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小学奥林匹克数学思维方法训练大全 九龙坡区教师进修校 邓永富编 给读者的话在人生漫长的学习过程中有几个重要的分化期,其中小学阶段,尤其是小学三 四年级是第一个也是最重要的一个分化期。如果说智慧是成功大厦的基石,数学则是开启智慧大门的金钥匙。愿每一位小朋友用奥林匹克的拼搏精神,从一年级开始学好数学的思维方法, 亲自动手摆一摆,认真动脑想一想,开启智慧大门,成为一个聪明的人!目录第一讲 摆一摆 想一想1第二讲 折一折 分一分3第三讲 速算与巧算 5第四讲 统计与计数 7第五讲 身边数学 10第六讲 数字游戏 12第七讲 火柴棍游戏(一)14第八讲 火柴棍游戏(二)16第九讲 找出不同 18第十讲 寻找规律 20第十一讲 小发明家 22第一讲 摆一摆 想一想你知道科学家的童年都喜欢什么吗?亲自动手摆一摆,认真动脑想一想手脑动动动 例1 用两根火柴棍,摆成一个锐角、一个直角、一个钝角。 用两根火柴棍,你还能摆出一个什么?例2 用四根火柴棍摆出两条平行直线,再摆出两条相交直线。 用四根火柴棍,你还能摆出一个什么?例3 用火柴棍摆出一个三角形、一个正方形、一个菱形、一个长方形、一个平行四边形、一个等腰梯形、一个五边形、一个六边形、一个八边形。你还能摆出什么图形?例4 用三根火柴棍可以摆出一个三角形,如图。(1)再加两根火柴棍,摆出两个三角形(2)再加两根,摆出三个三角形来。(3)再加两根,摆出五个三角形来。必须有火柴棍公用! (1) (2) (3)说一说:你发现了什么?1 习题一1.用两根小木棍,摆成一个很小的锐角,然后慢慢地挪动一根,使锐角渐渐变大。如果继续转动小棍,将会出现什么角? 2如右图所示,用火柴棍摆了五个三角形。(1)拿掉哪三根,就可以变成一个三角形?(2)拿掉哪两根,就可变成两个三角形?(3)拿掉哪一根,就可变成三个三角形? 3如右图所示,用火柴棍摆了五个正方形。(1)请你拿掉两根,剩下三个正方形。(2)请你拿掉两根,剩下两个正方形。4如图所示,用火柴棍摆了六个三角形。如果拿掉三根火柴棍就变成了三个三角形,应该拿掉哪三根?试试看。 5如右图所示,用16根火柴棍摆了四个正方形。你能用15根、14根、13根火柴棍也分别摆成四个小正方形吗?摆摆看。6. 下图是用12根火柴棍组成了4个同样大小的小正方形,同时还构成了一个大正方形。请你移动四根火柴棍,使它变成为10个正方形(大小可以不一样)移动3根火柴杆,把它变成3个不相连靠的正方形。7. 24个人排成6列,要求5个人为一列,你知道应该怎样来排列吗?(先摆一摆,再说一说)8. 一个牧羊人,第一天发现少了2只羊羔,第二天发现又少了2只羊羔,第三天他认真地寻找了一下,发现羊群中有一只披着羊皮的狼,原来羊羔被这只披着伪装的狼吃掉了。请问,这狼一共吃了几只羊羔?9. 20名运动员报数后,1020号退出,其余留下,留下的运动员是几人?10. 小明、不勇、小强,三人是好朋友,他们在一块儿玩汽球,小明比小勇大3岁,小勇比小强小2岁,请你仔细想一想,小强与小明相差几岁?准备:正方形、长方形、圆形、平行四边形、三角形纸片各一张。 2我知道:折纸的起源于中国,通过折纸可启发儿童的创造力和逻辑思维,更可促进手脑的协调!第二讲 折一折 分一分如何将一个图形分成相同的几部分呢?这里介绍一种简单易行的方法折叠描痕法。例1 把正方形分成相同的四部分。第一步:对角折第二步:再对角折第三步:展开,描痕。例2 把大等边三角形分成相同的四部分,使每部分的形状都与原图形一样。第一步:左右对角折,然后展开,描痕成虚线,虚线与底边交点就是底边中点。第二步:将上角折下,使角顶与底边中点重合。第三步:折左角、折右角,如图示。第四步:展开,描痕。