《正弦定理》PPT课件.ppt

第二章 解三角形 1 1正弦定理 1 问题的引入 1 在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事 明月高悬 我们仰望夜空 会有无限遐想 不禁会问 月亮离我们地球有多远呢 科学家们是怎样测出来的呢 2 设A B两点在河的两岸 只给你米尺和量角设备 不过河你可以测出它们之间的距离吗 A B 我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具 回忆一下直角三角形的边角关系 两等式间有联系吗 思考 对一般的三角形 这个结论还能成立吗 2 定理的推导 1 1正弦定理 1 当是锐角三角形时 结论是否还成立呢 D 如图 作AB上的高是CD 根椐三角形的定义 得到 1 1正弦定理 E 2 当是钝角三角形时 以上等式是否仍然成立 1 1 1正弦定理 D 1 文字叙述 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 2 结构特点 3 方程的观点 正弦定理实际上是已知其中三个 求另一个 能否运用向量的方法来证明正弦定理呢 和谐美 对称美 正弦定理 因为向量与在y轴上的射影均为 如图所示 以A为原点 以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系 C点在y轴上的射影为C 即 所以 即 所以 若A为锐角或直角 也可以得到同样的结论 同理 变式 正弦定理在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 剖析定理 加深理解 1 A B C 2 大角对大边 大边对大角 剖析定理 加深理解 3 正弦定理可以解决三角形中的问题 已知两角和一边 求其他角和边 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 进而可求其他的边和角 剖析定理 加深理解 4 一般地 把三角形的三个角A B C和它们的对边a b c叫做三角形的元素 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形 剖析定理 加深理解 5 正弦定理的变形形式 6 正弦定理 可以用来判断三角形的形状 其主要功能是实现三角形边角关系的转化 例1在已知 解三角形 通过例题你发现了什么一般性结论吗 小结 知道三角形的两个内角和任何一边 利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素 1 1正弦定理 3 定理的应用举例 变式 若将a 2改为c 2 结果如何 例2 已知a 16 b A 30 解三角形 已知两边和其中一边的对角 求其他边和角 解 由正弦定理 得 所以 60 或 120 C 90 C 30 当 120 时 4 基础练习题 1 1正弦定理 B 300 无解 A 分析 如图所示 将BD CE分别延长相交于一点A 在 ABC中 已知BC的长及角B与C 可以通过正弦定理求AB AC的长 例3 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩 如图所示 其一角已破损 现测得如下数据 BC 2 57cm CE 3 57cm BD 4 38cm 为了复原 请计算原玉佩两边的长 结果精确到0 01cm 解 将BD CE分别延长相交于一点A 在 ABC中 BC 2 57cm B 45 C 120 A 180 B C 180 45 120 15 因为 所以利用计算器算得AC 7 02 cm 同理 AB 8 60 cm 答 原玉佩两边的长分别约为7 02cm 8 60cm 例4 台风中心位于某市正东方向300km处 正以40km h的速度向西北方向移动 距离台风中心250km范围内将会受其影响 如果台风风速不变 那么该市从何时起要遭受台风影响 这种影响持续多长时间 结果精确到0 1h 分析 如图所示 台风沿着BD运动时 由于 AB 300km 250km 所以开始台风影响不了城市A 由点A到台风移动路径BD最小距离 AE AB sin45 所以台风在运动过程中肯定要影响城市A 这就要在BD上求影响A的始点C1和终点C2 然后根据台风的速度计算台风从C1到C2持续的时间 解 设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动 该市位于点B正西方向300km处的点A 假设经过th 台风中心到达点C 则在 ABC中 AB 300km AC 250km BC 40tkm B 45 正弦定理主要应用 1 已知两角及任意一边 可以求出其他两边和另一角 2 已知两边和其中一边的对角 可以求出三角形的其他的边和角 此时可能有一解 二解 无解 1 1正弦定理 小结 作业 正弦定理 第二课时 1 复习回顾正弦定理的内容 问题1由例2我们发现 已知两边和其中一边的对角 解三角形时会出现两解的情况 还会出现其他情况吗 你能从代数或几何角度给出解释吗 提示 已知两边及其中一边的对角 用正弦定理 可能有两解 一解或无解 在 ABC中 已知a b和A时 解的情况如下 探究点2正弦定理解三角形 1 为锐角 2 为钝角 为直角时 与 为钝角相同 a b时 一解 a b时 无解 问题2如图 所示 在Rt ABC中 斜边AB是 ABC外接圆的直径 设Rt ABC外接圆的半径为R 因此 这个结论对于任意三角形 图 图 是否成立 提示 成立 证明如下 如图 当 ABC为锐角三角形时 当 ABC为直角三角形时 容易得证 问题3 而 所以 小结 2 在中 若 则是 A 等腰三角形B 等腰直角三角形C 直角三角形D 等边三角形 1 在中 一定成立的等式是 C D 3 2013 北京高考 在 ABC中 a 3 b 5 sinA 则sinB A B C D 1 B B 6 在中 c 4 a 2 C 则 5 若A B C是 ABC的三个内角 则sinA sinB sinC 通过本节课的学习 1 掌握正弦定理的表示形式及证明正弦定理的向量方法 2 学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题 1 已知两角及一边 2 已知两边和其中一边的对角 一解 一解 无解 a bsinA a bsinA bsinA a b a b a b a b 无解 一解 两解 一解 无解 一解 条件 图形 总结