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高中新课标数学选修直线、平面、简单几何体空间距离1 理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念 2会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算七种距离知识点归纳 1点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短2 异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线3公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线4两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；5公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；6两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离即为直线到平面的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)8两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段（3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长9两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离10七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求10用向量法求距离的公式：异面直线之间的距离：，其中直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量另法：点平面 则 点A到直线的距离： ，其中，是直线的方向向量两平行直线之间的距离：，其中，是的方向向量例1 设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,），D（,4,8），求D到平面ABC的距离解法一：A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,），D（,4,8），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则=0，=0，即令z=2，则=（3，2，2）由点到平面的距离公式： =点D到平面ABC的距离为解法二：设平面ABC的方程为：将A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,）的坐标代入，得，取B2，则平面ABC的法向量=(A,B,C)=（3，2，2）又因为 由点到平面的距离公式：=点D到平面ABC的距离为点评： 求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标(两种方法)，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d=|cos，例2 如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点 求：（1）与所成的角；（2）P点到平面EFB的距离；（3）异面直线PM与FQ的距离解：建立空间直角坐标系，则D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），则由中点坐标公式得P（，0，）、Q（，0）（1）=（，0，），=（，a），=（）+0+（a）=a2，且|= a，|= a cos，=故得两向量所成的角为150（2）设=（x，y，z）是平面EFB的法向量，即|=1，平面EFB，又=（a，a，0）， =（0，a，a），即有，取，则 =（，0，） 设所求距离为d，则= a（3）设=（x1，y1，z1）是两异面直线的公垂线的方向向量，则由=（，0，），=（，a），得取1，则而 =（0，a，0）设所求距离为m，则=a例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线BD与B1C的距离分析：虽然此题中没有给出表示两异面直线距离的线段，但是容易建立直角坐标系，使它变为坐标系下的异面直线距离的问题，还是属于考试范围的问题解：建立空间直角坐标系（如图），则B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0） B1（0，0，1），则设与都垂直的向量为，则由 和得，异面直线BD与B1C的距离： 小结：1用向量求点到平面的距离的步骤为：先确定平面的法向量，再求该点与平面内一点的连线在法向量上的射影长即得也就是若是平面的法向量，为平面内的一点，则点到平面的距离为：2求异面直线的距离方法很多，但考纲仅要求会求图中已给出表示异面直线间距离的线段，或在空间直角坐标系下的异面直线的距离，对于第一类问题要先找出这条线段，证明它是所求距离，然后求之；第二类问题的求解步骤是：先求出与两异面直线都垂直的一个向量，然后再求异面直线上两点连线在这个向量上的射影的长，即若是与异面直线都垂直的向量，点，则异面直线与之间的距离： 3两平面间的距离一般转化为点到平面或线到面的距离来求解练习 1ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角ABDC，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为A B C D1 答案：D解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求易证CE=1选D2在ABC中，AB=15，BCA=120，若ABC所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到的距离是 A13B11C9D7 答案：B解析：作PO于点O，连结OA、OB、OC，PA=PB=PC， OA=OB=OCO是ABC的外心 OA=5PO=11为所求选B3在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是A