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小学奥林匹克数学思维方法训练大全 九龙坡区教师进修校 邓永富编 给读者的话在人生漫长的学习过程中有几个重要的分化期，其中小学阶段，尤其是小学三 四年级是第一个也是最重要的一个分化期。如果说智慧是成功大厦的基石，数学则是开启智慧大门的金钥匙。愿每一位小朋友用奥林匹克的拼搏精神,从一年级开始学好数学的思维方法, 亲自动手摆一摆，认真动脑想一想,开启智慧大门,成为一个聪明的人！目录第一讲 摆一摆 想一想1第二讲 折一折 分一分3第三讲 速算与巧算 5第四讲 统计与计数 7第五讲 身边数学 10第六讲 数字游戏 12第七讲 火柴棍游戏（一）14第八讲 火柴棍游戏（二）16第九讲 找出不同 18第十讲 寻找规律 20第十一讲 小发明家 22第一讲 摆一摆 想一想你知道科学家的童年都喜欢什么吗？亲自动手摆一摆，认真动脑想一想手脑动动动 例1 用两根火柴棍，摆成一个锐角、一个直角、一个钝角。 用两根火柴棍，你还能摆出一个什么？例2 用四根火柴棍摆出两条平行直线，再摆出两条相交直线。 用四根火柴棍，你还能摆出一个什么？例3 用火柴棍摆出一个三角形、一个正方形、一个菱形、一个长方形、一个平行四边形、一个等腰梯形、一个五边形、一个六边形、一个八边形。你还能摆出什么图形？例4 用三根火柴棍可以摆出一个三角形，如图。（1）再加两根火柴棍，摆出两个三角形（2）再加两根，摆出三个三角形来。（3）再加两根，摆出五个三角形来。必须有火柴棍公用！ （1） （2） （3）说一说：你发现了什么？1 习题一1.用两根小木棍，摆成一个很小的锐角，然后慢慢地挪动一根，使锐角渐渐变大。如果继续转动小棍，将会出现什么角？ 2如右图所示，用火柴棍摆了五个三角形。（1）拿掉哪三根，就可以变成一个三角形？（2）拿掉哪两根，就可变成两个三角形？（3）拿掉哪一根，就可变成三个三角形？ 3如右图所示，用火柴棍摆了五个正方形。（1）请你拿掉两根，剩下三个正方形。（2）请你拿掉两根，剩下两个正方形。4如图所示，用火柴棍摆了六个三角形。如果拿掉三根火柴棍就变成了三个三角形，应该拿掉哪三根？试试看。 5如右图所示，用16根火柴棍摆了四个正方形。你能用15根、14根、13根火柴棍也分别摆成四个小正方形吗？摆摆看。6. 下图是用12根火柴棍组成了4个同样大小的小正方形，同时还构成了一个大正方形。请你移动四根火柴棍，使它变成为10个正方形（大小可以不一样）移动3根火柴杆，把它变成3个不相连靠的正方形。7. 24个人排成6列，要求5个人为一列，你知道应该怎样来排列吗？（先摆一摆，再说一说）8. 一个牧羊人，第一天发现少了2只羊羔，第二天发现又少了2只羊羔，第三天他认真地寻找了一下，发现羊群中有一只披着羊皮的狼，原来羊羔被这只披着伪装的狼吃掉了。请问，这狼一共吃了几只羊羔？9. 20名运动员报数后，1020号退出，其余留下，留下的运动员是几人？10. 小明、不勇、小强，三人是好朋友，他们在一块儿玩汽球，小明比小勇大3岁，小勇比小强小2岁，请你仔细想一想，小强与小明相差几岁？准备：正方形、长方形、圆形、平行四边形、三角形纸片各一张。 2我知道：折纸的起源于中国，通过折纸可启发儿童的创造力和逻辑思维，更可促进手脑的协调！第二讲 折一折 分一分如何将一个图形分成相同的几部分呢？这里介绍一种简单易行的方法折叠描痕法。例1 把正方形分成相同的四部分。第一步：对角折第二步：再对角折第三步：展开，描痕。例2 把大等边三角形分成相同的四部分，使每部分的形状都与原图形一样。第一步：左右对角折，然后展开，描痕成虚线，虚线与底边交点就是底边中点。第二步：将上角折下，使角顶与底边中点重合。第三步：折左角、折右角，如图示。第四步：展开，描痕。例3 用折叠描痕法等分一个长方形纸条。（1）对折1次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份？