2019中考数学复习第15课时二次函数的综合性问题课件.ppt

第一部分夯实基础提分多 第三单元函数 第15课时二次函数的综合性问题 例1如图 已知抛物线y x2 bx c与直线AB相交于A 3 0 B 0 3 两点 与x轴的另一个交点为C 抛物线对称轴为直线l 顶点为D 对称轴与x轴的交点为E 1 求直线AB的解析式及点D 点C的坐标 重难点精讲优练 例1题图 思维教练 要求直线AB的解析式 可先设其一般式 将A B点坐标代入即可求得 再分别代入y x2 bx c求出待定系数 将解析式转化为顶点式即可求得点D坐标 令y 0 解关于x的方程即可求出函数图象与x轴交点的横坐标 解 1 设直线AB的解析式为y kx d k 0 将A 3 0 B 0 3 两点分别代入直线解析式 得 3k d 0k 1d 3 d 3 直线AB的解析式为y x 3 将A 3 0 B 0 3 两点分别代入抛物线的解析式 得 解得 9 3b c 0b 2c 3 c 3 抛物线的解析式为y x2 2x 3 化为顶点式得y x 1 2 4 抛物线顶点D的坐标为 1 4 令y 0 得 x2 2x 3 0 解得x1 3 x2 1 点C的坐标为 1 0 解得 2 已知M是y轴上一点 连接AM DM 若AM DM 且AM DM 求点M的坐标 例1题图 思维教练 由于点M是y轴上的坐标 则yM OM 又由于AM DM 可过D作y轴垂线DE AOM和 MED构成 一线三等角 的全等三角形 即可得到OM长度 从而得到点M的坐标 解 如解图 过点D作DE y轴交于点E AM DM AMO DME 90 MAO AMO 90 MAO DME AM MD AOM DEM 90 Rt AMO Rt MDE AAS MO DE 1 点M的坐标为 0 1 例1题解图 3 求 ABC的面积及四边形AOBD的面积 思维教练 要求 ABC的面积 可以以AC为底 BO为高来计算 对于求不规则图形的面积 常将所求图形分割成几个可以直接利用面积公式计算的规则图形 通过规则图形的面积和或差计算求解 如本题中求四边形AOBD的面积 因其形状不规则 例1题图 故可将其分割为Rt ADE与直角梯形OBDE 分别求出其面积再相加 即可得到四边形AOBD的面积 解 点A 3 0 点B 0 3 点C 1 0 AO 3 OC 1 OB 3 AC 4 BO AC S ABC AC BO 4 3 6 连接AD DB 如解图 点D 1 4 DE x轴 于点E 点E 1 0 AE 2 OE 1 DE 4 S四边形AOBD S ADE S梯形OBDE AE DE BO DE OE 2 4 3 4 1 例1题解图 例1题图 4 在x轴上方的抛物线上是否存在一点G 使得S ACG 2 若存在 求点G的坐标 若不存在 说明理由 思维教练 观察图形可知 ACG的面积为AC yG 过点G作GG x轴交于点G 设点G的横坐标为g 以AC为底 GG 为高即可得到S ACG关于g的函数解析式 再令用g表示的 S ACG为2 求解即可 解 假设存在点G 使得S ACG 2 连接AG GC 如解图 点G在x轴上方的抛物线上 过点G作GG x轴交于点G 设点G的坐标为 g g2 2g 3 则 g2 2g 3 0 例1题解图 S ACG AC GG 4 g2 2g 3 4 g2 2g 3 2 解得g1 1 g2 1 满足题意的点G有两个 坐标为 1 1 1 1 例1题图 5 在x轴上是否存在一点P 使得PB PD的值最小 若存在 求出点P的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 作D关于x轴的对称点D 连接BD 则BD 与x轴交点即为P点 解 5 存在 理由如下 如解图 作点D关于x轴的对称点D D 1 4 连接BD 交x轴于点P 此时PB PD的值最小 为BD 的长 例1题解图 设直线BD 解析式为y kx b k 0 则 解得 直线BD 解析式为y 7x 3 当y 0时 x 点P的坐标为 0 例1题图 6 已知点P是第二象限内抛物线上一动点 设点P的横坐标为p ABP的面积为S 求S关于p的函数解析式 当p为何值时 S有最大值 最大值是多少 思维教练 要求 ABP的面积 