九年级数学复习教案(立体图形、角、线段).doc

九年级下学期数学复习教案 4.1 立体图形一、知识要点归纳（一）三视图1、主视图：对一个物体进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图叫主视图。2、俯视图：对一个物体进行正投影，在水平面上得到的由上向下观察物体的视图叫俯视图。3、左视图：对一个物体进行正投影，在侧面上得到的由左向右观察物体的视图叫左视图。（二）投影一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫物体的投影，投影可以分为平行投影和中心投影。平等投影又可以分为斜投影和正投影。当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状大小完全相同。（三）展开与折叠许多立体图形都是由一些平面图形围成的，将他们适当地展开，即得到平面图形，同一个立体图形按不同方式展开，会得到不同的平面展开图。二、典题精析例1画出下图所示的一些基本几何体的三视图.分析:画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为:1.确定主视图的位置，画出主视图;2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”。3.在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.解：例2 根据下面的三视图说出立体图形的名称.分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形，解:(1)从三个方向看立体图形，图象都是矩形，可以想象出:整体是长方体，如图(1)所示;(2)从正面、侧面看立体图形，图象都是等腰三角形;从上面看，图象是圆;可以想象出:整体是圆锥，如图(2)所示.例3.某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如下图)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积.分析:对于某些立体图形，若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表面展开成一个平面图形展开图.在实际的生产中.三视图和展开图往往结合在一起使用.解决本题的思路是，由视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图.从而计算面积.解:由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如图(左). 密封罐的高为50mm，底面正六边形的直径为100mm.边长为50mm，图(右)是它的展开图.由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为例4.根据下面三视图请说出建筑物是什么样子的?共有几层?一共需要多少个小正方体?分析:由俯视图确定该建筑物在平面上的形状，由主视图、左视图确定空间的形状如图所示.解:该建筑物的形状如图所示:有3层，共9个小正方体.小结: 根据物体的三视图想像物体的形状一般是由俯视图确定物体在平面上的形状.然后再根据左视图、主视图嫁接出它在空间里的形状，从而确定物体的形状.例5哪种几何体的表面展开为如图所示的平面图形？（ ）（ ）（ ) ）（ ）（ ）例6下列图形中，不是正方体展开图的是（ ）ABCD练习题1、2、你能画出下图1中几何体的三视图吗？小明画出了它们的三种视图(图2),他画的对吗？请你判断一下.3、画出下列几何体的三视图 1正方体2 圆柱3 四棱锥4 圆锥4、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。5、如图所示是一个立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称_。6、一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有_个碟子。7正方体各面所标数字从1到6，从三个方向看一正方体，如图所示，则1，2，3对面分别是数字 1231342358、某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是（ ）。（A）长方体 （B）圆柱 （C）圆锥 （D）球9.圆柱对应的主视图是（ ）。 （A） （B） （C） （D）10.某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是（ ）。（A）长方体 （B）圆柱 （C）圆锥 （D）球11.下面是空心圆柱在指定方向上的视图，正确的是（ ）12.一个四棱柱的俯视图如右图所示，则这个四棱柱的主视图和左视图可能是（ ）13.