aB aC aD a 答案：D解析：A到面MBD的距离由等积变形可得 VAMBD=VBAMD易求d=a4平面内的MON=60，PO是的斜线，PO=3，POM=PON=4，那么点P到平面的距离是A B C D 答案：A解析：cosPOM=cosPOHcosMOH，= cosPOHcosPOH=sinPOH=PH=POsinPOH=3=5正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的距离是A a B aC aD a 答案：D解析：连结A1E、BE，过E作EHA1B于H， 在A1BE中易求EH=a6A、B是直线l上的两点，AB=4，ACl于A，BDl于B，AC=BD=3，又AC与BD成60的角，则C、D两点间的距离是_答案：5或解析：CD= 7设PARtABC所在的平面，BAC=90，PB、PC分别与成45和30角，PA=2，则PA与BC的距离是_；点P到BC的距离是_答案： 解析：作ADBC于点D，PA面ABC，PAADAD是PA与BC的公垂线易得AB=2，AC=2，BC=4，AD=，连结PD，则PDBC，P到BC的距离PD=8已知l1、l2是两条异面直线，、是三个互相平行的平面，l1、l2分别交、于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1与成30角，则与的距离是_；DE=_答案：6 25解析：由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得与间距离为6由面面平行的性质定理可得=，=，即=DE=259已知正方体ABCDA1B1C1D1的边长为a，E、F分别是棱A1B1、CD的中点（1）证明：截面C1EAF平面ABC1（2）求点B到截面C1EAF的距离（1）证明：连结EF、AC1和BC1，易知四边形EB1CF是平行四边形，从而EFB1C，直线B1CBC1且B1CAB，则直线B1C平面ABC1，得EF平面ABC1而EF平面C1EAF，得平面C1EAF平面ABC1（2）解：在平面ABC1内，过B作BH，使BHAC1，H为垂足，则BH的长就是点B到平面C1EAF的距离，在直角三角形中，BH=另法：建立坐标系(略)10已知直线l上有两定点A、B，线段ACl，BDl，AC=BD=a且AC与BD成120角，求AB与CD间的距离 解法一：在面ABC内过B作BEl于B，且BE=AC，则ABEC为矩形ABCEAB平面CDE则AB与CD的距离即为B到DE的距离过B作BFDE于F，易求BF=a解法二：建系如图，则A（0，0，b），C（a，a，a），D（a，0，0），设AB与CD的公垂线的一个方向向量=（x，y，z），利用=0，=0，求出，则d=a空间向量与立体几何测试题一、选择题1空间的一个基底所确定平面的个数为（）1个2个3个4个以上 答案：2已知关于面的对称点为，而关于轴的对称点为，则（） 答案：3已知向量，若，设，则与轴夹角的余弦值为（） 答案：4若向量的起点与终点互不重合且无三点共线，是空间任一点，则能使成为空间一组基底的关系是（） 答案：5正方体的棱长为1，是的中点，则是平面的距离是（） 答案：6一条长为的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是和，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（） 答案：7若向量a与b的夹角为，则（）4612 答案：8设p是的二面角内一点，平面，平面，为垂足，则的长为（） 答案：9为正方形，为平面外一点，二面角为，则到的距离为（）2 答案：10已知，若有等式成立，则之间的关系是（）平行垂直相交以上都可能 答案：11已知平面与所成二面角为，为外一定点，过点一条直线与所成的角都是，则这样的直线有且仅有（）1条2条3条 4条 答案：12如图1，梯形中，且平面，点为内一动点，且，则点的轨迹为（）直线圆 椭圆双曲线 答案：二、填空题13已知，则的最小值是答案：14在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为答案：15如图2，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若与平面所成的角为，则答案：16已知是异面直线，那么： 必存在平面过且与平行；必存在平面过且与垂直； 必存在平面与都垂直；必存在平面与距离都相等 其中正确命题的序号是 答案：三、解答题17设空间两个不同的单位向量与向量的夹角都等于解：（1）由，且， 又， （4）同理可得，是方程的两根，同理也是又，18如图3，已知直四棱柱中，底面是直角梯形，是直角，求异面直线与所成角的大小解：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，设与所成角为，则异面直线与所成角的大小为19如图4，在长方体中，点E在棱AB上移动，问AE等于何值时，二面角的大小为解：设，以为原点，直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为， 由令，依题意（不合题意，舍去）20如图5所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中（1）求；（2）求点到平面的距离解：（1）以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设由，得，（2）设为平面的法向量，由 得又，设与的夹角为，则到平面的距离21如图6，在三棱锥中，点分别是的中点，底面（1）求证：平面；（2）当时，求直线与平面所成角的大小；（3）当为何值时，在平面内的射影恰好为的重心？解：（1）证明：平面，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系设，则设，则为的中点， ，平面（2），即，可求得平面的法向量设与平面所成的角为， 则与平面所成的角为（3）的重心，平面，又， ，即反之，当时，三棱锥为正三棱锥在平面内的射影为的重心22如图7，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作（1） 求证：向量为平面的法向量；（2） 求证：以为边的平行四边形的面积等于；（3） 将四边形按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积与的大小解：（1），同理是平面的法向量（2）设平行四边形的面积为，与的夹角为，则结论成立（3）设点到平面的距离为，与平面所成的角为，则，又， 解：（1）证明：平面，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系设，则设，则为的中点，平面（2），即，可求得平面的法向量设与平面所成的角为，则与平面所成的角为（3）的重心，平面，又，即反之，当时，三棱锥为正三棱锥在平面内的射影为的重心23. 