常用的离散分布.ppt

2 3常用的离散型分布 一 退化分布 如果随机变量X 则称随机变量X 服从处的退化分布 即 此时 二 两点分布 如果随机变量X 只取两个值 其中 此时 当 时 即为0 1分布 也称X是参数为p的 此时 则称X服从参数为p的两点分布 伯努利随机变量 三 离散均匀分布 如掷一颗骰子 出现的点数 具有离散均匀分布 四 二项分布 每一次试验 设在一次试验中 只有两个对立的结果 或 重复进行次独立试验 重复 指 相同 独立 指各次试验的结果 互不影响 各次试验的条件 A发生的概率都是 A不发生的 这样的次独立重复试验 称作重贝努里试验 简称贝努里试验 或贝努里 用表示 n重贝努里试验中 事件A 成功 出现的 可能取值 次数 概率都是 概型 设表示 第次发生事件A 设表示 第次发生事件A 称随机变量 服从参数为 的二项分布 记为 当n 1时 二项分布 即 即是参数为p的0 1分布 可以证明 二项分布的数学期望和方差 分别为 例 已知随机变量 求 解 可以证明 二项分布的数学期望和方差 分别为 在四舍五入时 今有n个加数 每个加数的取整误差 服从 上的均匀分布 计算它们中 绝对误差小于的概率 例 设表示一个加数的取整误差 解 的概率为 每个加数的绝对误差小于 设为n个加数中 绝对误差小于0 3的个数 的可能取值为 至少有3个的 1 n个加数 至少有3个加数的 绝对误差 小于的概率为 设为n个加数中 绝对误差小于0 3的个数 设表示一个加数的取整误差 例 射击的次数 直到击中为止 设每次击中的 概率都是 且各次射击的结果是独立的 令表示 求的概率分布 解 设表示 第次击中 称服从 参数为的几何分布 其中 五 几何分布 对某一目标射击 一般地 假定一个试验 直到首次成功为止 成功的概率是 不断地重复试验 且各次试验的 结果是独立的 令表示 试验的次数 可能取的值是 其中 设表示 第次成功 服从 参数为的几何分布 其中 几何分布 其中 几何分布有性质 对任意自然数m n 有 证 称为无记忆性 是几何分布的特征性质 六 超几何分布 可以证明 定义 对给定的自然数 以及 个 个 如果 则称服从 超几何分布 超几何分布 的数学期望和方差分别为 这里约定 1 无返回 2 有返回 个黑球 设袋中有个红球 从中取n次 每次取一个球 表示取到的红球个数 服从超几何分布 服从二项分布 当N很大时 无返回 接近于有返回 故超几何分布 接近于 二项分布 1 无返回 2 有返回 其中 P55 2 57 对于固定的 当 当很大时 无返回接近于有返回 故超几何分布 接近于二项分布 且 例 设10粒种子中 一大批种子的发芽率为 从中任取10粒 求播种后 1 恰有8粒发芽的概率 2 不少于8粒发芽的概率 解 有粒种子发芽 七 泊松分布 定义 且取这些值的概率为 其中 为常数 则称服从 参数为 的 记为 设随机变量可能取的值为 分布 泊松 满足归一性 由 泊松分布的数学期望与方差分别为 泊松分布 用同样的方法可求得 例 书籍中每页的印刷错误 服从泊松分布 个印刷错误的页数 与有两个印刷错误的页数 求任意检验4页 每页上都没有印刷错误的概率 解 设任一页上 有个印刷错误 总页数 有一个印刷错误的页数 总页数 有两个印刷错误的页数 任取4页 设表示 有一 第页上 无印刷错误 为一页上无印刷错误的概率 相同 定理2 4 泊松定理 在重贝努利试验中 事件 A在每次试验中发生的概率为 与试验的次数n 有关 如果 时 0 为常数 则对任意k 有 根据此定理 参数为 若 充分大 充分小 则X近似服从 的泊松分布 即 超几何分布 二项分布 泊松分布