主视图、左视图、俯视图都是圆的几何体是（ ）。（A）圆锥（B）圆柱 （C）球 （D）空心圆柱14下面4个图形经过折叠可以围成棱柱的是（ ） A B C D15、解答题（1）根据要求画出下列立体图形的视图。（画左视图） （画俯视图）（画正视图）（2）画出右方实物的三视图。（3）如图是一个物体的三视图，请画出物体的形状。（4）根据下面三视图建造的建筑物是什么样子的？共有几层？一共需要多少个小正方体。（5）图中的几何体的展开图是（ ）ABCD （6）下列四个图形都是由6个大小相同的正方形组成：其中是正方体展开图的是（ ） A B C D（7）如图，一个长方体木块的长、宽、高分别为5cm，4cm、3cm、有一只蚂蚁从A点出发沿着长方体的棱爬行，最后又回到A点（爬行的路线不重复），则蚂蚁最多爬行（ ）A A24cm B25cm C34cm D48cm苍蝇蜘蛛16在正方体两个相距最远的顶和点处逗留着一只苍蝇和一只蜘蛛，蜘蛛可以从哪条最短的路径爬到苍蝇处？说明你的理由？bcdfra17右面是一个正方体的展开图，图中已标出三个面在正方体中的位置，表示前面，表示右面，表示下面，试判断另外三个在正方体中的位置。4.2 直线、射线、线段、角 一. 知识要点：1. 直线（1）直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为：两点确定一条直线。（2）特征：一是“直”的；二是向两方无限延伸的；三是没有粗细。（3）表示方法：如图1；如图2。（4）点和直线的位置关系：一个点在直线上，也可以说这条直线经过这个点。如图所示，可以说：点O在直线l上或直线l经过点O；点P在直线l外或直线l不经过点P。（5）两条直线相交的意义：当两条不同的直线有一个公共点时，我们称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。如图所示，可以说：直线a、b相交于点O。此时直线a、b只有一个公共点。两条直线相交有没有可能出现两个、三个或更多的交点呢？2. 射线（1）射线的概念：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点。（2）射线的表示方法：用射线的端点和射线上任一点来表示，如图1中的射线记做射线OA或射线l。注意：表示端点的字母一定要写在前面，使字母的顺序与射线延伸的方向一致，如图1射线OA不能表示成射线AO；同一条射线是指射线的端点相同，而延伸方向也相同的射线。如图2，射线OA与射线OB表示同一条射线；两条不同射线是指端点不同的射线，或者是指端点相同但延伸方向不同的射线，如图2中，射线OB与射线AB不是同一射线。3. 线段（1）线段的概念：直线上的两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。（2）两点间的距离：连结两点的线段的长度叫做这两点的距离。（3）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短，即两点之间线段最短。（4）线段的表示方法：如图1，用两个大写字母表示，记做线段AB或线段BA；如图2，用一个小写字母表示，记做线段a。注意：线段AB和线段BA是同一条线段；连结AB就是画以A、B为端点的线段；延长线段AB是指按从A到B的方向延长，如图所示，也可以说成反向延长BA。线段的延长线常常画成虚线。（5）线段大小的比较：度量法。先量出线段AB、线段CD的长度，根据它们的长度（数量）进行比较，线段的大小关系与它们的长度关系是一致的。叠合法。如图所示。（6）线段的中点及等分点的概念：如图1所示，点B把线段AC分成两条相等的线段，点B叫做线段AC的中点。有ABBCAC。如图2所示，点B和点C把线段AD分成三条相等的线段，点B、点C叫做线段AD的三等分点，有ABBCCDAD。类似的还有线段的四等分点、五等分点等。4. 直线、射线、线段的区别图形名称特征端点表示方法直线向两端无限延伸无用两个大写字母或一个小写字母表示射线只向一方无限延伸1个用两个大写字母或一个小写字母表示线段有实际长度，可延长2个用两个大写字母或一个小写字母表示5、角（1）定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共端点是角的顶点，这两条射线是角的边。一条射线绕着它的端点旋转，当终点和始点成一直线时所成的角叫平角，当始点和终点重合时所成的角叫周角。（2）角的三种表示方法：用三个大写字母表示，其中中间的字母表示角的顶点，在不引起混淆的情况下，可以用表示角的顶点的字母表示。用一个希腊字母表示。用数字表示。（3）角的比较1周角2平角4直角360度1度60分， 1分60秒（4）角平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线将这个角分成两个相等的角，这条射线叫这个角的平分线。