如下图，直棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求BN的长；（2）求异面直线BA与1CB1的余弦值；（3）求证：A1BC1M.【解法】：ACBC,CC1面ABC，可以建立如图所示的坐标系（1）依题意得B（0， 1，0），N（1，0，1），=.高考资源网（2）A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），=(1,-1,2)，=（0，1，2），=3，=，=.cos，=.所以，异面直线BA与1CB1的余弦值为（3）证明：C1（0，0，2），M（，2），高考资源网=(-1,1,-2)，=（，0），=0，A1BC1M.【点评】底面有直角的直棱柱适合建立坐标系的条件，可以用两点间的距离公式，数量积的夹角公式，用坐标法求点点距、向量夹角特别注意异面直线角的范围(0,而向量角的范围为0,高考SBCA【变式与拓展】在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，AC=2，BC=，SB=.（1）求证：SCBC；（2）求SC与AB所成角的余弦值.【解法一】：如下图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B（0，0）、S（0，0，2）、C（2，0）， =（2，2），=（2，0）.（1）=0，SCBC.（2）设SC与AB所成的角为，=（0，0），=4，| |=4，cos=，即为所求. 高考资源网【解法二】：（1）SA面ABC，ACBC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，SCBC.（2）如下图，过点C作CDAB，过点A作ADBC交CD于点D，连结SD、SC，则SCD为异面直线SC与AB所成的角.四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD=5，在SDC中，由余弦定理得cosSCD=，即为所求.24.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E是PC的中点，作交PB于点F. （1）证明 平面； （2）证明平面EFD； （3）求二面角的大小【解法】：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.依题意得底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心，故点G的坐标为且. 这表明.而平面EDB且平面EDB，平面EDB。证明：依题意得。又 故 , 由已知，且所以平面EFD.(3)解：设点F的坐标为则从而所以由条件知，即 解得 点F的坐标为 且,即，故是二面角的平面角. 高考资源网且 ,高考资源网所以，二面角CPCD的大小为【点评】考查空间向量数量积及其坐标表示，运用向量数量积判断向量的共线与垂直，用向量证明线线、线面、面面的垂直与平行关系。【变式与拓展】如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点 （1）求证：EF平面PAD； （2）求证：EFCD； （3）若PDA45，求EF与平面ABCD所成的角 证明：如图，建立空间直角坐标系Axyz，设AB2a，BC2b，PA2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) E为AB的中点，F为PC的中点 E (a, 0, 0)，F (a, b, c)(1)(0, b, c)，(0, 0, 2c)，(0, 2b, 0)() 与、共面又 E 平面PAD EF平面PAD(2) (-2a, 0, 0 ) 高考资源网(-2a, 0, 0)(0, b, c)0 CDEF(3)若PDA45，则有2b2c，即 bc， (0, b, b)，(0, 0, 2b) cos ， ， 45 平面AC， 是平面AC的法向量图9 EF与平面AC所成的角为：90， 4525.如图，在正四棱柱中，已知，、分别为、上的点，且（）求证：平面；（）求点到平面的距离.PABCDE解：()以为原点，以、的正向分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则高于是且 平面高考资源网 （）由()知，为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，设为，于是故点到平面的距离为高考资源网26.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点（）求直线AC与PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离解：方法一、（1）设ACBD=O，连OE，则OE/PB，EOA即为AC与PB所成的角或其补角.在AOE中，AO=1，OE= 即AC与PB所成角的余弦值为. （2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.连PF，则在RtADF中设N为PF的中点，连NE，则NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC，从而NE面PAC.N点到AB的距离，N点到AP的距离方法二、（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，1），从而设的夹角为，则 AC与PB所成角的余弦值为. （）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，由NE面PAC可得，高考资源网 即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1
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