多维随机变量及其分布.ppt

第二节多维随机变量及其分布 1 一 n维随机变量及其分布函数 第二章 三 二维连续型随机变量 二 二维离散型随机变量 四 两个常用的分布 五 内容小结 1 n维随机向量 设随机试验E的样本空间为 X X1 X2 Xn 为n维随机变量 亦称n维随机向量 称它们构成的向量 是定义在 上的n个随机变量 一 n维随机变量及其分布 定义 X1 X2 Xn 图示 二维随机变量 定义 2 n维随机向量的分布函数 定义 设X X1 X2 Xn 是n维随机向量 x1 x2 xn是n个任意实数 函数 称为随机向量 X1 X2 Xn 的分布函数或联合分布函数 其中 注 1 当n 2时 二维分布函数F x y 表示随机点 X Y 落在平面区域 内的概率 x y O D 实例1炮弹的弹着点的位置 X Y 就是一个二维随机变量 二维随机变量 X Y 的性质不仅与X Y有关 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系 实例2考查某一地区学前儿童的发育情况 则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量 H W 说明 3 二维分布函数F x y 的性质 1 2 证明 可以证明 一个函数若具有上述性质 则此函数一定是某二维随机向量的分布函数 二 二维离散型随机变量 1 定义 若二维随机变量 X Y 其分量X Y均是离散型随机变量 则称 X Y 为二维离散型随机变量 且称其分布为离散型分布 2 分布律 X Y 其中 例1 解 X Y 1 2 1 2 注 若为有放回摸取 则 X Y 1 2 1 2 下面求分布函数 所以 X Y 的分布函数为 说明 离散型随机变量 X Y 的分布函数归纳为 1 定义2 5 三 二维连续型随机变量 2 性质 非常重要 表示介于p x y 和xOy平面之间的空间区域的全部体积等于1 3 说明 例2 解 1 由分布密度的规范性 得 2 3 1 o x y D 1 均匀分布 定义设D是平面上的有界区域 其面积为S 若二维随机变量 X Y 具有概率密度 则称 X Y 在D上服从均匀分布 四 两个常用的分布 已知随机变量 X Y 在D上服从均匀分布 试求 X Y 的分布密度 其中D为x轴 y轴及直线y x 1所围成的三角形区域 解 例3 D 2 二维正态分布 若二维随机变量 X Y 具有概率密度 二维正态分布的图形 1 二维随机变量的分布函数 2 二维离散型随机变量的分布律及分布函数 3 二维连续型随机变量的概率密度 五 内容小结 解 备份题例2 1 例2 2 解 已知随机变量 X Y 在D上服从均匀分布 试求 X Y 的分布密度及分布函数 其中D为x轴 y轴及直线y x 1所围成的三角形区域 解 例3 D x y D1 梯形面积 x y D3 所以 X Y 的分布函数为 2 将 X Y 看作是平面上随机点的坐标 即有