例3 用折叠描痕法等分一个长方形纸条。(1)对折1次,展开描痕,数一数,纸条被等分成几份?(2)对折2次,展开描痕,数一数,纸条被等分成几份?(3)对折3次,展开描痕,数一数,纸条被等分成几份?(4)对折4次,展开描痕,数一数,纸条被等分成几份?(5)对折5次,展开描痕,数一数,纸条被等分成几份?解:我也会!3习题二 用折叠描痕法等分图形:1把一张正方形的纸分成四等份,你能想出三种折叠方法来吗?2把一张长方形的纸分成八等份,你能想出多少种不同的折叠方法来?3把一张圆形的纸分成二等份、四等份、八等份和十六等份。 4把一张平行四边形的纸分成二等份、四等份。5把一个等腰三角形的纸,用折叠描痕法等分成二等份后,再用剪刀剪开,拼成一个长方形。6把一个等腰梯形先折叠两次(一次找腰的中点,一次折出三角形),再沿折痕剪下,拼成一个大三角形。7把一个平行四边形纸,先折叠一次(折出一个直角三角形)再沿折痕剪下,拼成一个长方形。 8. 老和尚要3千克水,派小和尚担两个不一样的空桶去打水。其中一个可盛5千克,另一个可盛7千克。你能利用这两只空桶取回3千克的水吗?怎样取? 9.下列图画各由哪些数字组成? ( ) ( ) ( ) 4第三讲 速算与巧算我能根据题目选择最好的算法,达到又对又快! 一、凑十法:同学们已经知道,下面的五组成对的数相加之和都等于10:1+9=10 2+8=10 3+7=10 4+6=10 5+5=10巧用这些结果,可以使计算又快又准。例1 计算 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10方法一:从左往右逐步相加:1+2=3 3+3=6 6+4=1010+5=1515+6=2121+7=2828+8=3636+9=4545+10=55方法二:选择数 “凑十”二、凑整法同学们还知道,有些数相加之和是整十、整百的数,如:(1)1+19=20 2+18=20 3+17=20 4+16=20 5+15=20 (2)11+9=30 12+28=40 13+37=50 14+46=60 15+55=70 (3)15+85=100 14+86=100 25+75=100 24+76=100巧用这些结果,可以使那些较大的数相加又快又准。像10、20、 30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。例2 计算 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解:这是求1到19共10个单数之和,用凑整法做:例3 计算 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解:这是求2到20共10个双数之和,用凑整法做:例4 计算 2+13+25+44+18+37+56+75解:用凑整法: 5习题三1.2+3+4+5+6+7+82.5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+153.4+6+8+10+12+144.3+6+7+10+14+17+235. 苹果比梨多( )个,桃比苹果少( )个,梨比桃多( )个。去掉( )个苹果,去掉( )个梨,三种水果的个数就同样多。6. 写出个位和十位上数字相同的两位数。( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7.在里填上合适的数+7=45-7=45 34+=87 +38=72 72-=16 -7=548. 在里填上合适的数 9.把16只小鸡分别装进5个笼子里,每个笼子里都要有鸡,而且每个笼子里的鸡的只数也不能相同,如何分装?按同样要求,把15只小鸡装进5个笼子能办得到吗?