（5）余角、补角如果两个角的和等于90。，那么这两个角互为余角。如果两个角的和等于180。，那么这两个角互为补角。同角或等角的余角（或补角）相等。二、典题精析例1. 判断正误。（1）延长直线AB（ ）（2）直线AB与直线BA不是同一条直线（ ）（3）直线AB上有A点（ ）（4）直线AB与直线l不可能是同一条直线 （ ）分析：（1）直线本身是向两方无限延伸的，因此不用延长。（2）用两个大写字母表示直线时与字母的顺序无关。（3）直线AB上一定有点A，即点A在直线AB上。（4）直线既可用大写字母AB表示又可用小写字母l表示。解：评析：本题要求同学们学会直线的特点和表示方法。例2. 如图所示，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，BD2cm，求AD的长。分析：因为ADACCD，而ACBC，CDDB，BCCDDB，所以ADBCDB2DBDB6cm。另外也可以用ADABDB来解，AB2BC，BC2DB，所以AD4DBDB6cm。解：因为D是CB的中点，所以CB2BD。又因为BD2cm，所以CB4cm。又C是AB的中点，所以AB2CB8cm。所以ADABBD826（cm）。答：AD的长是6cm。评析：本题连续运用中点的性质，由较少的条件求出AD的长度，另外本题还可以利用ACCDAD或ADDB31等方法来解，你不妨试一试。例3. 如图所示，平原上有A、B、C、D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画出确定蓄水池H点的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。分析：根据两点之间线段最短，所求点必在线段AD上，也必在线段BC上，即为AD、BC的交点。解：根据两点之间线段最短，可连结AD、BC且交于一点H，则点H即为所求。评析：现实生活中，两点之间的距离最短问题，都是通过确定两点之间的线段来实现的。例4. 如图所示，一个三角形，它的三边分别是AB、AC、BC，依据_可以判断ABAC_BC，ABBC_AC，ACBC_AB（填“”、“”或“”）由此可以得到什么结论？分析：从点B到点C有两条路可走：一种是沿着线段BA，经过A沿线段AC到C点，另一条是由B沿线段BC到C点，故BAACBC。解：两点之间，线段最短；结论：三角形任意两边之和大于第三边。评析：考查线段的性质公理、线段的和。例5. （2008年全国数学竞赛海南预赛）如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点。若想求出MN的长度，那么只需条件（ ）A. AB12B. BC4C. AM5D. CN2分析：因为点M是AC的中点，所以AMMCAC，因为点N是BC的中点，所以BNNCBC。MNMCNCACBC（ACBC）AB。所以只要知道AB的长度，就可以求出MN的长度。解：A评析：这是一道开放型的选择题，解法比较灵活，可以逐步推导，也可以用排除法。【模拟试题】（答题时间：80分钟）一. 选择题1. （2007年长沙）平面内三点可确定直线的条数是（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 1条或3条2. 下列语句正确的是（ ）A. 作出A、B两点的距离B. 作出A、B两点的长度C. 量出A、B两点的线段D. 量出A、B两点的距离3. 如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MNa，BCb，则AD的长为（ ）A. 2abB. abC. abD. 以上都不对4. 如果MN2MC2CN，则（ ）A. 点C是线段MN的中点B. 点M是线段CN的中点C. 点N在线段MC上D. 点C在线段MN外二. 填空题1. 射线可以看做由线段_形成的。2. 直线可以看做由线段向两方_。3. 有时需要把弯曲的河道改直，如图所示，这样做的依据是_。4. 在图中，直线有_条，射线有_条。5.（2007年广州）线段AB4，在线段AB上截取BC1，则AC_。三. 判断下列说法是否正确。（1）两点之间，直线最短。（ ）（2）直线比射线长。（ ）（3）直线AB大于直线CD。（ ）（4）两地之间的路程就是两地之间的距离。 （ ）（5）当BCAC时，点B是线段AC的中点。（ ）（6）方向相反的两条射线是一条直线。（ ）四. 解答题 1. 如图所示，已知线段AB按下列要求画图：（1）延长线段AB至C，使BC3cm；（2）延长线段BA至P，使PA2cm。2. 如图所示，读句画图。（1）连结AC和BD交于点O。（2）延长线段AD、BC，它们交于点E。（3）延长线段CD与AB的反向延长线交于点F。3. 如图所示，已知C、D是线段AB上的两点，如果AB10cm，ADBC6cm。求：CD的长。4. 如图所示，线段AB的长是8cm，D是AC的中点，AD6cm。求：BC的长。5. 画出线段AB。