（2）对折2次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份？（3）对折3次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份？（4）对折4次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份？（5）对折5次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份？解：我也会！3习题二 用折叠描痕法等分图形：1把一张正方形的纸分成四等份，你能想出三种折叠方法来吗？2把一张长方形的纸分成八等份，你能想出多少种不同的折叠方法来？3把一张圆形的纸分成二等份、四等份、八等份和十六等份。 4把一张平行四边形的纸分成二等份、四等份。5把一个等腰三角形的纸，用折叠描痕法等分成二等份后，再用剪刀剪开，拼成一个长方形。6把一个等腰梯形先折叠两次（一次找腰的中点，一次折出三角形），再沿折痕剪下，拼成一个大三角形。7把一个平行四边形纸，先折叠一次（折出一个直角三角形）再沿折痕剪下，拼成一个长方形。 8. 老和尚要3千克水，派小和尚担两个不一样的空桶去打水。其中一个可盛5千克，另一个可盛7千克。你能利用这两只空桶取回3千克的水吗？怎样取？ 9.下列图画各由哪些数字组成？ （ ） （ ） （ ） 4第三讲 速算与巧算我能根据题目选择最好的算法，达到又对又快！ 一、凑十法：同学们已经知道，下面的五组成对的数相加之和都等于10：1+9=10 2+8=10 3+7=10 4+6=10 5+5=10巧用这些结果，可以使计算又快又准。例1 计算 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10方法一：从左往右逐步相加：1+2=3 3+3=6 6+4=1010+5=1515+6=2121+7=2828+8=3636+9=4545+10=55方法二：选择数 “凑十”二、凑整法同学们还知道，有些数相加之和是整十、整百的数，如：（1）1+19=20 2+18=20 3+17=20 4+16=20 5+15=20 （2）11+9=30 12+28=40 13+37=50 14+46=60 15+55=70 （3）15+85=100 14+86=100 25+75=100 24+76=100巧用这些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。像10、20、 30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。例2 计算 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解：这是求1到19共10个单数之和，用凑整法做：例3 计算 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解：这是求2到20共10个双数之和，用凑整法做：例4 计算 2+13+25+44+18+37+56+75解：用凑整法： 5习题三1.2+3+4+5+6+7+82.5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+153.4+6+8+10+12+144.3+6+7+10+14+17+235. 苹果比梨多( )个，桃比苹果少( )个，梨比桃多( )个。去掉( )个苹果，去掉( )个梨，三种水果的个数就同样多。6. 写出个位和十位上数字相同的两位数。( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7.在里填上合适的数+7=45-7=45 34+=87 +38=72 72-=16 -7=548. 