按同样要求,把14只小鸡分装到5个笼子能办得到吗?10.分别用有数字1,8,3的三张卡片,能排出多少个不同的2位数来?11.哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1块,妹妹拿2块;哥哥拿3块,妹妹拿4块;接着哥哥拿5块、7块、9块、11块、13块、15块,妹妹拿6块、8块、10块、12块、14块、16块。你说谁拿得多,多几块? 6 第四讲 统计与计数又对又快数出一堆物体个数,巧妙的方法很重要!例1 请你数一数,下图中共有多少个“”?方法一:分层数方法二:先按“实心”三角形计算,再减去“空白”三角形中“”的个数(1+3+5+7+9+11+13+15+17)-(5+3+1)例2 下图所示的“塔”由4层没有缝隙的小立方块垒成,求塔中共有多少小立方块?方法一:从顶层开始数(上层加下层“看得见”的块数)第一层 第二层 第三层 第四层1块 3块 6块 10块 总块数 1+3+6+10=20(块)。方法二:从上往下找规律 总块数1+3+6+10=20(块)例3 右图是由小立方体码放起来的,其中有一些小立方体被压住看不见。请你数一数共有多少小立方体?解:从右往左数,并且编号第一排 第二排 第三排 第四排 第五排1块 7块 5块 9块 16块总数:1+7+5+9+16=38(块)。例4小朋友排队,小红前面4个人,后面3个人,问这队共有几个人? 4+3+1=8(人)例5 排好队,来报数,正着报数我报七,倒着报数我报九,一共多少小朋友?解:见图方法一:7+9-1=15(人) 方法二:7+(9-1)=15(人)。 7例6小朋友,张开手,五个手指人人有。手指之间几个“空”,请你仔细瞅一瞅?解:见图看一看、数一数可知:5个手指间有4个“空”。“空”又叫“间隔”,也就是,人的一只手有5个手指4个间隔。例7 小朋友在一段马路的一边种树。每隔1米种一棵,共种了11棵,问这段马路有多长?解:画示意图如下:习题四1请你数一数,下图中共有多少?2如图所示,一单层砖墙下雨时塌了一处,请你数一数,需要多少块砖才能把墙补好?3如右图所示是一个由小立方体构成的塔,请你数一数并计算出共有多少块。4右图所示是由小立方体堆起来的,请你数一数,共有多少小立方体? 85. 学生排成一队,在小进的前面有6人,后面有8人,问这队共有多少人?6.12辆汽车组成一列车队向前行进。从前面数起,红色的小轿车是第7辆。问从后面数它是第几辆?7. 说稀奇、道稀奇,鸭子队里有只鸡。正着数它第六,倒着数它第七。请你帮助算一算,小鸭一共有几只?8. 一队男生8人。老师要求在2名男生中间插进1名女生,问可插进多少女生?9.把一根粗细一样的木头锯成5段,需要4分钟。把这根木头锯成10段,需要几分钟?把这根木头锯成100段,需要几分钟?10小冬用12张纸订成一个本子。从头数起,每隔3纸夹进一片树叶,问这个本子内共放进多少片树叶?11在一条20米长的小路两旁种小松树,如果每隔5米种一棵,而且两头都种树,问这段小路上共种多少棵?12一根钢管长6米,每分钟锯下1米,几分钟锯完?13. 鼓楼的钟打点报时,5点钟打5下需要4秒钟。问中午12点时打12下需要几秒钟?14. 在里填上合适的数 9第五讲 身边数学每个人都离不开数学,数学思维方法能忙你解决困难!从1开始,1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12连起来成一串,像一串糖葫芦,我们把这样的一串数叫作数串(也叫数列)。数串的特点是:数串可以是有头无尾,但排列是可以找出规律。例1 如下页图所示。一份学习材料放在桌上,一阵风把材料吹落了一地。小军拣起来一看,糟糕,少了两张。根据下面拣到的材料的页码,你能说出少了哪几页吗?解:一张材料的正反两面用两个数作页码,这两个数是相邻的。