（1）在线段AB上画出1个点，这时图中共有几条线段？（2）在线段AB上画出2个点，这时图中共有几条线段？（3）在线段AB上画出3个点，这时图中共有几条线段？（4）猜一猜，当在线段AB上画出n个点时，图中共有多少条线段？6若一个角的余角是这个角的补角的一半还少4，那么这个角的余角是多少？7若一个角的补角是这个角余角的3倍，那么这个角的邻补角是多少？8若互补的两个角之差是26，求其中一个角的余角是多少？9如图1-15，AOB是一条直线， OC，OE分别是AOD和DOB的平分线，COD=65求DOE的补角4.3 相交线与平行线 第一部分 相交线、垂线【知识要点】： （一）相交线1. 相交线的定义在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图32. 对顶角的定义若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，1与3、2与4都是对顶角。注意：两个角互为对顶角的特征是：（1）角的顶点公共；（2）角的两边互为反向延长线；（3）两条相交线形成2对对顶角。3. 对顶角的性质对顶角相等。4. 邻补角的定义如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，1与2互为邻补角，由平角定义可知12180。（二）垂线1. 垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 如图4所示，直线AB与CD互相垂直，垂足为点O，则记作ABCD于点O。 图4注意：垂线的定义有以下两层含义：（1）ABCD（已知） （2）190（已知） 190（垂线的定义） ABCD（垂线的定义）2. 垂线的性质（1）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最短。3. 点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 图5 图6如图5所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。（三）“三线八角”两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。（1）同位角：可以发现1与5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有2与6，3与7，4与8。（2）内错角：可以发现3与5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有4与6。（3）同旁内角：可以发现4与5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有3与6。范例1. 判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；（4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。分析：本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。（1）、（2）都是对点到直线的距离的描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断（1）、（2）都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90，故（3）正确；同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内”。解答：（1）这种说法是错误的。因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。（2）这种说法是错误的。因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。（3）这种说法是正确的。（4）这种说法是错误的。因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。说明：此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。 范例2 如下图（1），图（1） （1）是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角。 （2）是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角。 （3）_与_被第三条直线_所截构成的_角。 （4）与6是两条直线_与_，被第三条直线_所截构成的_角。 分析：从较复杂的图形中分解出有关角的直线，因此可以得到是由直线被第三条直线所截构成的同位角，如下图（2），类似可知其他情况。