在里填上合适的数 9.把16只小鸡分别装进5个笼子里，每个笼子里都要有鸡，而且每个笼子里的鸡的只数也不能相同，如何分装？按同样要求，把15只小鸡装进5个笼子能办得到吗？按同样要求，把14只小鸡分装到5个笼子能办得到吗？10.分别用有数字1，8，3的三张卡片，能排出多少个不同的2位数来？11.哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1块，妹妹拿2块；哥哥拿3块，妹妹拿4块；接着哥哥拿5块、7块、9块、11块、13块、15块，妹妹拿6块、8块、10块、12块、14块、16块。你说谁拿得多，多几块？ 6 第四讲 统计与计数又对又快数出一堆物体个数，巧妙的方法很重要！例1 请你数一数，下图中共有多少个“”?方法一：分层数方法二：先按“实心”三角形计算，再减去“空白”三角形中“”的个数（1+3+5+7+9+11+13+15+17）-（5+3+1）例2 下图所示的“塔”由4层没有缝隙的小立方块垒成，求塔中共有多少小立方块？方法一：从顶层开始数（上层加下层“看得见”的块数）第一层 第二层 第三层 第四层1块 3块 6块 10块 总块数 1+3+6+10=20（块）。方法二：从上往下找规律 总块数1+3+6+10=20（块）例3 右图是由小立方体码放起来的，其中有一些小立方体被压住看不见。请你数一数共有多少小立方体？解：从右往左数，并且编号第一排 第二排 第三排 第四排 第五排1块 7块 5块 9块 16块总数：1+7+5+9+16=38（块）。例4小朋友排队，小红前面4个人，后面3个人，问这队共有几个人？ 4+3+1=8（人）例5 排好队，来报数，正着报数我报七，倒着报数我报九，一共多少小朋友？解：见图方法一：7+9-1=15（人） 方法二：7+（9-1）=15（人）。 7例6小朋友，张开手，五个手指人人有。手指之间几个“空”，请你仔细瞅一瞅？解：见图看一看、数一数可知：5个手指间有4个“空”。“空”又叫“间隔”，也就是，人的一只手有5个手指4个间隔。例7 小朋友在一段马路的一边种树。每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多长？解：画示意图如下：习题四1请你数一数，下图中共有多少？2如图所示，一单层砖墙下雨时塌了一处，请你数一数，需要多少块砖才能把墙补好？3如右图所示是一个由小立方体构成的塔，请你数一数并计算出共有多少块。4右图所示是由小立方体堆起来的，请你数一数，共有多少小立方体？ 85. 学生排成一队，在小进的前面有6人，后面有8人，问这队共有多少人？6.12辆汽车组成一列车队向前行进。从前面数起，红色的小轿车是第7辆。问从后面数它是第几辆？7. 说稀奇、道稀奇，鸭子队里有只鸡。正着数它第六，倒着数它第七。请你帮助算一算，小鸭一共有几只？8. 一队男生8人。老师要求在2名男生中间插进1名女生，问可插进多少女生？9.把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟。把这根木头锯成10段，需要几分钟？把这根木头锯成100段，需要几分钟？10小冬用12张纸订成一个本子。从头数起，每隔3纸夹进一片树叶，问这个本子内共放进多少片树叶？11在一条20米长的小路两旁种小松树，如果每隔5米种一棵，而且两头都种树，问这段小路上共种多少棵？12一根钢管长6米，每分钟锯下1米，几分钟锯完？13. 鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟。问中午12点时打12下需要几秒钟？14. 在里填上合适的数 9第五讲 身边数学每个人都离不开数学，数学思维方法能忙你解决困难！从1开始，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12连起来成一串，像一串糖葫芦，我们把这样的一串数叫作数串（也叫数列）。