仔细观察找到的材料的页码,根据数串的特点,可知少了的两张纸的页码是(7、8)和(13、14)。例2走,看电影去,考考你会给自己找座位吗?(用线连一连) 例3商店的货架上堆放着一堆火腿肠。你能很快地算出它的总数有多少根吗? 例4小青每年都和家长一起参加植树节劳动。七岁那年,他种了第一棵树,以后每年都比前一年多种一棵。现在他已经长到15岁了,连续地种了九年树。请你算一算,这九年中小青一共种了多少棵树?1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(棵) 10习题五1小明从1写到100,他共写了多少个数字“9”?2.小聪从1写到40,他共写了多少个数字“3”?3把1到12这十二个数每两个数分为一组,要求每组的两个数之和都相等,怎么分?和是多少?4用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数编三个算式,一个加法、一个减法、一个乘法,每个数只许用一次。5.用分别写有数字0,1,2的三张纸片能排出多少个不同的二位数?6. 学校开展运动会,需要购买100元的体育用品,怎么买,你能出出主意吗? 60元 20元 15元 25元 方案一: 方案二:方案三: 方案四:7. 把3张画用图钉钉在墙上,要使每张画的四个角上都钉上图钉,一共需要几颗图钉?(你能提出多少种方案) 8. 6月1日是小明的生日,爸爸通知了3个小朋友,妈妈通知了2个小朋友参加晚上的庆祝活动。晚上爸爸妈妈通知的小朋友全来了。问前来参加庆祝活动的小朋友有几人?9.你能提出身边的数学问题吗?试一试。 11第六讲 数字游戏填数阵图的突破口是先填“中心”或“拐角”的数!例1 如右图,把4、5、6、7四个数填在四个空格里,使横行、竖行三个数相加都得14。怎样填? 中心的“3”可以改成其它数吗?例2 如图所示。在圆圈里填上不同的数,使每条直线上三个数相加之和都等于12。你还有不同的填法吗?43 8 9512 76例3请将1-9这九个数,填入图3的方格内,使每行、每列、及两条对角线上三个数字的和都相等。 8 5 64 8 52 6如把“5”改成其它数可以吗?习题六1如右图所示。在正方形的空格里填上适当的数,使每一横行、竖行、斜行的三个数相加得数都是18。122如右图所示。在正方形空格里填上适当的数,使每一横行、竖行、斜行的四个数相加都得34。3如右图所示。把适当的数填到三角形的空圈里,使每条直线上3个圈中的数相加都是10。4如图所示。从2、3、4、5、6中选取适当的数填入小圆圈,使同一个大圆上的小圆圈中的四个数的和都等于15,都等于16。5如右图所示,圆圈里填上不同的数,使每条直线上的三个数相加之和都等于10。6如图所示。在圆圈里填上不同的数,使每条直线上的三个数相加之和都是15。7.把1、2、3、4、5、6、7七个数 8. 把2、3、4、5、6填入图的五个方格填在图中的七个圆圈里,每个数只能 里,使横行、竖行的三个数之和等于:用一次,使每条线上的三个数相加之和 11、12、13。都等于12。 13第七讲 火柴棍游戏(一)用火柴杆拼排图形,是我国的民间小游戏,是一种很好的思维训练方式!例1 请你用火柴棍摆图形,并用橡皮泥粘接起来。(1)用三根火柴棍摆出一个等边三角形。(2)用四根火柴棍摆出一个正方形。(3)用四根火柴棍摆出一个菱形。你用火柴棍还能摆出什么图形?例2 请用7根火柴棍摆出2个小正方形出来。 你能用12根火柴棍摆出四个同样大小的小正方形吗?你能拿去三根火柴,使它变成三个同样大小的正方形吗?例3巧摆正方形 这个图形,你能移动五根火柴,让它变成两个正方形吗?例4下图是用24根火柴棍摆成的回字形图形,如果只允许移动图中的四根火柴棍,使原图形组成三个正方形(大小可以不一样),你能办得到吗? 