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数学基础知识与典型例题第一章集合与简易逻辑集合1.元素与集合的关系:用或表示；2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.3.集合的分类：按元素个数分：有限集，无限集；按元素特征分；数集，点集。如数集y|y=x2,表示非负实数集，点集(x，y)|y=x2表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；4.集合的表示法：列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+=0，1，2，3，；描述法字母表示法:常用数集的符号：自然数集N；正整数集；整数集Z；有理数集Q、实数集R;例1 下列关系式中正确的是（ ）(A) (B)(C)0 (D)0例2 解集为_.例3设,已知,求实数的值.子集集合与集合的关系:用，=表示;A是B的子集记为AB；A是B的真子集记为AB。任何一个集合是它本身的子集，记为；空集是任何集合的子集，记为；空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B；如果.n个元素的子集有2n个；n个元素的真子集有2n 1个；n个元素的非空真子集有2n2个.例4设，a=lg(lg10)，则a与M的关系是( )(A)a=M (B)Ma (C)aM (D)Ma例5集合A=x|x=3k-2，kZ，B=y|y=3n+1，nZ，S=y|y=6m+1，mZ之间的关系是( )(A)SBA (B)S=BA (C)SB=A (D)SB=A例6用适当的符号填空：_;3.14_;R+_R;x|x=2k+1, kZ_x|x=2k1, kZ。例7已知全集U2，4，1a，A2，a2a2如果，那么a的值为_.交、并、补1.交集AB=x|xA且xB;并集AB=x|xA，或xB;补集CUA=x|xU，且xA，集合U表示全集.2.集合运算中常用结论:例8设集合A=x|xZ且-10x-1，B=x|xZ，且|x|5，则AB中的元素个数是( )(A)11 (B)1 (C)16 (D)15例9已知A=，B=x|，则AB=_。例10已知集合M=y|y=x2+1，xR，N=y|y=x+1，xR，求MN。交、并、补例11若A =(x，y)| y =x+1,B=y|y =x2+1, 则AB =_.例12设全集，则例13设全集 U = 1，2，3，4，5，6，7，8，A = 3，4，5 B = 4，7，8,求：（CU A）(CU B), (CU A)(CU B), CU(AB), CU (AB).不等式1.绝对值不等式的解法：的解集是;的解集是 公式法:,.(2)几何法 (3)定义法（利用定义打开绝对值） (4)两边平方2、一元二次不等式或 的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根 R 注:分式、高次不等式的解法：标根法不等式14.不等式的解集是,则15.分式不等式的解集为：_.16.求使有意义的取值范围.不等式17.解不等式：|4x-3|2x+1.18.解不等式：|x-3|-|x+1|2或x2或x2x+14x-32x+1或4x-32 或x2或x.例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）当时，41当时，当时-41综上,原不等式的解集为也可以这样写：解：原不等式等价于或或 ，解的解集为，的解集为x|x.方法2：数形结合:从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|.例19答：x|x0或1x2例20解：要原方程有两个负实根，必须:.实数k的取值范围是k|-2k-1或k1.例21解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5（真）否命题：若 x + y 5 则 x 3且y2（真）逆否命题：若 x 3 或y2 则 x + y 5（假）例22答:真 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.例23答:若a、b都不为0，则ab0例24解：假设x1且y1，由不等式同向相加的性质x+y2与已知x+y2矛盾, 假设不成立 x、y中至少有一个不小于1注反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。例25解：函数在R上单调递减不等式例26答：.例27答既不充分也不必要解:“若 x + y =3,则x = 1或y = 2”是假命题,其逆命题也不成立.逆否命题: “若,则”是假命题, 否命题也不成立.故是的既不充分也不必要条件.例28选B 例29选A
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