图（2） 答案：（1）1与2是两条直线被第三条直线所截构成的同位角。 （2）1与3是两条直线被第三条直线所截构成的同位角。 （3）是两条直线被第三条直线所截构成的内错角。（4）5与6是两条直线被第三条直线所截构成的同旁内角。范例3按要求作图，并回答问题。范例4证明垂直第二部分 平行线知识要点：1. 平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。注意：（1）在平行线的定义中，“在同一平面内”是个重要前提；（2）必须是两条直线；（3）同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一条直线。两条直线的位置关系是以这两条直线是否在同一平面内以及它们的公共点个数进行分类的。名称公共点个数在同一个平面内重合直线相交直线平行直线不在同一个平面内异面直线2. 平行线的表示方法平行用“”表示，如图7所示，直线AB与直线CD平行，记作ABCD，读作AB 平行于CD。3. 平行线的画法4. 平行线的基本性质（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 （2）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。5. 平行线的判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。（5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。6. 平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线平行，同位角相等。（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线平行，内错角相等。（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线平行，同旁内角互补。范例1如图，已知AMF=BNG=75，CMA=55，求MPN的大小答案：50解析：因为AMF=BNG=75，又因为BNG=MNP，所以AMF=MNP，所以EFGH，所以MPN=CME，又因为AMF=75，CMA=55，所以AMF+CMA=130，即CMF=130，所以CME=180130=50，所以MPN=50范例2如图，1与3为余角，2与3的余角互补，4=115，CP平分ACM，求PCM答案：57.5解析：因为1+3=90，2+（903）=180，所以2+1=180，所以ABDE，所以BCN=4=115，所以ACM=115，又因为CP平分ACM，所以PCM=ACM=115=57.5，所以PCM=57.5范例3如图，已知：1+2=180，3=78，求4的大小答案：102解析：因为2=CDB，又因为1+2=180，所以1+CDB=180，所以得到ABCD，所以3+4=180，又因为3=78，所以4=102范例4如图，已知：BAP与APD 互补，1=2，说明：E=F解析：因为BAP与APD 互补，所以ABCD，所以BAP=CPA，又因为1=2，所以BAP1=CPA2，即EAP=FPA，所以EAPF，所以E=F范例5 如图，已知ABCD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：HOP、AGF、HPO有怎样的关系？用式子表示并证明答案：HOP=AGFHPO解析：过O作CD的平行线MN，因为ABCD，且CDMN，所以ABMN，所以AGF=MOF=HON，因为CDMN，HPO=PON，所以HOP=HONPON=HONHPO，所以HOP=AGFHPO范例6 如图，已知ABCD，说明：BBEDD=360 分析：因为已知ABCD，所以在BED的内部过点E作AB的平行线，将BBEDD的和转化成对平行线的同旁内角来求。 解：过点E作EFAB，则BBEF=180（两直线平行，同旁内角互补）ABCD（已知）EFAB（作图）EFCD（平行于同一条直线的两直线平行）DDEF=180（两直线平行，同旁内角互补）BBEFDDEF=360BBEDD=BBEFDDEFBBEDD=360范例7. 小张从家（图中A处）出发，向南偏东40方向走到学校（图中B处），再从学校出发，向北偏西75的方向走到小明家（图中C处），试问ABC为多少度？说明你的理由。解：AEBD（已知）BAE=DBA（两直线平行， 内错角相等）BAE=40（已知）ABD=40（等量代换）CBD=ABCABD（已知）ABC=CBDABD（等式性质）ABD=40（已知）ABC=7540=35范例8 如图，ADC=ABC， 12=180，AD为FDB的平分线，说明：BC为DBE的平分线。