高等数学函数连续性教学.ppt

第一章函数的极限与连续 第一节函数及其性质 第二节极限 第三节函数的连续性 分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁 2 在讨论函数极限时 我们说函数在一点的函数值与极限值是两个不同的问题 它们的关系有 函数值不存在 极限存在 函数值 极限值都存在 但不相等 函数值等于极限值 3 增量 终值与初值的差 自变量在x0处的增量 函数y在点x0处相应的增量 一 函数的连续性 一 函数y f x 在点处的连续性 1 增量 4 x虽然称为增量 但是其值可正可负 例如 当x x0时 x x x0 0 当x x0时 x x x0 0 一般地 x 0 5 定义1 3 1设函数y f x 在点x0的某邻域内有定义 如果当自变量x在x0处的增量 x趋于零时 相应的函数增量 y f x0 x f x0 也趋于零 即 则称函数y f x 在点x0连续 也称点x0为函数y f x 的连续点 6 说明 2 函数在一点连续实质就是 当自变量变化不大时 函数值变化也不大 1 函数y f x 在点x0连续的几何意义表示函数图形在x0不断开 7 定义1 3 2设函数y f x 在点x0的某邻域内有定义 如果x x0时 相应的函数值f x f x0 即 例如 则称函数y f x 在点x0连续 也称点x0为函数y f x 的连续点 故在x0连续 在点1处连续 8 3 函数y f x 在点x0连续必须同时满足以下三个条件 1 函数y f x 在点x0的某个邻域内有定义 函数在一点的的连续性同极限一样 都是函数的局部性质 2 极限 3 函数在x0处极限值等于函数值 即 存在 即y f x0 存在 9 例1讨论函数f x x 1在x 2处的连续性 f x 在x 2及其近旁有定义且f 2 3 f x 在x x0及其近旁点是否有定义 若有定义 f x0 所以 函数f x x 1在x 2处连续 解 10 例2讨论函数 f x 在x 0及其近旁有定义且f 0 0 不存在 因此函数f x 在x 0处不连续 解 在x 0处的连续性 11 例3讨论函数 f x 在x 1及其近旁有定义且f 1 0 不存在 因此函数f x 在x 1处不连续 解 在x 1处的连续性 12 定义1 3 3设函数y f x 在 x0 x0 有定义 称y f x 在x0处左连续 2 函数y f x 在x0处的左 右连续 设函数y f x 在 x0 x0 有定义 且 称y f x 在x0处右连续 且 13 定理1 3 1函数在点处连续的充要条件是函数在点处既左连续又右连续 由于 得 14 例4讨论函数 f x 在x 2及其近旁有定义且f 2 1 因此函数f x 在x 2处左连续 因此函数f x 在x 2处右连续 因此函数f x 在x 2处连续 解 在x 2处的连续性 15 定义1 3 4如果函数y f x 在开区间 a b 内的每 二 函数y f x 在区间 a b 上的连续性 那么称函数y f x 在闭区间 a b 上连续 或者说 4 在右端点b处左连续 即 如果y f x 满足 1 在闭区间 a b 上有定义 3 在左端点a处右连续 即 2 在开区间 a b 内连续 一点都连续 称函数y f x 在开区间 a b 内连续 y f x 是闭区间 a b 上连续函数 16 若函数y f x 在它定义域内的每一点都连续 则称y f x 为连续函数 基本初等函数在其定义域内都连续 连续函数的图象是一条连续不间断的曲线 17 二 初等函数的连续性 定理1 3 2 连续函数的四则运算 注意 和 差 积的情况可以推广到有限多个函数的情形 f x g x f x g x f x g x 在点x0处也连续 若函数f x g x 在点x0处连续 则函数 18 定理1 3 3 复合函数的连续性 设有复合函数y f x 若 x 在点x0连续 且 x0 u0而函数f u 在u u0连续 则复合函数y f x 在x x0也连续 例如 内连续 内连续 内连续 19 推论若lim x u0 函数y f u 在 1 可作变量代换u x 求复合函数的极限 即 令u x 点u0处连续 则有 2 极限运算与函数运算可以交换次序 即 这表明 复合函数满足推论条件时 20 解 例如 求 设 时 处连续 由于 或 21 定理1 3 4初等函数在其定义区间内是连续的 注 定义区间是指包含在定义域内的区间 22 例5计算 因为arcsin lnx 是初等函数 且x e是它的定义区间内的一点 由定理1 3 3 有 解 23 例6计算 解 24 三 函数的间断点 定义1 3 5如果函数y f x 在点x0的某去心邻域内有定义 在点x0处不连续 则称y f x 在点x0处间断 并称点x0为函数y f x 的不连续点或间断点 一 间断点的概念 25 进一步说明 设函数f