14习题七1下图所示为一个“小鱼”形状,请你移动二根火柴棍,使小鱼转向(变成头朝上或朝下)。请你移动三根火柴棍,使小鱼调头(变成头朝右)。2下图所示为一个倒放着且缺一条腿的椅子,请你移动两根火柴棍把椅子正过来。3.(1)用10根火柴棒摆成图,问最少要移动几根火柴,才能使它变成图的样子?4.10棵树,栽成5行,每行4棵。你知道这个模型是怎样设计的吗?提示:横、竖、斜线都可以组成一行,各行之间可交叉。5.在一处有古建筑的植树现场,技术员又以火柴杆插了一个树模型。这个模型的特点是:在古建筑的周围值树,16棵树,种4行,每行5棵。你来设计一下,这个模型是什么样的呢?提示:横、竖、斜线都可以组成一行,各行之间可交叉。6.用火柴植树模型试试看:9棵树,种8行,每行3棵,该怎么办呢?提示:横、竖、斜线都可以组成一行,各行之间可交叉。7下图是用17根火柴棍组成的6个同样大小的正方形。请你拿去三根,使留下的火柴棍变成4个同样大小的正方形。请你拿去五根,使留下的火柴棍变成3个同样大小的正方形。8下图是用20根火柴棍组成的5个同样大小的正方形,请你移动三根火柴棍,使原图变为7个同样大小的小正方形。9下面的图是由6根火柴杆组成的“田”字,移动1根火柴杆,会变成另一个字。你能分别变出两个汉字吗?15第八讲 “火柴棍”游戏(二)增、减或移动算式中的“火柴棍”,可使算式发生令人难以预料的奇妙变化。大胆尝试和思维敏捷在解“火柴棍”算式中尤为重要!在“火柴棍”算式中,数字和运算符号都是由“火柴棍”组成的。我们规定了下面的一套数字摆法:另外,在这里的运算符号如“+”号、“-”号也是由火柴棍组成的这样一来,用增减或移动火柴棍的办法也可以使“+”号变“-”号或使“-”号变“+”。这里“移动”火柴棍的意思是指把火柴棍从一个数字或运算符号上拿开,然后添到另一个数字或运算符号上去,因此算式中火柴棍的总数是不变的。例1 只移动一根火柴棍,使下面的等式成立。例2 只移动一根火柴棍,使下面的等式成立。 例3 只许移动一根火柴棍,使下式成立。 例4只许添加一根火柴棍,使下式成立。 例5只许去掉一根火柴棍,使下式成立。 你能根据上面的例题,发明一个“火柴棍”算式吗?16习题八1只许移动一根火柴棍,使下式成立。(算式写在括号里) ( ) ( ) ( )2. 只许移动一根火柴棍,使下式成立。(算式写在括号里) ( ) ( ) ( ) ( )3. 只许去掉一根火柴棍,使下式成立。(算式写在括号里) ( ) ( )4. 只许添加一根火柴棍,使下式成立。(算式写在括号里) ( ) ( ) ( )三国时,诸葛亮初到刘备军中任军师时,有人见他年轻,不服气,假装请教,给诸葛亮出了这道循环难题,我们用火柴杆代替小木棍,如下图等式是不成立的,但只要移动其中1根火柴杆,等式就成立。诸葛亮见题后,稍加思索,便指出了该怎么做,使大家惊叹其才思敏捷,非常佩服。试试看,你是不是现代的诸葛亮? 17第九讲 找出不同 “比较”是区分事物类别的思维方法,当你按一定顺序比较几个图形或数时,就会发现他们中的不同!例1 下图中的两个三角形,有哪些相同点,有哪些不同点?相同点:都有一个直角,都是直角三角形。不同点:(1)中两条直角边不相等,是一般的直角三角形。(2)中两条直角边相等,是个等腰直角三角形。例2 下图中的两个图形,有哪些相同点,有哪些不同点?请你仔细观察、分析。相同点:都可以看成是一个大图形里面内接(套着) 一个同样形状的小图形组成。 不同点:(1)的大小两个图形都是正方形,(2)的大小两个图形都是等边三角形。例3 下图的五个图形中,哪一个与众不同?图(3)与其他四个不同。因为图(3)只有三条边,是三角形,而其他四个图形都是四边形。例4 从下面的五个图形中选出与众不同的一个。图(4)与其他四个不同。