可构造平行于y轴的边 即过点P作PP y轴交直线AB于点P 则PP 将 ABP分成 APP 和 BPP 两部分 据此求出 ABP的面积 结合二次函数性质求出其最大值即可 解 6 如解图 点P在抛物线上 点P的坐标为 p p2 2p 3 过点P作PP y轴交直线AB于点P 则P p p 3 则PP p2 2p 3 p 3 p2 3p 例1题解图 S ABP OA PP 3 p2 3p p2 p 即S p2 p p 2 点P在第二象限的抛物线上 3 p 0 0 当p 时 S有最大值 最大值为 例2如图 在平面直角坐标系xOy中 抛物线与x轴交于点A 1 0 B 3 0 与y轴交于点C 直线BC的解析式为y kx 3 抛物线的顶点为D 对称轴与直线BC交于点E 与x轴交于点F 1 求抛物线的解析式 例2题图 思维教练 已知A B点坐标 可将抛物线解析式设为交点式 然后代入C点坐标 求解即可 而C点是直线y kx 3与y轴的交点 只需令x 0 求出y的值即可求得C点坐标 解 1 A 1 0 B 3 0 可设抛物线的解析式为y a x 1 x 3 直线BC的解析式为y kx 3 令x 0 得y 3 点C的坐标为 0 3 将C 0 3 代入 得 3a 3 解得a 1 抛物线的解析式为y x 1 x 3 x2 2x 3 2 连接CA CF 判断 CAF的形状 并说明理由 思维教练 观察题图猜想 CAF是以AC FC为腰的等腰三角形 又CO AF 所以只需求证AO FO即可 A点坐标已知 F点为对称轴与x轴的交点 只需根据抛物线解析式求出对称轴即可 例2题图 解 CAF是等腰三角形 理由如下 抛物线的对称轴为x 1 点F的坐标为 1 0 AO OF 1 CO AF CO是线段AF的垂直平分线 CA CF CAF是等腰三角形 3 x轴上是否存在点G 使得 ACG是以AC为底边的等腰三角形 若存在 求出点G的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 当 ACG是以AC为底边的等腰三角形时有AG CG 设出点G坐标 然后表示出AG和CG 列关系式即可求解 若有解 则存在 否则不存在 例2题图 解 存在 如解图 作AC的垂直平分线 交x轴于点G 则点G即为所求 设点G的坐标为 g 0 在Rt COG中 CO 3 OG g 由勾股定理得CG2 CO2 OG2 9 g2 又 AG g 1 AG CG g 1 2 9 g2 解得g 4 此时点G的坐标为 4 0 例2题解图 4 连接CD BD 判断 CBD和 CDE的形状 并说明理由 思维教练 过点C作CC DE于点C 分别计算出CD2 BC2 BD2 再根据勾股定理的逆定理即可判定 CBD的形状 结合DC EC 得到CD CE 即可判定 CDE的形状 例2题图 解 CBD为直角三角形 CDE为等腰直角三角形 理由如下 如解图 过点C作CC DE于点C 由 1 知 y x2 2x 3 x 1 2 4 顶点D的坐标为 1 4 在Rt DCC 中 由勾股定理得CD2 2 在Rt BDF中 由勾股定理得BD2 DF2 例2题解图 BF2 20 又 BC2 OB2 OC2 18 BC2 CD2 BD2 CBD是以 DCB为直角的直角三角形 CC DE DC 1 直线BC的解析式为y x 3 点E的坐标为 1 2 EC 1 DC EC CC 垂直平分DE CD CE CDE是等腰三角形 又 DCB 90 CDE是等腰直角三角形 5 在x轴上是否存在点G使得 BGE是直角三角形 若存在 求出点G的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 由 EBO 90 可知要使 BGE是直角三角形 只需分 EGB 90 或 GEB 90 两种情况讨论即可求解 例2题图 解 存在 理由如下 点G在x轴上 设点G的坐标为 g 0 i 由EF x轴 易得当点G与点F重合时 BEG是以 EGB为直角的直角三角形 此时点G的坐标为 1 0 ii 当GE EB即 GEB 90 时 EBG 45 EGB 45 EG EB EF BG GF BF 2 点G与点A重合 其坐标为 1 0 使 BGE为直角三角形的点G坐标为 1 0 或 1 0