线性代数第6章二次型及其标准形.ppt

第六章 二次型及其标准型 6 3正定二次型与正定矩阵 6 2化二次型为标准型 6 1二次型及其矩阵表示 6 1二次型及其标准形 引言 判别下面方程的几何图形是什么 作旋转变换 代入 1 左边 化为 见下图 称为n维 或n元 的二次型 定义 含有n个变量的二次齐次函数 关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行 例如 都是二次型 不是二次型 取 则 则 1 式可以表示为 二次型用和号表示 令 则 其中为对称矩阵 二次型的矩阵表示 重点 注 1 对称矩阵A的写法 A一定是方阵 2 其对角线上的元素 恰好是 的系数 3 的系数的一半分给 可保证 例如 二次型 注 二次型对称矩阵 把对称矩阵称为二次型的矩阵 也把二次型称为对称矩阵的二次型 对称矩阵的秩称为二次型的秩 写出下面二次型f的矩阵表示 并求f的秩r f 解 问 在二次型中 如不限制A对称 A唯一吗 定义 只含平方项的二次型 称为二次型的标准形 或法式 平方项系数只在中取值的标准形 对给定的二次型 找可逆的线性变换 坐标变换 代入 1 式 使之成为标准形 称上面过程为化二次型为标准形 第六章 二次型及其标准型 6 3正定二次型与正定矩阵 6 2化二次型为标准型 6 1二次型及其矩阵表示 简记 设 若 一 非退化线性变换 可逆线性变换 为可逆线性变换 当C是可逆矩阵时 称 对于二次型 我们讨论的主要问题是 寻求可逆的线性变换 使二次型只含平方项 即二次型 经过可逆线性变换 使得 为什么研究可逆的变换 即经过可逆线性变换 可化为 对于这种矩阵的关系我们来进行定义 矩阵的合同 证明 定理设A为对称矩阵 且A与B合同 则 注 合同仍然是一种等价关系 矩阵合同的性质 1 反身性 2 对称性 3 传递性 记作 二 化二次型为标准形 正交变换法 重点 配方法 目标 问题转化为 回忆 此结论用于二次型 所以 P191定理6 2 1 P的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交 的单位特征向量 例1用正交变换化二次型为标准型 并求出所用的正交变换 解 1 写出二次型f的矩阵 2 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量 而它们所对应的标准正交的特征向量为 3 写出正交变换 取正交矩阵 则得所欲求的正交变换 即 4 写出 的标准型 易知经上述正交变换 后所得二次型的标准型 2 解二次型的矩阵为 3 对每个基础解系进行Schmidt正交化 再单位化 作正交变换X QY 则 注 正交变换化为标准形的优点 在几何中 可以保持曲线 曲面 的几何形状不变 2 配方法 同时含有平方项 与交叉项 的情形 例2用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形 解 令 二次型的标准形为 所求的可逆线性变换为 即 为标准形 并求出所作的可逆线性变换 例3用配方法化二次型 解令 只含交叉项 的情形 即 令 则二次型的标准形为 所用的可逆线性变换为 以上说明 注意 2 在变换二次型时 要求所作的线性变换是可逆的 定理 二次型必可化为规范形 证设二次型f x xTAx r A r 经正交变换化为 思考为什么一定可化为上面形式 再做一次可逆的线性变换 则f化为 思考 在可互化的二次型中最简单的是什么 在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么 思考并回答 1 二次型的标准形唯一吗 2 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系 与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系 3 设CTAC D C可逆 D是对角阵 D的对角元是A的特征值吗 如果C是正交矩阵又如何 4 设4阶对称矩阵A的特征值为0 2 2 3 A的二次型的规范形是什么 思考题 1 1 合同且相似 2 合同但不相似 3 不合同但相似 4 不合同且不相似 解 二次型的矩阵为 由题意 由相似矩阵的性质得 从而 解得 A与D有相同的特征值 分别为 求得它们对应的特征向量 正交 为 再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵 第六章 二次型及其标准型 6 3正定二次型与正定矩阵 6 2化二次型为标准型 6 1二次型及其矩阵表示 6 3正定二次型 本节讨论二次型的分类问题 重点是正定二次型 在n维的二次型中 如果两个二次型xTAx和yTBy可以互化 即 则称这两个二次型等价 这相当于 即在n阶对称矩阵中A与B合同等价 我们把等价的二次型分为同一类 相当于对称矩阵的合同等价类 什么条件决定两个二次型等价 我们知道 等价的二次型有相同的秩 也就是标准形中平方项个数相等 但秩相等的两个二次型不一定等价 例如与不可能等价 因为不存在可逆矩阵C满足 因为 P196定理6 3 1 在二次型的标准形中 正项个数与负项个数保持不变 或者说二次型的规范形是唯一 二次型的标准形中正项个数称为二次型的正惯性指数 负项个数称为二次型的负惯性指数 设二次型f的秩为r 正惯性指数为p 则负惯性指为r p f的规范形为 惯性定理指出 两个二次型是否等价 被其秩和正惯性指数唯一确定 从而对称阵的合同等价 如果n维的二次型f x xTAx其标准形系数全为正 则称之为正定二次型 二次型的矩阵A称为正定矩阵 如果标准形中系数全为负 则称之为负定二次型 二次型的矩阵称为负定矩阵 定义 正定二次型为 正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵 也是与单位矩阵合同的对称矩阵 显然 如果f负定 则 f正定 以后只需讨论正定二次型 正定矩阵 二次型f x xTAx正定的充要条件是对任意x 0 都有f x xTAx 0 注 书上以后者为定义 必要性 设f正定 即 对任意x 0 则 故 充分性 反证 如果有某个 取 与矛盾 霍尔维茨定理 对称矩阵A为正定的充要条件是 A的各阶主子式全为正 即 判别二次型 是否正定 它的各阶顺序主子式 故上述二次型是正定的 f的矩阵为 解 是正定二次型 解二次型的矩阵为 A的顺序主子式为 所以当 例2问t满足什么条件时 二次型 A的顺序主子式全大于0 此时f正定 判别二次型 的正定性 解 二次型的矩阵 它的各阶顺序主子式 A是负定矩阵 二次型是负定二次型 或者 判别 为正定 解 判别二次型 是否正定 二次型的矩阵为 即知A是正定矩阵 故此二次型为正定二次型 求得其特征值 与矩阵合同的矩阵是 A特征值是两正一负 设是正定矩阵 证明