数串的特点是：数串可以是有头无尾，但排列是可以找出规律。例1 如下页图所示。一份学习材料放在桌上，一阵风把材料吹落了一地。小军拣起来一看，糟糕，少了两张。根据下面拣到的材料的页码，你能说出少了哪几页吗？解：一张材料的正反两面用两个数作页码，这两个数是相邻的。仔细观察找到的材料的页码，根据数串的特点，可知少了的两张纸的页码是（7、8）和（13、14）。例2走，看电影去，考考你会给自己找座位吗？（用线连一连） 例3商店的货架上堆放着一堆火腿肠。你能很快地算出它的总数有多少根吗？ 例4小青每年都和家长一起参加植树节劳动。七岁那年，他种了第一棵树，以后每年都比前一年多种一棵。现在他已经长到15岁了，连续地种了九年树。请你算一算，这九年中小青一共种了多少棵树？1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（棵） 10习题五1小明从1写到100，他共写了多少个数字“9”？2.小聪从1写到40,他共写了多少个数字“3”？3把1到12这十二个数每两个数分为一组，要求每组的两个数之和都相等，怎么分？和是多少？4用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数编三个算式，一个加法、一个减法、一个乘法，每个数只许用一次。5.用分别写有数字0，1，2的三张纸片能排出多少个不同的二位数？6. 学校开展运动会，需要购买100元的体育用品，怎么买，你能出出主意吗？ 60元 20元 15元 25元 方案一： 方案二：方案三： 方案四：7. 把3张画用图钉钉在墙上，要使每张画的四个角上都钉上图钉，一共需要几颗图钉？（你能提出多少种方案） 8. 6月1日是小明的生日，爸爸通知了3个小朋友，妈妈通知了2个小朋友参加晚上的庆祝活动。晚上爸爸妈妈通知的小朋友全来了。问前来参加庆祝活动的小朋友有几人？9.你能提出身边的数学问题吗？试一试。 11第六讲 数字游戏填数阵图的突破口是先填“中心”或“拐角”的数!例1 如右图，把4、5、6、7四个数填在四个空格里，使横行、竖行三个数相加都得14。怎样填？ 中心的“3”可以改成其它数吗？例2 如图所示。在圆圈里填上不同的数，使每条直线上三个数相加之和都等于12。你还有不同的填法吗？43 8 9512 76例3请将1-9这九个数，填入图3的方格内，使每行、每列、及两条对角线上三个数字的和都相等。 8 5 64 8 52 6如把“5”改成其它数可以吗？习题六1如右图所示。在正方形的空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数相加得数都是18。122如右图所示。在正方形空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的四个数相加都得34。3如右图所示。把适当的数填到三角形的空圈里，使每条直线上3个圈中的数相加都是10。4如图所示。从2、3、4、5、6中选取适当的数填入小圆圈，使同一个大圆上的小圆圈中的四个数的和都等于15，都等于16。5如右图所示，圆圈里填上不同的数，使每条直线上的三个数相加之和都等于10。6如图所示。在圆圈里填上不同的数，使每条直线上的三个数相加之和都是15。7.把1、2、3、4、5、6、7七个数 8. 把2、3、4、5、6填入图的五个方格填在图中的七个圆圈里，每个数只能 里，使横行、竖行的三个数之和等于：用一次,使每条线上的三个数相加之和 11、12、13。都等于12。 13第七讲 火柴棍游戏（一）用火柴杆拼排图形，是我国的民间小游戏，是一种很好的思维训练方式!例1 请你用火柴棍摆图形，并用橡皮泥粘接起来。（1）用三根火柴棍摆出一个等边三角形。（2）用四根火柴棍摆出一个正方形。（3）用四根火柴棍摆出一个菱形。你用火柴棍还能摆出什么图形？