除图(4)外其他四个都是正多边形,也就是各边都相等的多边形;而图(4)的四条边长短不同,所以不是正多边形。例5 2,4,6,7,10这五个数中,哪一个与众不同?每一个数都与众不同,关键是看从什么观点出发!18习题九从下列每题的五个图形中选出与其他四个不同的一个,把答案序号填在括号里。1 答:( )。2 答:( )。3 答:( )。4 答:( )。5 答:( )。6 答:( )。7 答:( )。8 答:( )。9 答:( )。 10. 在10,13,16,18,22这五个数中,哪一个与众不同?19通过对图形的仔细观察、反复比较、大胆猜测、严格检验和不断修正等思考程序,就能发现下列图形的变化规律,得出正确的答案!第十讲 寻找规律例1 下图是按一定规律排列的。找出它的变化规律后,试画出所缺少的图形。 例2 在下图的一组图形中,“?”处应画什么样的图形? 例3 下图的一组图形的“?”应填什么样的图形? 例4在下面的横线上填数,使这列数具有某种规律,并说明有怎样的规律。 3,5,7, , , 。例5 找出规律,再填数。 20习题十下列各题中的图形都缺少一个,试根据对已给出的图形的观察思考,找出图形的变化规律,将所缺的图形画上。1 21第十一讲 小发明家亲自动手摆一摆,认真动脑想一想,开启智慧大门,当个小发明家!例1 以下各小题做立体模型要用橡皮泥粘接。(1)用六根火柴棍搭成一个四面体。 (2)用八根火柴棍搭成一个四棱锥。(3)用十二根火柴棍搭成一个正方体。(4)用九根火柴棍搭成一个三棱柱。数一数:你做出的各个立方体的顶点的个数、棱的条数(即火柴棍的根数)想一想:面数(需要想像出来)是多少?算一算:每个立方体的顶点数-棱数+面数=?再把数据列成表。任何一个立体图形的顶点数、棱数、面数之间都有这种关系吗?这是多么奇妙的事情呀!立体又叫多面体。任何一个多面体都有这叫欧拉公式。最早是法国大数学家笛卡儿发现的,后来大数学家欧拉在1732年正式提出并给予了证明。例2 让我们也来发现一个公式吧!见下图。数一数:顶点数、边数、面数填入下表(一)22观察各图形,你发现了什么?说一说你的发明。同样把交点数,边数和由边围成的面数填入下表得出公式:对于任何一个复杂的平面图形同学们看,我们不是也能发现公式吗?希望大家在学习的过程经常想着:我能接着发现点什么?习题十一1.完成下列计算: 13=? 135=? 1357=? 13579=?根据计算结果,探索规律。2.下面是一组立方块: 请指出从前面、右面、上面看到的相应的图案: ( ) ( ) ( )233.从2、3、4、5、6、7、8这七个数中,挑出六个数填在下面的括号内,使等式成立。( )+( )=( )+( )=( )+( )4.小敏有一些1元和5角的硬币,合起来是10元钱。小敏有几个硬币?5.小刚家离学校45米,小红家离学校55米,小刚家与小红家之间有多少米?大正方形每边块数 345678 花瓷砖块数8白瓷砖块数16. 用花、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形,要求中间用白瓷砖,四周一圈用花瓷砖(如下图所示)。(1) 填写下列表格。(2) 让我们也来发现一个公式吧!7.用火柴棒搭成两排大小相等的正方形(如下图所示)。(1) 填写表格,(2) 小正方形的个数与所用火柴棒的根数有什么关系?(3)如果搭12个这样的正方形,那么需要多少根火柴?(4)用157根火柴可以搭成这样的正方形多少个?8. 找规律,填上恰当的数。9. 把一张长方形纸对折再对折,然后在折叠着的角上剪一刀,纸的中间就剪出了一个洞(如下图所示)。填写表格。想一想,对折的次数与剪出洞的个数有什么关系?24
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