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课时作业(五十二)抛物线一、选择题1(2016石家庄模拟)若抛物线y22px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()Ay24x By26xCy28x Dy210x解析：由题意可知p0，因为抛物线y22px，所以其准线方程为x，因为点P(2，y0)到其准线的距离为4，所以|2|4，所以p4，故抛物线方程为y28x。故选C。答案：C2设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5。所以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x解析：由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M，则，。由已知得，0，即y8y0160，因而y04，M。由|MF|5得，5，又p0，解得p2或p8，故选C。答案：C3(2016郑州模拟)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个点，若PQF是边长为2的正三角形，则p的值是()A2 B2C.1 D.1解析：F，设P，Q(y1y2)。由抛物线定义及|PF|QF|，得，所以yy，又y1y2，所以y1y2，所以|PQ|2|y1|2，|y1|1，所以|PF|2，解得p2。答案：A4(2016济南模拟)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k的值为()A. B.C. D.解析：设抛物线C：y28x的准线为l：x2，直线yk(x2)(k0)恒过定点P(2,0)，如图过A，B分别作AMl于M，BNl于N，由|FA|2|FB|，则|AM|2|BN|，点B为AP的中点，连接OB，则|OB|FA|，所以|OB|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2)，把B点坐标代入直线方程得k的值为。答案：C5(2016孝感模拟)直线l经过抛物线y24x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则线段AB的长为()A5 B6C7 D8解析：设抛物线y24x的焦点为F，准线为l0，A(xA，yA)，B(xB，yB)，C是AB的中点，其坐标为(xC，yC)，分别过点A，B作直线l0的垂线，垂足分别为M，N，由抛物线的定义得|AB|AF|BF|AM|BN|xA1xB1xAxB22xC28。答案：D6(2016武汉模拟)如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点F恰好是双曲线1(a0，b0)的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为()A. B2C.1 D.1解析：由题意，因为两条曲线交点的连线过点F，所以两条曲线的一个交点为，代入双曲线方程得1，又c，所以41，化简得c46a2c2a40，所以e46e210，所以e232(1)2，所以e1，故选C。答案：C二、填空题7已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(a，2)到焦点的距离为3，则抛物线的方程是_。解析：由题意可设抛物线的方程为x22py(p0)，抛物线上的点P(a，2)到焦点的距离即为点P到准线y的距离，所以23，解得p2，所以抛物线的方程为x24y。答案：x24y8已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点。若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_。解析：设直线ya与y轴交于M点，若抛物线yx2上存在C点使得ACB90，只要以|AB|为直径的圆与抛物线yx2有除A，B外的交点即可，即使|AM|MO|，所以a，所以a1或a0，因为由题意知a0，所以a1。答案：1，)9(2016宁波模拟)已知抛物线y24x的准线与双曲线1(a0，b0)交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是_。解析：抛物线焦点F(1,0)，由题意0a1，且AFB90并被x轴平分，所以点(1,2)在双曲线上，得1，即b2c2a2，即c2a2，所以e21，因为0a5，故e。答案：(，)三、解答题10(2016杭州模拟)已知曲线C上的动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l：y2的距离小1。(1)求曲线C的方程；(2)动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A，B。直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由。解析：(1)因为动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l：y2的距离小1，所以动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离与直线l：y1的距离相等。所以曲线C是以F(0,1)为焦点，y1为准线的抛物线，所以曲线C的方程是：x24y。(2)设E(a，2)，切点为，由x24y得y，所以y，所以，解得：x0a，所以A，B，化简直线AB方程得：y2x，所以直线AB恒过定点(0,2)。11已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1)。(1)求抛物线的标准方程。(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程。(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A，B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程。解析：(1)设抛物线的标准方程为x22py，把点P(2,1)代入可得42p，所以p2，故所求的抛物线的标准方程为x24y。(2)当斜率不存在时，直线方程为x2，符合题意；当斜率存在时，设直线方程为y1k(x2)，即ykx2k1，联立方程可得整理可得x24kx8k40。因为直线与抛物线只有一个公共点，所以16k232k160，所以k1。综上可得，直线l的方程为xy10或x2。(3)由题意可知，AB的斜率存在，设AB的方程为y1k(x1)，代入抛物线的标准方程x24y可得x24kx4k40，所以x1x24k2，所以k，所以AB的方程为y1(x1)，即x2y10。12已知抛物线C：y22px的焦点坐标为F(1,0)，过F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x2相交于M，N两点。(1)求抛物线C的方程。(2)证明ABO与MNO的面积之比为定值。解析：(1)由焦点坐标为(1,0)，可知1，所以p2，所以抛物线C的方程为y24x。(2)当直线AB垂直于x轴时，ABO与MNO相似，所以2，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为yk(x1)，设M(2，yM)，N(2，yN)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由整理得k2x2(42k2)xk20，所以x1x21，所以，综上。
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