2017年高考数学(人教版文)一轮复习课时作业43第7章立体几何.doc

课时作业(四十三)空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定3个平面。其中正确的序号是()A BC D解析：因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以不正确，故选A。答案：A2(2016温州模拟)如图所示的是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是()A B C D解析：A中PSQR，故共面；B中PS与QR相交，故共面；C中四边形PQRS是平行四边形，所以共面，故选D。答案：D3(2016合肥模拟)已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()AABCDBAB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D。答案：D4如图，l，A、B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点A B点BC点C但不过点M D点C和点M解析：AB，MAB，M。又l，Ml，M。根据公理3可知，M在与的交线上。同理可知，点C也在与的交线上。答案：D5已知、为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()AAa，A，Ba，BaBM，M，N，NMNCA，AADA、B、M，A、B、M，且A、B、M不共线、重合解析：A，A，A。由公理可知为经过A的一条直线而不是A。故A的写法错误。答案：C6如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1(底面为正方形，侧棱与底面垂直)中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：连接BC1，A1C1，则A1B与BC1所成角即为所求。在A1BC1中，设ABa，则A1BBC1a，A1C1a，cosA1BC1。答案：D二、填空题7(2016天津模拟)设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：设ab，bc，则ac；若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面。其中真命题的个数是_。解析：因为ab，bc，所以a与c可能相交、平行或异面，所以错；因为a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交或平行，所以错；由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交或平行，所以错；同理错，所以真命题的个数为0。答案：08(2016昆明模拟)若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_对。解析：正方体如图，若要出现所成角为60的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是AB，BC，AD，CD，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有24对(每一对被计算两次，所以记好要除以2)。答案：249如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_。解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所在角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为。答案：三、解答题10在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60。(1)求四棱锥的体积。(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值。解析：(1)在四棱锥PABCD中，因为PO平面ABCD，所以PBO是PB与平面ABCD所成的角，即PBO60。在RtPOB中，因为BOABsin301，又POOB，所以POBOtan60，因为底面菱形的面积S菱形ABCD2。所以四棱锥PABCD的体积VPABCD22。(2)取AB的中点F，连接EF，DF，因为E为PB中点，所以EFPA。所以DEF为异面直线DE与PA所成角(或补角)。在RtAOB中，AOABcos30OP，所以在RtPOA中，PA，所以EF。因为四边形ABCD为菱形，且DAB60，所以ABD为正三角形。又因为PBO60，BO1，所以PB2，所以PBPDBD，即PBD为正三角形，所以DFDE，所以cosDEF。即异面直线DE与PA所成角的余弦值为。11如图所示，已知二面角MN的大小为60，菱形ABCD在平面内，A，B两点在棱MN上，BAD60，E是AB的中点，DO面，垂足为O。(1)证明：AB平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值。解析：(1)如图，因为DO，AB，所以DOAB。连接BD，由题设知，ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DEAB。又DODED，故AB平面ODE。(2)因为BCAD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即ADO是BC与OD所成的角(或其补角)。由(1)知，AB平面ODE，所以ABOE。又DEAB，于是DEO是二面角MN的平面角，从而DEO60。不妨设AB2，则AD2，易知DE。在RtDOE中，DODEsin60。连接AO，在RtAOD中，cosADO。故异面直线BC与OD所成角的余弦值为。12如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点。(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥AEBC的体积。解析：(1)假设AE与PB共面，设平面为。因为A，B，E，所以平面即为平面ABE，所以P平面ABE，这与P平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线。(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EFPB，所以AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成的角。因为BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，所以AF，AE，EF，cosAEF，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为。(3)因为E是PC的中点，所以点E到平面ABC的距离为PA1，VAEBCVEABC1。