2017年高考数学(人教版文)一轮复习课时作业55第8章解析几何.doc

课时作业(五十五)定点、定值、探索性问题1(2016保定模拟)设椭圆E：1(ab0)的离心率为e，且过点。(1)求椭圆E的方程。(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：xmyt0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标。解析：(1)由e2，可得a22b2，椭圆方程为1，代入点可得b22，a24，故椭圆E的方程为1。(2)由xmyt0得xmyt，把它代入E的方程得：(m22)y22mtyt240，设M(x1，y1)，N(x2，y2)得：y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)2t，x1x2(my1t)(my2t)m2y1y2tm(y1y2)t2。因为以MN为直径的圆过点A，所以AMAN，所以(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)4y1y2240。因为M，N与A均不重合，所以t2，所以t，直线l的方程是xmy，直线l过定点T，由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l过定点T。2已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点(2，)。(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若kACkBD，求证：四边形ABCD的面积为定值。解析：(1)由题意e，1，又a2b2c2，解得a28，b24，故椭圆的标准方程为1。(2)证明：设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(12k2)x24kmx2m280，(4km)24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0，由根与系数的关系得kACkBD，y1y2x1x2。又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2，(m24)m28k2，4k22m2。设原点到直线AB的距离为d，则SAOB|AB|d|x2x1|2，S四边形ABCD4SAOB8，即四边形ABCD的面积为定值。3(2015广东卷)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B。(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由。解析：(1)由x2y26x50得(x3)2y24，圆C1的圆心坐标为(3,0)。(2)设M(x，y)，则点M为弦AB中点即C1MAB，kC1MkAB1即1，线段AB的中点M的轨迹的方程为2y2。(3)由(2)知点M的轨迹是以C为圆心r为半径的部分圆弧EF(如图所示，不包括两端点)，且E，F，又直线L：yk(x4)过定点D(4,0)，当直线L与圆C相切时，由得k，又kDEkDF，结合上图可知当k时，直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点。4(2015湖北卷)一种画椭圆的工具如图1所示。O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的拴子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系。图1 图2 (1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于P，Q两点，若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由。解析：(1)因为|OM|MN|NO|314。当M，N在x轴上时，等号成立；同理|OM|MN|NO|312，当D，O重合，即MNx轴时，等号成立。所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为1。(2)()当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，都有SOPQ448。()当直线l的斜率存在时，设直线l：ykxm(k)。由消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160。因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点。所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24。又由可得P；同理可得Q。由原点O到直线PQ的距离为d和|PQ|xPxQ|，可得SOPQ|PQ|d|m|xPxQ|m|。将代入得，SOPQ8。当k2时，SOPQ888；当0k2时，SOPQ88。因0k2，则014k21，2，所以SOPQ8(1)8，当且仅当k0时取等号。所以当k0时，SOPQ的最小值为8。综上(1)(2)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值8。