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习 题 -4 求解下列微分方程：（）；解：令，则原方程化为，即，积分得：还原变量并化简得：（）；解：由得令，则有，由第一题的结果知此方程解为，还原变量并化简得： （）；解：令，则，即，此方程为变量分离方程，分离变量并积分得：，还原变量并化简得：（）解：当时，方程两边同时乘以,则，令，则,此方程为一阶线性方程，由公式得：还原变量得：.也是方程的解2. 利用适当的变换，求解下列方程：（）；解：令，则，当时，有，即，两边积分得：还原变量化简得：当时，即也是方程的解（）；解：方程两边同时乘以则原方程化为：，即此方程为全微分方程，则原方程的解为：（）；解：原方程即为，令，则,由得，令，则有 令，则，则有，此方程为变量分离方程，分离变量并积分得：，还原变量并化简得：.（）解：原方程即为，令,则，由， 令，则，令，可将方程化为变量分离形方程，两边积分得：，还原变量并化简得：3. 求解下列微分方程：（）；解：令，则原方程可化为：，当时，即时方程为，此方程为变量分离方程，两边积分得：还原变量并化简得：；当时，是方程的特解（）；解：原方程即为：，令，则，此方程为变量分离方程，分离变量积分得：，还原变量并化简得：4. 试把二阶微分方程化为一个黎卡提方程解：令，则，代入原方程可得：，即有：，此方程为一个黎卡提方程5. 求一曲线，使得过这一曲线上任一点的切线与该点向径的夹角等于解：设此曲线为，由题意得：，化简得：，此方程为齐次方程，解之得：6. 探照灯的反光镜（旋转面）应具有何种形状，才能使点光源发射的光束反射成平行线束？解：取点光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向，建立三维坐标系设所求曲面由曲线绕x轴旋转而成,则求反射镜面问题归结为求 xy 平面上的曲线y=f(x)的问题由题意及光的反射定律，可得到函数所应满足的微分方程式：，此方程为齐次方程，解之得：，（其中c为任意正常数）就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此反射镜面的形状为旋转抛物面习 题 -5 求解下列微分方程：（）；解：方程两边同乘，则，此方程为全微分方程，即（）；解：方程两边同乘，则即此方程为全微分方程，即有（）；解：方程两边同乘 ，则即 此方程为全微分方程，即有（）; 解：方程两边同乘，则，此方程为全微分方程，即（5）； 解：方程两边同乘，则 ，此方程为全微分方程，即.（6）； 解：方程两边同乘，则 ， 此方程为全微分方程，即.（7）； 解：方程两边同乘，则 ， 此方程为全微分方程，即（8） 解：方程两边同乘，则， 此方程为全微分方程，即.2. 证明方程（5.1）有形如的积分因子的充要条件是，并写出这个积分因子。然后将结果应用到下列 各种情形，得出存在每一种积分因子的充要条件:（1） ; （2） ; （3）;（4）; （5）.证明： 若是的积分因子, 则， 即= （）以上过程 可逆，故充分性显然. （1） （2） （3） （4） （5）3. 证明齐次方程有积分因子.证明：作变换，则由是齐次方程，我们有 方程两边同乘，则有 ，显然此方程为全微分方程4. 证明定理及其逆定理：在定理的假定下，若 是微分方程的另一个积分因子，则 必可表为的形式，其中函数 和的意义与在定理中相同证明：（定理）因为是（5.1）的积分因子，且使得：，则，.要判断是否为积分因子，只需验证下列等式成立：,显然,且， 所以 是(5.1)的积分因子（逆定理）由定理条件假定也是(5.1)的积分因子且使得. 设是微分方程的另一个积分因子,且设 , 则, 即, 所以, 则设函数都是连续可微的，而且是微分方程(5.1) 的两个积分因子, 常数。试证是方程（5.1）的一个通积分.证明：利用P47 的定理令，则是(5.1)的积分因子，即, 显然有是方程(5.1)的通积分.习 题 -6 求下列各曲线族的正交轨线族：（）；解：由方程得：，消去c有:, 则所求正交轨线的微分方程为，亦即，所以所求正交轨线族为（）；解：由方程得：，消去c有:, 则所求正交轨线的微分方程为，亦即，所以所求正交轨线族为（）；解：由方程得：，消去c有:, 则所求正交轨线的微分方程为，亦即，所以所求正交轨线族为（）解：由方程得：，消去c有: 则所求正交轨线的微分方程为，亦即，所以所求正交轨线族为或者 .2. 求与下列各曲线相交成角的曲线族：（）；解：由方程得：，消去c有:,则所求等角轨线的微分方程为，亦即，所以所求等角轨线族为（）；解：由方程得：，消去c有:, 则所求等角轨线的微分方程为，亦即， 所以所求等角轨线族为（）；解：由方程得：，消去有:, 则所求等角轨线的微分方程为，亦即，所以所求等角轨线族为（）解：由方程得：，消去有:, 则所求等角轨线的微分方程为，亦即，所以所求等角轨线族为3. 给定双曲线，（其中为任意常数）设有一个动点在平面上移动，它的轨迹与和它相交的每条双曲线均成角，又设此动点从出发，试求这动点的轨迹解：由题意知，此轨迹即为与双曲线相交成 角的曲线族由方程得：，消去c有: 则所求轨线的微分方程为，所以所求轨线族为， 又因为此轨迹过点，所以，所以所求轨迹为4. 追线：在平面上，有某物 从原点出发，以常速沿x轴的正方向运动同时又有某物 以常速 从点出发追赶设，且的运动方向永远指向 P试求 的运动轨迹，以及追上 P的时间解：设的运动轨迹为，由题意知即是下列初值问题的解，此方程为一变量分离方程，解之得：当在T时刻相遇时，即有,代入其轨迹方程求得：5. 逃逸速度：假设地球的半径为公里，地面上的重力加速度为，又设质量为的火箭在地面以初速垂直上升，假设不计空气阻力和其它任何星球的引力试求火箭的逃逸速度，即：使火箭一去不复返的最小初速度 解：由物理学知识知，此逃逸速度满足下列式子：（其中为地球的质量）将数据代入上式求得：（公里秒）6. 设某社会的总人数为，当时流行一种传染病，得病人数为设传染病人数的扩大率与得病人数和未得病人数的乘积成正比试讨论传染病人数的发展趋势，并以此解释对传染病人进行隔离的必要性解：设传染病人数是时间 t的函数，并设题中的正比例系数为 p. 则由题意得：此方程为一变量分离方程，分离变量并积分得： 又因为最初得病人数为x，所以，代入求得 ，所以传染病人数的发展趋势可表示为：，（其中x为最初得病人数）由上式我们可以看出，当时，所以及时对传染病人进行隔离是必要的
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