例2 请用7根火柴棍摆出2个小正方形出来。 你能用12根火柴棍摆出四个同样大小的小正方形吗？你能拿去三根火柴，使它变成三个同样大小的正方形吗？例3巧摆正方形 这个图形，你能移动五根火柴，让它变成两个正方形吗？例4下图是用24根火柴棍摆成的回字形图形，如果只允许移动图中的四根火柴棍，使原图形组成三个正方形（大小可以不一样），你能办得到吗？ 14习题七1下图所示为一个“小鱼”形状，请你移动二根火柴棍，使小鱼转向（变成头朝上或朝下）。请你移动三根火柴棍，使小鱼调头（变成头朝右）。2下图所示为一个倒放着且缺一条腿的椅子，请你移动两根火柴棍把椅子正过来。3.(1)用10根火柴棒摆成图，问最少要移动几根火柴，才能使它变成图的样子？4.10棵树，栽成5行，每行4棵。你知道这个模型是怎样设计的吗？提示：横、竖、斜线都可以组成一行，各行之间可交叉。5.在一处有古建筑的植树现场，技术员又以火柴杆插了一个树模型。这个模型的特点是：在古建筑的周围值树，16棵树，种4行，每行5棵。你来设计一下，这个模型是什么样的呢？提示：横、竖、斜线都可以组成一行，各行之间可交叉。6.用火柴植树模型试试看：9棵树，种8行，每行3棵，该怎么办呢？提示：横、竖、斜线都可以组成一行，各行之间可交叉。7下图是用17根火柴棍组成的6个同样大小的正方形。请你拿去三根，使留下的火柴棍变成4个同样大小的正方形。请你拿去五根，使留下的火柴棍变成3个同样大小的正方形。8下图是用20根火柴棍组成的5个同样大小的正方形，请你移动三根火柴棍，使原图变为7个同样大小的小正方形。9下面的图是由6根火柴杆组成的“田”字，移动1根火柴杆，会变成另一个字。你能分别变出两个汉字吗？15第八讲 “火柴棍”游戏（二）增、减或移动算式中的“火柴棍”，可使算式发生令人难以预料的奇妙变化。大胆尝试和思维敏捷在解“火柴棍”算式中尤为重要！在“火柴棍”算式中，数字和运算符号都是由“火柴棍”组成的。我们规定了下面的一套数字摆法：另外，在这里的运算符号如“+”号、“-”号也是由火柴棍组成的这样一来，用增减或移动火柴棍的办法也可以使“+”号变“-”号或使“-”号变“+”。这里“移动”火柴棍的意思是指把火柴棍从一个数字或运算符号上拿开，然后添到另一个数字或运算符号上去，因此算式中火柴棍的总数是不变的。例1 只移动一根火柴棍，使下面的等式成立。例2 只移动一根火柴棍，使下面的等式成立。 例3 只许移动一根火柴棍，使下式成立。 例4只许添加一根火柴棍，使下式成立。 例5只许去掉一根火柴棍，使下式成立。 你能根据上面的例题,发明一个“火柴棍”算式吗？16习题八1只许移动一根火柴棍，使下式成立。（算式写在括号里） （ ） （ ） （ ）2. 只许移动一根火柴棍，使下式成立。（算式写在括号里） （ ） （ ） （ ） （ ）3. 只许去掉一根火柴棍，使下式成立。（算式写在括号里） （ ） （ ）4. 只许添加一根火柴棍，使下式成立。（算式写在括号里） （ ） （ ） （ ）三国时，诸葛亮初到刘备军中任军师时，有人见他年轻，不服气，假装请教，给诸葛亮出了这道循环难题，我们用火柴杆代替小木棍，如下图等式是不成立的，但只要移动其中1根火柴杆，等式就成立。诸葛亮见题后，稍加思索，便指出了该怎么做，使大家惊叹其才思敏捷，非常佩服。试试看，你是不是现代的诸葛亮？ 17第九讲 找出不同 “比较”是区分事物类别的思维方法，当你按一定顺序比较几个图形或数时，就会发现他们中的不同！例1 下图中的两个三角形，有哪些相同点，有哪些不同点？相同点：都有一个直角，都是直角三角形。不同点：（1）中两条直角边不相等，是一般的直角三角形。（2）中两条直角边相等，是个等腰直角三角形。例2 下图中的两个图形，有哪些相同点，有哪些不同点？请你仔细观察、分析。相同点：都可以看成是一个大图形里面内接（套着） 一个同样形状的小图形组成。 不同点：（1）的大小两个图形都是正方形，（2）的大小两个图形都是等边三角形。