分析：从图形上看，AE应与CF平行，AD应与BC平行，不妨假设它们都平行，这时欲证BC为DBE的平分线，只须证3=4，而3=C=6 ，4=5，由AD为FDB的平分线知5=6，这样问题就转化为证AECF，且ADBC了，由已知条件12=180不难证明AECF，利用它的平行及ADC=ABC的条件，不难推证ADBC。证明：12=180（已知）27=180（补角定义）1=7（同角的补角相等）AECF（同位角相等，两直线平行）ABCC=180（两直线平行，同旁内角互补）又ADC=ABC（已知），CFAB（已证）ADCC=180（等量代换）ADBC（同旁内角互补，两直线平行）6=C， 4=5（两直线平行，同位角相等，内错角相等）又3=C（两直线平行，内错角相等）3=6（等量代换）又AD为BDF的平分线5=63=4（等量代换）BC为DBE的平分线范例9 如图，DE，BE 分别为BDC， DBA的平分线，DEB=12（1）说明：ABCD（2）说明：DEB=90分析：（1）欲证平行，就找角相等与互补，但就本题，直接证CDB与ABD互补比较困难，而12=DEB，若以E为顶点，DE为一边，在DEB内部作DEF=2，再由DE，EB分别为CDB， DBA的平分线，就不难证明ABCD了，（2）由（1）证得ABCD后，由同旁内角互补，易证12=90，进而证得DEB=90证明：（1）以E为顶点，ED为一边用量角器和直尺在DEB的内部作DEF=2DE为BDC的平分线（已知）2=EDC（角平分线定义）FED=EDC（等量代换）EFDC（内错角相等，两直线平行）DEB=12（已知）FEB=1（等量代换），EBA=EBF=1（角平分线定义）FEB=EBA（等量代换）FEBA（内错角相等，两直线平行）又EFDCBADC（平行的传递性）（2）ABDC（已证）BDCDBA=180（两直线平行，同旁内角互补）又1=DBA，2=BDC（角平分线定义）12=90又12=DEBDEB=90三、专项训练 （一）. 选择题1. 如图1，直线a、b相交，1120，则23（）A. 60B. 90C. 120D. 180答案：C 图1 图2 图32. 如图2，要得到ab，则需要条件（）A. 24B. 13180C. 12180 D. 23答案：C3. 如图3，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A. 同位角相等，两直线平行B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行D. 两直线平行，同位角相等答案：A4. 如图4，ABED，则ACD（）A. 180B. 270C. 360D. 540 图4 图5答案：C5. 如图5所示，1120，2100，则3（ ）A. 20 B. 40 C. 50 D. 60答案：B6. 已知：如图6，AOB的两边 OA、OB均为平面反光镜，AOB40，在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则QPB的度数是（ ）A. 60 B. 80 C. 100D. 120答案：B 图7 图87下列说法正确的是（ ）A. 两条不相交的直线叫做平行线B. 同位角相等C. 两直线平行，同旁内角相等D. 同角的余角相等答案：D8如果1和2是两平行线a，b被第三条直线c所截的一对同位角，那么（ ）A. 1和2是锐角B. 12=180C. 12=90D. 1=2答案：D9如图5，ABCD，则结论：（1）1=2；（2）3=4；（3）13=24中正确的是（ ）A. 只有（1）B. 只有（2） C. （1）和（2）C. （1）（2）（3）答案：D 图510如图6，ABCD，若3是1的3倍，则3为（ ）A. B. C. D. 答案：B图6图711如图7，DHEGBC，且DCEF，则图中与1相等的角（不包括1）的个数是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6答案：C12如图8，已知ABCD，CE平分ACD，A=110，则ECD的度数为（ ）A 110B. 70C. 55D. 35答案：D图8图913如图9，如果DEBC，那么图中互补的角的对数是（ ）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对答案：C二. 填空题1 如图10，当1_时，ABCD；当D_180时，ABCD；当B_时，ABCD。答案：； 图10 图114 如图10，ABCD，直线l平分AOE，140，则2_答案：6如图12，1=2（ ）（ ）（ ），D=（ ）（ ）又D=3（已知）（ ）=（ ）（ ）（ ）（ ）答案：ADBE，内错角相等，两直线平行，DBE，两直线平行，内错角相等，DBE=3，BDCE，内错角相等，两直线平行图12图137如图13，ADBC，1=60，2=50，则A=（ ），CBD=（ ），ADB=（ ），AADB2=（ ）答案： 60，70，70，1808图14，由A测B的方向是（ ），由B测A的方向是（ ）图14图15答案：南偏东60，北偏西609如图15，ab，ABa垂足为O，BC与b相交于点E，若1=43，则2=（ ）。