lec6-矩阵的代数运算.ppt

几何与代数 主讲 关秀翠 东南大学数学系 2010年国家级精品课程 假期休闲思考题 你能在15分钟内从下图找到多少个等边三角形 最多有21个哦 找找看 2 你又能从上图找到几个正六边形呢 只有2个 你一定会找到的 相信自己 3 你能从下图找到多少个图2 共有3个 4 你又能从上图找到几个图3呢 我找到了6个 你能帮我找到更多吗 5 你又能从上图找到几个图4呢 我找到了12个 你能帮我找到更多吗 图2 图3 图4 假期休闲思考题 假期休闲思考题 你能在15分钟内从下图找到多少个等边三角形 最多有21个哦 找找看 假期休闲思考题 2 你又能从上图找到几个正六边形呢 只有2个 你一定会找到的 相信自己 3 你能从下图找到多少个图2 共有3个 图2 4 你又能从上图找到几个图3呢 我找到了6个 图3 5 你又能从上图找到几个图4呢 我找到了12个 图4 教学内容和学时分配 第二章矩阵 矩阵的基本概念 一 矩阵与向量 二 几种特殊的方阵 一 矩阵的线性运算 三 矩阵的转置 2 1矩阵的代数运算 二 矩阵的乘法 Am n aij m n 1 三角形矩阵 2 对角矩阵 diag 1 2 n 3 数量矩阵 4 单位矩阵 En ij ij i ij 5 行阶梯矩阵 6 行简化阶梯阵 主元全为1 主列为单位列向量 0行最下方 主元列标随行标递增 1 加法 注1 A B同型 C A B aij bij m n 注2 负矩阵 A aij m n 注3 减法 2 数乘 kA kaij m n 向量 k l kai lbi A B是同型矩阵 kA lB kaij lbij m n 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 2 1矩阵的代数运算 一 矩阵的线性运算 A B A B 3 性质 设A B C O是同型矩阵 k l是数 则 1 A B B A 2 A B C A B C 3 A O A 4 A A O 5 1A A 6 k lA kl A 7 k l A kA lA 8 k A B kA kB 9 kA 0 k 0或A O 10 A X B X B A 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 20 200 50 100 30 150 25 180 18000 二 矩阵的乘法 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 C AB 18150 16750 10480 10240 9680 例2 四个城市间的单向航线如图所示 若aij表示从i市直达j市航线的条数 则右图可用矩阵表示为 bij ai1a1j ai2a2j ai3a3j ai4a4j 从i市经一次中转到达j市航线的条数 A A 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 二 矩阵的乘法 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 1 设A aij m s B bij s n 则A与B的乘积是C AB cij m n Ai B j 其中 1 设A aij m s B bij s n 则A与B的乘积是C AB cij m n Ai B j 其中 二 矩阵的乘法 注1 时才有意义 且 1 kA B k AB 2 A B C AB AC A B C AC BC 3 AB C A BC 注2 性质 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 a11a12a13a21a22a23 A b11b12b21b22b31b32 B c11c12c21c22 C 可知 AB C和A BC 是同型的 先比较 AB C和A BC 的第一行第一列的元素 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 3 AB C A BC a11b11 a12b21 a13b31a11b12 a12b22 a13b32a21b11 a22b21 a23b31a21b12 a22b22 a23b32 AB BC b11c11 b12c21b11c12 b12c22b21c11 b22c21b21c12 b22c22b31c11 b32c21b31c12 b32c22 a11a12a13a21a22a23 A AB C 11 a11b11 a12b21 a13b31 c11 a11b12 a12b22 a13b32 c21 c11c12c21c22 C A BC 11 a11 b11c11 b12c21 a12 b21c11 b22c21 a13 b31c11 b32c21 a11b11c11 a12b21c11 a13b31c11 a11b12c21 a12b22c21 a13b32c21 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 3 AB C A BC AB C 11 A BC 11 AB C 11 a11b11 a12b21 a13b31 c11 a11b12 a12b22 a13b32 c21 A BC 11 a11 b11c11 b12c21 a12 b21c11 b22c21 a13 b31c11 b32c21 a11b11c11 a12b21c11 a13b31c11 a11b12c21 a12b22c21 a13b32c21 c11 c21 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 3 AB C A BC AB C 11 A BC 11 AB C 11 a11b11 a12b21 a13b31 c11 a11b12 a12b22 a13b32 c21 A BC 11 a11 b11c11 b12c21 a12 b21c11 b22c21 a13 b31c11 b32c21 a11b11c11 