例3 下图的五个图形中，哪一个与众不同？图（3）与其他四个不同。因为图（3）只有三条边，是三角形，而其他四个图形都是四边形。例4 从下面的五个图形中选出与众不同的一个。图（4）与其他四个不同。除图（4）外其他四个都是正多边形，也就是各边都相等的多边形；而图（4）的四条边长短不同，所以不是正多边形。例5 2，4，6，7，10这五个数中，哪一个与众不同？每一个数都与众不同，关键是看从什么观点出发！18习题九从下列每题的五个图形中选出与其他四个不同的一个，把答案序号填在括号里。1 答：（ ）。2 答：（ ）。3 答：（ ）。4 答：（ ）。5 答：（ ）。6 答：（ ）。7 答：（ ）。8 答：（ ）。9 答：（ ）。 10. 在10，13，16，18，22这五个数中，哪一个与众不同？19通过对图形的仔细观察、反复比较、大胆猜测、严格检验和不断修正等思考程序，就能发现下列图形的变化规律，得出正确的答案！第十讲 寻找规律例1 下图是按一定规律排列的。找出它的变化规律后，试画出所缺少的图形。 例2 在下图的一组图形中，“？”处应画什么样的图形？ 例3 下图的一组图形的“？”应填什么样的图形？ 例4在下面的横线上填数，使这列数具有某种规律，并说明有怎样的规律。 3，5，7， ， ， 。例5 找出规律，再填数。 20习题十下列各题中的图形都缺少一个，试根据对已给出的图形的观察思考，找出图形的变化规律，将所缺的图形画上。1 21第十一讲 小发明家亲自动手摆一摆，认真动脑想一想,开启智慧大门,当个小发明家！例1 以下各小题做立体模型要用橡皮泥粘接。（1）用六根火柴棍搭成一个四面体。 （2）用八根火柴棍搭成一个四棱锥。（3）用十二根火柴棍搭成一个正方体。（4）用九根火柴棍搭成一个三棱柱。数一数：你做出的各个立方体的顶点的个数、棱的条数（即火柴棍的根数）想一想：面数（需要想像出来）是多少？算一算：每个立方体的顶点数-棱数+面数=？再把数据列成表。任何一个立体图形的顶点数、棱数、面数之间都有这种关系吗？这是多么奇妙的事情呀！立体又叫多面体。任何一个多面体都有这叫欧拉公式。最早是法国大数学家笛卡儿发现的，后来大数学家欧拉在1732年正式提出并给予了证明。例2 让我们也来发现一个公式吧！见下图。数一数：顶点数、边数、面数填入下表（一）22观察各图形，你发现了什么？说一说你的发明。同样把交点数，边数和由边围成的面数填入下表得出公式：对于任何一个复杂的平面图形同学们看，我们不是也能发现公式吗？希望大家在学习的过程经常想着：我能接着发现点什么？习题十一1.完成下列计算： 13=？ 135=？ 1357=？ 13579=？根据计算结果，探索规律。2.下面是一组立方块： 请指出从前面、右面、上面看到的相应的图案： （ ） （ ） （ ）233.从2、3、4、5、6、7、8这七个数中，挑出六个数填在下面的括号内，使等式成立。（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）4.小敏有一些1元和5角的硬币，合起来是10元钱。小敏有几个硬币？5.小刚家离学校45米，小红家离学校55米，小刚家与小红家之间有多少米？大正方形每边块数 345678 花瓷砖块数8白瓷砖块数16. 用花、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用花瓷砖（如下图所示）。（1） 填写下列表格。（2） 让我们也来发现一个公式吧！7.用火柴棒搭成两排大小相等的正方形（如下图所示）。（1） 填写表格，（2） 小正方形的个数与所用火柴棒的根数有什么关系？（3）如果搭12个这样的正方形，那么需要多少根火柴？（4）用157根火柴可以搭成这样的正方形多少个？8. 找规律，填上恰当的数。9. 把一张长方形纸对折再对折，然后在折叠着的角上剪一刀，纸的中间就剪出了一个洞（如下图所示）。填写表格。想一想，对折的次数与剪出洞的个数有什么关系？24