重积分的概念与性质.ppt

第一讲二重积分的概念与性质 内容提要二重积分的概念与性质教学要求1 理解二重积分的意义与性质 2 掌握二重积分的概念与性质 曲顶为平顶 求曲顶柱体的体积V 曲顶柱体的体积 一 实例 曲顶柱体 例如 曲顶柱体体积V求法如下 1 分割 分别以这些 小区域的边界曲线为准线 2 求每个小曲顶柱体的体积近似值 3 求近似和 4 取极限 求平面薄片的质量 求法步骤如下 1 分割 且表示该区域的面积 2 求近似 3 求和 将求得的n个小薄片质量相加 便得到整个薄片质量M的近似值 4 求极限 将区域D无限细分 和式的极限就是薄片的质量 抽去上述两个问题的实际意义 归纳它们的相同点 给予定义如下 二 二重积分的概念 定义 如果当各 小区域直径最大值 此和式的极限存在 则称此 极限值为函数 二重积分中各种符号的称呼 由二重积分定义 可以得出 曲顶柱体的体积V 平面薄片的质量M 对二重积分定义的说明 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时 二重积分是曲顶柱体的体积 当被积函数小于零时 二重积分是曲顶柱体的体积的负值 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D 如右图 故二重积分 在直角坐标系下 可写为 即面微积元为 在二重积分的定义中 对区域D的划分是任意的 因此 可对区域D进行特殊划分 这样面积微元可以记作 如图 三 二重积分的性质 性质 当为常数时 性质 二重积分与定积分有类似的性质 常数可以提到积分号之外 性质 对区域具有可加性 性质 如图1 性质 若在D上 则有 性质 二重积分估值不等式 特殊地 所以 性质 二重积分中值定理 性质 的几何意义是 解 故 解 解 故 1 二重积分的定义 3 二重积分的性质 7个性质 2 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积 和式的极限 小结 曲顶柱体体积 曲顶柱体体积相反数