河北省唐山一中2014-2015学年高二数学上学期第二次月考试卷理(含解析).doc

河北省唐山一中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分）1（5分）下列命题是真命题的是（）Aab是ac2bc2的充要条件Ba1，b1是ab1的充分条件Cx0R，e0D若pq为真命题，则pq为真2（5分）若当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆取得最大面积时，则直线y=（k1）x+2的倾斜角=（）ABCD3（5分）两条直线y=x+2a，y=2x+a的交点P在圆（x1）2+（y1）2=4的内部，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba1或aCa1Da1或a4（5分）已知p：1，q：|xa|1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A（，3B2，3C（2，3D（2，3）5（5分）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A1B2C3D46（5分）已知m，n为异面直线，m平面，n平面直线l满足lm，ln，l，l，则（）A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l7（5分）正四面体ABCD的棱长为1，G是ABC的中心，M在线段DG上，且AMB=90，则GM的长为（）ABCD8（5分）如图，在三棱锥SABC中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，SO底面ABC，O为垂足，则侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值为（）ABCD9（5分）直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）ABCD10（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=2xBCD11（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p=（）A1BC2D312（5分）已知双曲线（a0，b0）的两条渐近线均和圆C：x2+y26x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=1二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13（5分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是14（5分）设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面，截球O的两个截面圆的半径分别为1和，二面角l的平面角为，则球O的表面积为15（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C与y轴的交点，若以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是16（5分）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为三、解答题（本题共6个小题，其中第17题10分，其余各题12分共计70分请把解答过程写在答题纸上）17（10分）已知p：关于x的不等式|2x3|m（m0），q：x（x3）0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围18（12分）已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球的表面积和体积19（12分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点（）证明B1C1CE；（）求二面角B1CEC1的正弦值（）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长20（12分）已知点P是椭圆+=1上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线21（12分）.已知抛物线y2=4x（x0），是否存在正数m，对于过点（m，0）且与抛物线有两个交点A，B的任一直线都有0？若存在求出m的取值范围，若不存在请说明理由22（12分）设椭圆E：（ab0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由河北省唐山一中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分）1（5分）下列命题是真命题的是（）Aab是ac2bc2的充要条件Ba1，b1是ab1的充分条件Cx0R，e0D若pq为真命题，则pq为真考点：复合命题的真假；特称命题 专题：简易逻辑分析：利用复合命题的真假，充要条件以及特称命题判断结果即可解答：解：对于A，ab推不出ac2bc2，说ab是ac2bc2的充要条件，不正确对于B，a1，b1ab1的充分条件，正确对于C，由指数函数的值域可知：x0R，e0是错误的对于D，若pq为真命题，则pq为真，有复合命题的真假判断，D不正确故选：B点评：本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及特称命题的判断2（5分）若当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆取得最大面积时，则直线y=（k1）x+2的倾斜角=（）ABCD考点：圆的一般方程；直线的倾斜角 专题：计算题；直线与圆分析：将圆化成标准方程，得半径r满足r2=1，因此圆取得最大面积时k=0，从而得到直线方程为y=x+2直线的倾斜角满足tan=1，结合倾斜角的定义即可算出该直线的倾斜角解答：解：将圆x2+y2+kx+2y+k2=0化成标准方程，得（x+）2+（y+1）2=1半径r满足r2=1当圆取得最大面积时，k=0半径r=1因此直线y=（k1）x+2即y=x+2得直线的倾斜角满足tan=1，直线的倾斜角0，），=故选：A点评：本题给出含有字母参数的圆，求圆半径最大时相应直线的倾斜角大小着重考查了圆的方程、直线的基本量与基本形式等知识，属于中档题3（5分）两条直线y=x+2a，y=2x+a的交点P在圆（x1）2+（y1）2=4的内部，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba1或aCa1Da1或a考点：点与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：先求出两条直线的交点P，利用点在圆内时满足的条件即可得出解答：解：联立，解得，两条直线y=x+2a，y=2x+a的交点P（a，3a）交点P在圆（x1）2+（y1）2=4的内部，（a1）2+（3a1）24，化为5a24a10，解得实数a的取值范围是故选A点评：熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键4（5分）已知p：1，q：|xa|1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A（，3B2，3C（2，3D（2，3）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题分析：求出p与q，然后利用p是q的充分不必要条件，列出关系式求解即可解答：解：由，所以2x3，又q：|xa|1，a1xa+1，因为p是q的充分不必要条件，所以，解得a（2，3故选C点评：本题考查充要条件的应用，分式不等式与绝对值不等式的解法，考查计算能力5（5分）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A1B2C3D4考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；图表型分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可解答：解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为底面积高三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的2015届高考中有加强的可能6（5分）已知m，n为异面直线，m平面，n平面直线l满足lm，ln，l，l，则（）A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论 