a12b21c11 a13b31c11 a11b12c21 a12b22c21 a13b32c21 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 3 AB C A BC 即UC AV 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 AB C 11 A BC 11 3 AB C A BC 一般地 设A aij m l B bij l s C cij s n AB U uij m s BC V vij l n 则 AB C UC与A BC AV都是m n矩阵 且 AB C UC的 i j 元素是 它恰好是A BC AV的 i j 元素 可见 AB C A BC 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 结合律的妙用之一 还有 妙用之二 喔 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 CB A BC A2009 结合律的妙用之一 还有 妙用之二 喔 A2009 1 2 3 2 4 6 3 6 9 1 1 2 2 3 3 14 A2009 BC BC BC BC BC BC B CB BC CB CB C 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 142008BC 142008A BC CB AB Ai B j 二 矩阵的乘法 注3 注4 不一定都有意义 同型但不相等 当AB BA时 称A B可交换 有意义但不同型 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 注5 对角矩阵的性质 i ij ti ij iti ij ti ij i ij t10 00t2 0 00 tn 10 00 2 0 00 n 1t10 00 2t2 0 00 ntn ti i ij 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 注5 对角矩阵的性质 t10 00t2 0 00 tn 10 00 2 0 00 n 1t10 00 2t2 0 00 ntn 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 EmAm n Am n Am nEn aEm Am n aAm n Am n aEn 注6 方阵的正整数幂 A2 AA Ak 1 AkA AAk AkAl Ak l AlAk Ak l Akl AB k AkBk A B 2 A2 B2 2AB 只有AB BA时等式成立 AB k ABAB AB A B 2 A B A B A2 B2 AB BA A B A B A2 B2 AB BA A2 B2 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 AkBk 注意 设 则 注意 1 AB与BA是同阶方阵 但AB不等于BA 2 虽然A B都是非零矩阵 但是AB 0 例4 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 设 求AB及AC 解 注意 虽然A不是零矩阵 而且AB AC 但是B不等于C 这说明消去律不成立 例5 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 注7 消去律一般不成立 比如 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 注意 注意 1 虽然A B都是非零矩阵 但AB 0 2 虽然A不是零矩阵 而且AB AC 但是B不等于C 这说明消去律不成立 注8 方阵的多项式 设A为一个方阵 f x 为一个多项式 称之为方阵A的一个多项式 f x asxs as 1xs 1 a1x a0 f A asAs as 1As 1 a1A a0E 例6 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 一 矩阵的线性运算 二 矩阵的乘法 三 矩阵的转置 kA lB kaij lbij m n AB Ai B j 矩阵乘法是否有意义 乘积矩阵的行数列数 交换律一般不成立 消去律一般不成立 f A asAs as 1As 1 a1A a0E A B 2 A2 B2 2AB 三 矩阵的转置 1 设矩阵A aij m n 则矩阵A的转置为 2 性质 1 AT T A n m 2 A B T AT BT 4 AB T BTAT 3 kA T kAT 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 穿脱原理 3 对称矩阵 满足AT A A aij m n为对称矩阵 m n且aij aji i j 1 2 n 反对称矩阵A 满足AT A A aij m n为反对称矩阵 A为方阵且aij aji i j 1 2 n 比如 为对称矩阵 为反对称矩阵 反对称矩阵对角线元素全为0 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 第二章矩阵 2 1矩阵的代数运算 一 矩阵的线性运算 二 矩阵的乘法 三 矩阵的转置 kA lB kaij lbij m n AB Ai B j 矩阵乘法是否有意义 乘积矩阵的行数列数 交换律一般不成立 消去律一般不成立 f A asAs as 1As 1 a1A a0E AB T BTAT A 填空题选择题 作为课下练习 A 1 1 4 2 1 2 B 3 1 6 10 4 1 5 6 1 3 7 8 9 B 留作业 每周二交作业 更正 预习 2 2节 6 1 计算 思考题 行列式与矩阵的区别 D A B 1 mn A B A B为m n阶矩阵 思考题 能否利用这些结果证明 AB A B 其中A B为n阶矩阵 可先考虑n 2的情况 思考题二 第二章矩阵