正视图10.5（A） （B） （C） （D）（8）现有10支队伍参加篮球比赛，规定：比赛采取单循环比赛制，即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得1分下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是（A）可能有两支队伍得分都是18分 （B）各支队伍得分总和为180分（C）各支队伍中最高得分不少于10分 （D）得偶数分的队伍必有偶数个 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）复数在复平面内对应的点的坐标是_.（10）在中，则_. （11）已知为等差数列，为其前项和若，则数列的公差 ，通项公式 (12) 在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为若以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则直线C1的直角坐标方程为_；曲线C2的方程为（为参数），则C2被 C1截得的弦长为_. AB1P1B2B3C1C3C2P2(13) 如图，是三个边长为的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有个不同的点，则 .（14）在平面直角坐标系中，动点到两坐标轴的距离之和等于它到定点的距离，记点的轨迹为.给出下面四个结论：曲线关于原点对称；曲线关于直线对称；点在曲线上；在第一象限内，曲线与轴的非负半轴、轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于. 其中所有正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）已知函数的最小正周期为.()求的值；()求函数的单调递减区间.（16）（本小题满分13分） 某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核（）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少； （）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈设选出的3人中男员工人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （）考核分笔试和答辩两项5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，试比较与的大小（只需写出结论）（17）（本小题满分14分）PACDEB 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，,， .（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值；（）在线段上是否存在点，使得 平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数(),.（）求的单调区间；（）当时，若函数在区间内存在唯一的极值点，求的值.(19)（本小题满分14分）已知椭圆，离心率直线与轴交于点，与椭圆相交于两点自点分别向直线作垂线，垂足分别为.（）求椭圆的方程及焦点坐标；（）记,的面积分别为,，试证明为定值.(20)（本小题满分13分）对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素（）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.（）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）；（）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；（）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案（理工类） 2017.3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案BCCBCA DD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案，三、解答题： （15）（本小题满分13分）解：因为， 5分() 又因为函数的最小正周期为， 所以.解得. 7分() 令得， ， 所以.所以函数的单调递减区间是. 13分（16）（本小题满分13分）解：（）抽取的5人中男员工的人数为，女员工的人数为4分 （）由（）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人所以，随机变量的所有可能取值为根据题意， ，随机变量的分布列是：数学期望 10分（） 13分（17）（本小题满分14分）PABCDExyz（）证明：由已知平面平面， 且平面平面， 所以平面. 所以.又因为， 所以. 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 4分（）作EzAD，以E为原点，以 的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则点，,，.所以，.设平面的法向量为n(x，y，z)，所以即令，解得.设平面的法向量为m(a，b，c)，所以即令，解得.所以.由图可知，二面角的余弦值为. 10分（）“线段上存在点，使得平面”等价于“”. 因为，设， 则，. 由（）知平面的法向量为，所以.解得.所以线段上存在点，即中点，使得平面. 14分（18）（本小题满分13分） 解：（）由已知得，. （）当时，恒成立，则函数在为增函数；（）当时，由，得； 由，得；所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 4分（）因为， 则. 由（）可知，函数在上单调递增，在上单调递减.又因为，所以在上有且只有一个零点.又在上，在上单调递减；在上，在上单调递增.所以为极值点，此时.又，所以在上有且只有一个零点.又在上，在上单调递增；在上，在上单调递减.所以为极值点，此时.综上所述，或. 13分（19）（本小题满分14分）解：（）由题意可知，又，即. 解得.即. 所以. 所以椭圆的方程为，焦点坐标为. 4分（）由得，显然.设,则，.因为 ， 又因为.所以. 14分（20）（本小题满分13分）解：（）集合不是“和谐集”. 3分（）设集合所有元素之和为.由题可知，（）均为偶数，因此（）的奇偶性相同.（）如果为奇数，则（）也均为奇数，由于，所以为奇数.（）如果为偶数，则（）均为偶数，此时设，则也是“和谐集”.重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”.此时各项之和也为奇数，集合中元素个数为奇数.综上所述，集合中元素个数为奇数. 8分（）由（）可知集合中元素个数为奇数，当时，显然任意集合不是“和谐集”.当时，不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有 ，或者 ；将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有 ，或者 .由、，得，矛盾；由、，得，矛盾；由、，得，矛盾；由、，得，矛盾.因此当时，集合一定不是“和谐集”.当时，设，因为，所以集合是“和谐集”.集合中元素个数的最小值是7. 13分
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