直线和平面垂直的判定和性质(习题).ppt

直线和平面垂直的判定和性质 习题课 一 概念回顾 1 直线和平面垂直的定义 如果直线和平面内的所有直线都垂直 则就说这条直线和这个平面垂直 2 直线和平面垂直的判定 如果直线和平面内的两条相交直线都垂直 则这条直线和这个平面垂直 3 直线和平面垂直的性质 1 如果直线和平面垂直 则这条直线和这个平面内的所有直线都垂直 2 垂直于同一平面的两条直线互相平行 4 唯一性定理 1 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 例1 已知直角 ABC所在平面外有一点P 且PA PB PC D是斜边AB的中点 求证 PD 平面ABC 证明 PA PB D为AB中点 PD AB 连接CD D为Rt ABC斜边的中点 CD AD 又PA PC PD PD PAD PCD而PD AB PD CD CD AB D PD 平面ABC 例2 如图平面 相交于PQ 线段OA OB分别垂直平面 求证 PQ AB 证明 OA PQ OA PQOB PQ OB PQ又OA OB 0 PQ 平面OAB而AB 平面OAB PQ AB 例3 如图空间四边形ABCD中 CD BD CD AD ABC的平面内有一点P 过P在平面ABC内画一直线与CD垂直 应如何画 说明理由 解 过P作EF AB即可 由已知可证CD 平面ABD而AB 平面ABD CD AB 又EF AB EF CD 例4 PA 平面ABCD ABCD为矩形 M N分别是AB PC的中点 求证 AB MN 证明 连AC 取AC中点O 连MO和NO ABCD是矩形 AB MO又 PA 平面ABCDAB 平面ABCD PA AB又由NO PA AB NO AB 平面MON又MN 平面MON AB MN 例5 正方体AC1的棱长为a 1 求证 BD 平面ACC1A1 2 设P为D1D中点 求P到平面ACC1A1的距离 证明 1 AA1 ABAA1 ADAB AD A AA1 平面ABCD又BD 平面ABCD AA1 BD又AC BDAA1 AC ABD 平面ACC1A1 2 DD1 AA1DD1 平面AA1CC1 AA1 平面AA1CC1 DD1 平面AA1CC1 P到平面ACC1A1的距离即为直线DD1到面ACC1A1的距离 也就是D到平面ACC1A1的距离 设AC BD O 则即为DO的长度 P到平面ACC1A1的距离为 例6 如图 ABCD是矩形 AB a BC b a b 沿对角线AC把 ADC折起 使AD BC 1 求证 BD是异面直线AD与BC的公垂线 2 求BD的长 证明 1 AD CD AD BCCD BC C AD 平面BCD AD BD且AD BD D同理可证 BC BD又BC BD B BD是AD与BC的公垂线 2 AD b AB a 在Rt ABD中 BD 例7 如图 在四棱锥P ABCD中 侧面PCD是边长等于2cm的等边三角形 底面ABCD是面积为2cm2的菱形 ADC是锐角 求证 PA CD 证明 设 ADC 则 由SABCD 2 CD BC AB AD 2 易得 60 ACD是等边三角形 取CD中点E连AE PE 则AE CD PE CDAE CD PE CD CD 平面PAE CD PA