x 在点x0的某去心邻域内有定义 则下列情形之一函数f x 在点x0不连续 1 在x0处没有定义 3 虽在x0处有定义 且存在 但 2 虽在x0有定义 但不存在 这样的点x0称为函数f x 的间断点 26 无穷间断点 在第二类间断点中 左 右极限 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 函数f x 在间断点x0处的左 右 函数f x 在间断点x0处的 第二类间断点 二 间断点的分类 左 右极限都存在 极限至少有一个不存在 至少有一个为无穷大的点 27 例7函数 函数在x 1处是否有定义 有定义 且f 1 1 是否存在 存在 且 是否成立 显然 所以x 1是f x 的第一类间断点 且是可去间断点 考察x 1处 28 说明 所谓可去间断点是指 可以通过改变或补充f x0 的定义使得从而使函数f x 在x0处连续 例如 上例中改变定义 令f 1 2 则 则f x 在x 1处就连续了 29 例7函数 函数在x 0处是否有定义 有定义 且f 0 1 是否存在 所以不存在 考察x 0处 所以x 0是f x 的第一类间断点 且是跳跃间断点 30 例9函数考察x 0处 函数在x 0处是否有定义 无定义 是否存在 所以x 0是f x 的第二类间断点 且是无穷间断点 31 例10函数 称x 0是f x 的震荡间断点 所以x 0是为f x 的第二类间断点 都不存在 解 考察x 0处 时 f x 的值在 1 到1之间反复震荡 这时亦 32 例11讨论函数 f x 是初等函数 它在其定义区间内连续 显然 f x 在点x 1 x 0处没有定义 故f x 在区间 1 1 0 0 内连续 在点x 1 x 0处间断 解 因此我们只要找出f x 没有定义的那些点 如果有间断点 指出间断点类型 的连续性 33 在点x 1处 x 1是为f x 的第一类可去间断点 在点x 0处 x 0是为f x 的第二类间断点 34 例12讨论函数 因为x 1是连续区间 0 2 内的一点 且1 x 在点x 0处 因为 所以 是初等函数 解 间断点 且是第一类间断点 在x 0与x 处的连续性 不存在 因此x 1是f x 的连续点 因此x 0是f x 的 35 讨论函数f x 的连续性时 1 若f x 是初等函数 则由 初等函数在其定义区间内连续 的基本结论 只要找出f x 没有定义的点以及定义域内的孤立点 这些点就是f x 的间断点 连续性及间断点内容小结 2 若f x 是分段函数 则在分界点处往往要从左 右极限入手讨论极限 函数值等 根据函数的点连续性定义去判断 在非分界点处 根据该点所在子区间上函数的表达式 按初等函数进行讨论 36 第一类 可去 跳跃 第二类 常见的有无穷间断 震荡间断 间断点分类 存在 37 看图判断间断点的类型 38 四 闭区间上连续函数的性质 定理1 3 5 有界性与最大值与最小值定理 若函数f x 在闭区间 a b 上连续 则函数f x 在闭区间 a b 上有界且一定能取得它的最大值和最小值 即在 a b 上至少存在点 1和 2 使得对于 a b 上的一切x值 有f 1 f x f 2 这样的函数值f 2 和f 1 分别叫做函数f x 在区间 a b 上的最大值和最小值 一 有界性与最大值最小值定理 39 如图 40 y tanx在区间 2 2 注意条件 1 闭区间 2 连续函数 如果两个条件不全满足 结论未必成立 考察以下两例 41 定理1 3 6 介值定理 若函数f x 在闭区间 a b 连续 且f a f b 则对介于f a 与f b 之间的任意实数c 在 a b 内至少存在一点 使f c a b 成立 二 介值定理与根的存在定理 42 f x 从f a 连续地变到f b 时 它不可能不经过c值 如图 43 定理1 3 7 根的存在定理 如果函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a f b 0 则方程f x 0在 a b 内至少存在一个实根 即在区间 a b 内至少有一点 使f 0 说明 连续曲线y f x 的端点在x轴的两侧时 曲线与x轴至少相交一次 44 如图 45 例13证明方程x4 4x 2 0在区间 1 2 内至少有一个实根 设则 由根的存在定理可知 至少存在一点 1 2 使得f 0 这表明所给方程在 1 2 内至少有一个实根 f x 在闭区间 1 2 上连续 f 1 10 解 46 函数在某点处的连续性是用极限来定义的 函数在某点处连续与函数在某点处的极限是有区别的 极限存在是连续的必要条件 闭区间上连续函数的性质 有界 最值 介值 连续性是函数的重要属性之一 所谓连续 从几何直观上来看 函数的图形是一条连续不断的曲线 从数学定义上看 函数的连续与函数的极限是紧密相关的 四 本节内容小结 47 课后作业