专题：空间位置关系与距离分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论解答：解：由m平面，直线l满足lm，且l，所以l，又n平面，ln，l，所以l由直线m，n为异面直线，且m平面，n平面，则与相交，否则，若则推出mn，与m，n异面矛盾故与相交，且交线平行于l故选D点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题7（5分）正四面体ABCD的棱长为1，G是ABC的中心，M在线段DG上，且AMB=90，则GM的长为（）ABCD考点：棱锥的结构特征 专题：综合题分析：由题意可知，三角形AMB是等腰直角三角形，求得MA，然后求得MG解答：解：M在AB垂直平分线上，；故选D点评：本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题8（5分）如图，在三棱锥SABC中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，SO底面ABC，O为垂足，则侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值为（）ABCD考点：直线与平面所成的角 专题：空间角分析：SO底面ABC，SAO即侧棱SA与底面ABC所成角，在RtSAO中计算即可得答案解答：解：SO底面ABC，O为垂足，SAO即侧棱SA与底面ABC所成角，底面是边长为1的等边三角形，AO=，在RtSAO中，cosSAO=故选D点评：本题考查线面角，先作后求的原则，属基础题9（5分）直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）ABCD考点：异面直线及其所成的角 专题：空间位置关系与距离分析：画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值解答：解：直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是ANO，BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，CO=1，AO=，AN=，MB=，在ANO中，由余弦定理可得：cosANO=故选：C点评：本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用10（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=2xBCD考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程解答：解：由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y=x故选B点评：本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力11（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p=（）A1BC2D3考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值解答：解：双曲线，双曲线的渐近线方程是y=x又抛物线y2=2px（p0）的准线方程是x=，故A，B两点的纵坐标分别是y=，双曲线的离心率为2，所以，则，A，B两点的纵坐标分别是y=，又，AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线，得p=2故选C点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错12（5分）已知双曲线（a0，b0）的两条渐近线均和圆C：x2+y26x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=1考点：双曲线的简单性质；双曲线的标准方程 专题：计算题分析：先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程解答：解：圆C：x2+y26x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2双曲线（a0，b0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，a2+b2=9，双曲线（a0，b0）的一条渐近线方程为bxay=0，C到渐近线的距离等于半径，即=2 由解得：a2=5，b2=4该双曲线的方程为故选 A点评：本题主要考查了圆的一般方程，直线与圆的位置关系及其应用，双曲线的标准方程及其求法，双曲线的几何性质及其运用，两曲线的综合运用二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13（5分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是考点：平面图形的直观图 专题：计算题分析：水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可解答：解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1+1）2=2+故答案为：2+点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，也可利用原图和直观图的面积关系求解属基础知识的考查14（5分）设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面，截球O的两个截面圆的半径分别为1和，二面角l的平面角为，则球O的表面积为16考点：与二面角有关的立体几何综合题 专题：综合题分析：欲求球O的表面积，只需求出球O的半径，根据题意OP长即球O的半径，再根据球心与截面圆圆心连线垂直截面圆，可考虑连接球心与两个截面圆圆心，利用得到的图形中的一些边角关系，求出R，再利用球的表面积公式即可求出球O的表面积解答：解：设平面，截球O的两个截面圆的圆心分别为A，B，连接OA，OB，PA，PB，根据题意在四边形OAPB中，APB=，OAP=OBP=，AOB=，PA=1，PB=，设OP=R，则OA=，OB=，设AOP=，BOP=，则sin=，cos=，sin=，cos=，sinAOB=sin（+）=sincos+cossin=sin=1，R2=4，球O的表面积为4R2=16故答案为：16点评：本题考查了球的截面圆的性质，以及二面角的平面角的找法，综合性较强，做题时要认真分析，找到联系15（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C与y轴的交点，若以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（0，考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由点P为椭圆C与y轴的交点，以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，可得F1PF290，由此可建立a，c的关系，即可求出椭圆C的离心率的取值范围解答：解：点P为椭圆C与y轴的交点，以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，F1PF290，tanOPF21，1，cb，c2a2c2，0e故答案为：（0，点评：本题考查椭圆C的离心率的取值范围，考查学生的计算能力，确定a，c的关系是关键16（5分）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为1，+）考点：直线与圆锥曲线的关系 