答案：13310如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30，则这两个角的度数分别是（ ）和（ ）答案：42，13811在同一平面内有三条直线a、b、c，已知ab，且ca，则b与c的位置关系是（ ）。答案：垂直三. 解答和证明1、如图16，ABCD，BE平分ABC，CF平分BCD，你能发现BE和CF有怎样的位置关系么？并证明你的结论。图16答案：1、平行。ABCD，ABC=DCB，EBC=ABC， FCB=DCBEBC=FCBBECF 2、判断下面的结论是否正确，并说明理由（1）如图17：AE平分CAD，AEBC，那么B=C图17 （2）如图17：如果B=C，AEBC，那么AE平分CAD。答案：正确，AEBCB=DAE，C=EACDAE=CAE，B=C正确，AEBCB=DAE，C=EACB=CDAE=CAE，即AE平分DAC3、如图18，ABCD，ABE=FCD，F=40，求E的度数。图18答案：3、E=405、已知，AOB=90，求作AOC，使其等于的余角答案：提示：以OB为一边在AOB内部作BOC=6 已知：如图，ABCD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P说明P答案：略4.4 全等三角形一、知识要点归纳 （一）三角形边角之间的关系 1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180。 ，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。2、三角形的三边关系三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。即若a、b、c是三角形的三边，则|b-c | a b+c .3、三角形的重要线段：高线：三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫三角形的高线。中线：三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线中位线：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。角平分线：三角形一个角的平分线与对边交点的线段叫三角形的角平分线。三角形的三条高线交于一点，三条中线交于一点，三条角平分交于一点。角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。到角两边距离相等的点在角的平分线上。（二）全等三角形1、能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。全等三角形的对应线段（角平分线、中线、中位线、高线）相等。全等三角形的周长相等，面积相等。3、全等三角形的判定：SSS SAS ASA AAS HL 找夹角 SAS已知两边 找直角 HL 找另一边 SSS边为角的对边找任一角 AAS 已知一边一角找夹角的另一边 SAS边为角的邻边 找夹边的另一角 ASA找边的对角 AAS找夹边 ASA已知两角找任一边 AAS 二、典题精析例1：已知：如图，过DABC的顶点A，作AFAB且AF=AB，作AHAC，使AH=AC，连结BH、CF，且BH与CF交于D点。求证：（1）BH=CF（2）BHCF分析：从图中可观察分析，若证BH=CF，显然，若能证出DABHDAFC，问题就能解决。从已知看，已经知道AF=AB，AC=AH。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看，BAF和HAC都是直角。而图中的BAC显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。证明：（1）AFAB，AHAC BAF=HAC=90 BAF+BAC=HAC+BAC 即FAC=BAH 在DABH和DAFC中 DABHDAFC（边角边） BH=FC（全等三角形对应边相等）（2）设AC与BH交于点P 在DAPH中 HAP=90 2+3=90（直角三角形中两个锐角互余） 1=2（全等三角形对应角相等） 3=4 1+4=2+3=90 在DPDC中 1+4=90 HDC=90 BHCF例2：已知，如图：BD、CE是DABC的高，分别在高上取点P与Q，使BP=AC，CQ=AB。求证：AQ=AP分析：从要证的结论AQ=AP，只有在DABP和DQCA中找对应原素，不难发现，已经有BP=AC、CQ=AB，也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出1=2？