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第十五单元 空间中有关角、距离的计算一.选择题(1)已知则与的夹角等于 ( )A90 B30 C60 D150(2) 正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是棱AB, BB1的中点,A1E与C1F所成的角是，则 ( )A=600 B=450 C D(3)设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，则BCD是 ( )A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D不确定(4) 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是 ( )ABCD(5) 把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为 ( ) A 90 B 60 C 45 D 30(6) 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是 ( )A 直线 B 圆C 双曲线D 抛物线 (7) 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1, 则A B1与C1B所成角的大小为 ( )A 60 B 90 C 105 D 75(8) 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为( )A B C D(9) 将=600,边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成二面角,若60,120, 则折后两条对角线之间的距离的最值为 ( )A最小值为, 最大值为 B最小值为, 最大值为C最小值为, 最大值为 D最小值为, 最大值为(10) 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为( )ABCD二.填空题(11) 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1B1C1=90, 且AB=BC=BB1, E, F分别是AB, CC1的中点, 那么A1C与EF所成的角的余弦值为 .(12) 如图，在三棱锥PABC中，PA=PB=PC=BC，且，则PA与底面ABC所成角为 .(13) 如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 . (14) 已知平面和平面交于直线，P是空间一点，PA，垂足为A，PB，垂足B，且PA=1，PB=2，若点A在内的射影与点B在内的射影重合，则点P到的距离为 .三.解答题(15) 如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M求：二面角的大小(16) 在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（）证明：ACSB；（）求二面角N-CM-B的大小；（）求点B到平面CMN的距离. (17) 已知直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，A是直角，AB|CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线与DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） (18) 如图3所示，在四面体PABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，点E在线段AB上，且EFPB. （）证明：PB平面CEF； （）求二面角BCEF的大小. 参考答案一选择题: 1.D 解析：以D为原点建立坐标系 2.C 解析： 3.C 解析： 是锐角同理, D,C都是锐角.故BCD是锐角三角形.4.D 解析：以D为原点建立坐标系 异面直线A1E与GF所成的角是B5.C 解析： DEAC 如图,当平面BAC平面DAC时, 三棱锥体积最大取AC的中点E,则BE平面DAC,故直线BD和平面ABC所成的角为DBE cosDBE=,DBE=4506.D 解析：P到直线直线C1D1的距离就是P到C1的距离,点P到直线BC与点C1的距离相等故动点P的轨迹所在的曲线是以C1为焦点、以直线BC为准线的抛物线7.B 解析：以A为原点建立坐标系，AC，AA1为y,z轴，垂直于平面AA1C1C直线为x轴，则 故 =08.B 解析：点A到平面A1BC的距离为h 9.B FB解析：DEAC 由题设ED=,E、F分别是中点则折后两条对角线之间的距离为EF的长在中，ED=，BE=DE=当=120时，EF的最小值为,当=60时，EF的最大值为10.B 解析：过O作EF/C1D1分别交A1C1、B1D1于E、F， EF/平面ABC1D1，O到平面AB C1D1的距离等于E到平面AB C1D1的距离，而E到平面AB C1D1的距离为二填空题: 11. 解析：分别以BA、BC、BB1为ox、oy、oz轴，则 12. 解析：PA=PB=PC，P在底面的射影E是ABC的外心，又故E是BC的中点，所以 PA与底面ABC所成角为PAE，而PAE=。13. 解析：分别取AB、CD的中点E、F，连EF，过M作MNEF于N，再作EGMF于G则MN的长为点M到截面ABCD的距离。先在EFG中计算再在MFN中计算MN=MF=14. 解析：点A在内的射影与点B在内的射影重合，设射影为点C，点P到的距离为PC的长，而PC为矩形PACB的对角线PC=三解答题(15) 解（）连接AM，A1GG是正三角形ABC的中心，且M为BC的中点，A，G，M三点共线，AMBCB1C1BC，B1C1AM于G，即GMB1C1，GA1B1C1，A1GM是二面角A1B1C1M的平面角点A1在平面BB1C1C上的射影为M，A1MMG，A1MG=90在RtA1GM中，由A1G=AG=2GM得A1GM=90即二面角A1B1C1M的大小是60. (16) 解法一：（）取AC中点D，连结SD、DB.SA=SC，AB=BC，ACSD且ACBD，AC平面SDB，又SB平面SDB，ACSB.（）AC平面SDB，AC平面ABC，平面SDB平面ABC.过N作NEBD于E，NE平面ABC，过E作EFCM于F，连结NF，则NFCM.NFE为二面角N-CM-B的平面角.平面SAC平面ABC，SDAC，SD平面ABC.又NE平面ABC，NESD.SN=NB，NE=SD=，且ED=EB.在正ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在RtNEF中，tanNFE=2，二面角N-CM-B的大小是arctan2.（）在RtNEF中，NF=，SCMN=CMNF=，SCMB=BMCM=2.设点B到平面CMN的距离为h，VB-CMN=VN-CMB，NE平面CMB，SCMNh=SCMBNE，h=.即点B到平面CMN的距离为.解法二：（）取AC中点O，连结OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=ACSO面ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，0)，N(0，).=（-4，0，0），=（0，2，2），=（-4，0，0）（0，2，2）=0，ACSB.（）由（）得=（3，0），=（-1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则 n=3x+y=0， 取z=1，则x=，y=-，n=(，-，1)，n=-x+z=0， 又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， cos(n，)=.二面角N-CM-B的大小为arccos.（）由（）（）得=（-1，0），n=（，-，1）为平面CMN的一个法向量，点B到平面CMN的距离d=.(17) 解法一由题意AB/CD，是异面直线BC1与DC所成的角.连结AC1与AC，在RtADC中，可得，又在RtACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，过C作CH/AD交AB于H，得又在中，可得，在异而直线BC1与DC所成角的大小为 解法二如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系.则C1（0，1，2），B（2，4，0） 所成的角为，则异面直线BC1与DC所成角的大小为（18（I）证明：，PAC是以PAC为直角的直角三角形同理可证：PAB是以PAB为直角的直角三角形，PCB是以PCB为直角的直角三角形所以，PA平面ABC又，而，故CFPB,又已知EFPB，PB平面CEF（II）由（I）知PBCE, PA平面ABC，AB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1平面ABC， EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC，故FEB是二面角BCEF的平面角二面角BCEF的大小为
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