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，可得=0即可得到a的取值范围解答：解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，=化为m2a+（m2a）2=0m，m2=a10，解得a1a 的取值范围为1，+）故答案为1，+）点评：本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力三、解答题（本题共6个小题，其中第17题10分，其余各题12分共计70分请把解答过程写在答题纸上）17（10分）已知p：关于x的不等式|2x3|m（m0），q：x（x3）0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：求出不等式对应的解，然后利用p是q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，进行确定范围解答：解：由|2x3|m（m0）得，由x（x3）0得0x3，若p是q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，即，即，解得0m3，当m=3时，p是q的充要条件，故m3，综上0m3点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将p是q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，是解决本题的关键18（12分）已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球的表面积和体积考点：球的体积和表面积 专题：空间位置关系与距离分析：设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积解答：解：如图，设球的半径为r，O是ABC的外心，外接圆半径为R，则OO面ABC在RtACD中，cosA=，则sinA=，在ABC中，由正弦定理得=2R，R=，即OC=在RtOCO中，由题意得r2r2=，得r=球的表面积S=4r2=4=54球的体积为点评：本题考查球面距离弦长问题球的表面积、体积的求法以及正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力19（12分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点（）证明B1C1CE；（）求二面角B1CEC1的正弦值（）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何分析：（）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1CE；（）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1CEC1的正弦值可求；（）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出的值，则线段AM的长可求解答：（）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）则，而=0所以B1C1CE；（）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=3，y=2所以由（）知B1C1CE，又CC1B1C1，所以B1C1平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=从而=所以二面角B1CEC1的正弦值为（）解：，设 01，有取为平面ADD1A1的一个法向量，设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则=于是解得所以所以线段AM的长为点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题20（12分）已知点P是椭圆+=1上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设M（x，y），根据条件列出关于的方程（1629）x2+162y2=448，然后再分类讨论，即可得出结论解答：解：设M（x，y），其中x4，4由已知=及点P在椭圆C上，可得=2，整理得（1629）x2+162y2=112，其中x4，4=时，化简得9y2=112所以点M的轨迹方程为y=（4x4），轨迹是两条平行于x轴的线段时，方程变形为=1，其中x4，4；当0时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足4x4的部分；当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足4x4的部分；当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆点评：本题主要考查圆锥曲线的定义和性质及其方程考查分类讨论思想，是中档题21（12分）.已知抛物线y2=4x（x0），是否存在正数m，对于过点（m，0）且与抛物线有两个交点A，B的任一直线都有0？若存在求出m的取值范围，若不存在请说明理由考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现0的等价转化；最后通过m、t的不等式求出m的取值范围解答：解：设过点M（m，0）（m0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）设l的方程为x=ty+m，由得y24ty4m=0，=16（t2+m）0，于是y1+y2=4t，y1y2=4m，又=（x11，y1），=（x21，y2），0（x11）（x21）+y1y2=x1x2（x1+x2）+1+y1y20又x=y2，于是不等式等价于y12y22+y1y2（y12+y22）+10由式，不等式等价于m26m+14t2对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m+10，解得32m3+2由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有有0，且m 的取值范围是（32，3+2）点评：本题着重考查了一元二次方程根与系数的关系、直线与抛物线的位置关系和向量数量积运算等知识，同时考查了逻辑思维能力、计算能力和转化化归的数学思想等知识，属于中档题22（12分）设椭圆E：（ab0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题分析：（1）由椭圆E过M、N，知，由此能求出椭圆E（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，由，知（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，再由根的判别式和韦达定理能求出|AB|取值范围解答：解：（1）椭圆E过M、N椭圆E：（5分）（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，由（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0当=16k2m24（1+2k2）（2m28）=8（8k2m2+4）0，要使x1x2+y1y2=03m28k28=0又 8k2m2+40又y=kx+m与圆心在原点的圆相切，即，所求圆：当切线斜率不存在时，切线为，与椭圆交于（，）或（，），满足综上：存在这样的圆满足条件 （9分）当k0时，（当时取等）当k=0时，当k不存时，（12分）点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化