再分析已知条件，不难看出，既然BD、CE都是高，就有BDA=CEA=90，这样就可看出1和2都是BAC的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到1=2，这样问题就可以迎刃而解了。证明：BDAC于D CEAB于EBDA=CEA=901+BAC=2+BAC=901=2在DABP和DPCA中DABPDQCA（边角边）AQ=AP（全等三角形对应边相等）例3：已知：如图，OA=OB、OC=OD求证：AE=BE分析：从要证明的结论AE=EB看，我们不难看出，应当在DADE和DBCE中去寻找答案，而要证明DADEDBCE，比较明显的有一组对顶角相等，即AED=BEC，另外可以通过等式性质得到，OAOD=OBOC，即AD=BC，那么这两个三角的全等条件仍然差一个，从证明的结论AE=BE上分析，不可能再寻找边的对应相等了，那么只有找一组对应角是否相等就可以了，如能否证出A=B（或ADE=BCE），A=B除了是DADE和DBCE的对应角外，它们还是DAOC和DBOD的对应角，只要DAOCDBOD，那么就可以推出A=B，这样问题便迎刃而解了，同学们自己分析一下DAOC和DBOD全等条件够吗？证明：在DAOC和DBOD中DAOCDBOD（边角边）A=B（全等三角形的对应角相等）OA=OB（已知） OC=OD（已知）AD=BC（等式性质）在DADE和DBCE中DADEDBCE（角角边）AE=BE（全等三角形对应边相等）同学们自己动手试一试，可不可通过证明ADE=BCE来证明DADEDBCE 呢？例4：已知：如图，ADBC，AE、BE分别平分DAB和CBA，DC过点E。求证：AB=AD+BC分析：从要证明的结论AB=AD+BC上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB边上截一段等于AD（或BC），利用角平分线的条件证全等。证明（一）：在AB上截AF=AD，连结EF在DADE和DAFE中DADEDAFED=AFE（全等三角形对应角相等）ADBC（已知）D+C=180（两直线平行，同旁内角互补）又D=AFE（已证）BFE=C（等角的补角相等）在DBFE和DBCE中DBFEDBCE（角角边）BF=BCAB=AD+BC证明（二）：延长AE、BC交于点F。AE、BE分别是DAB和CBA的平分线。 又ADBC1+2+3+4=180（两直线平等，同旁内角互补）2+3=90AEB=90BEF=90在DABE和DFBE中DABEDFBE （角边角）AB=BF AE=EF在DAED和DFEC中DAEDDFEC AD=FCAB=AD+BC（等量代换）例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD、CEAB于E，且B+D=180。求证：AE=AD+BE分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出DADCDAFC，问题就可以得到解决。证明（一）：在AE上截取AF=AD，连结FC。在DAFC和DADC中DAFCDADC（边角边）AFC=D（全等三角形对应角相等）B+D=180（已知）B=EFC（等角的补角相等）在DCEB和DCEF中DCEBDCEF （角角边）BE=EFAE=AF+EFAE=AD+BE（等量代换）证明（二）：在线段EA上截EF=BE，连结FC（如右图）。同样也可以证明，同学们自己试一试，证明过程是怎样的，看一看，当推导过程不通时，想一想，还有哪些已知条件没有充分考虑到，或是还有哪些定理，性质用的不熟，自己找一找思维障碍是什么？小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。如例：已知：DABC中，AD是BC边上的中线求证：分析：求证，即可变形为，其结构恰好为中线的2倍。小于原三角形的两边之和，如果添加辅助线，造出一个三角形，使其两边恰与AB、AC相等，而另一边正好为AD的2倍，问题就迎刃而解了。证明：延长AD至E，使DE=AD，连结BE。在DADC和DEDB中DADCDEDB（边角边）AC=BE（全等三角形对应边相等）在DABE中（三角形中，两边之和大于第三边）又如前面的例4、例5，证明某两条线段的和等于另一条线段，往往考虑“截长补短”，有时为了达到某种证明目的，可以考虑“平行移动”即过某点作一直线平行于某已知直线。遇到中线时往往考虑到倍长，达到旋转180，有时遇有角平分线，还可以考虑添加平行线，能得出等腰三角形。当然，目前由于我们学的知识还不够，有些题目不可能一下子就会遇到，但随着学习的深入，添加辅助线在几何证明过程中，经常要遇到，所以从现在起，遇到类似的问题，就要不断的总结，不断的积累。下面再分析一下下面的例题，以便逐步养成分析问题解决问题的良好的逻辑思维习惯。例：已知：如图，在DABC中，D是BC的中点，E、F分别在AC、AB边上，EDF=90。求证：分析：从要证的结论来看，它们没构成一个三角形，不能利用我们学习过的三角形三边的关系加以证明，D是中点，可考虑延长，