大学微积分经济管理类06277.ppt

微积分 章学诚刘西垣编著 普通高等教育 十一五 家级规划教材 经济管理类 第二章 2 第二章极限和连续 2 3 2 5 2 2 数列极限函数极限极限的运算法则无穷小 量 和无穷大 量 极限存在的准则和两个重要极限函数的连续性和连续函数函数的间断点 2 4 2 6 2 1 2 7 3 在大多数科学里 一代人要推倒另一代人所修筑的东西 一人所树立的另一人要加以推毁 只有数学 每一代人都能在旧建筑上添一层楼 汉克尔 H Hankel 1839 1873 第二章极限和连续 4 在16 17世纪 随着生产实践和科学技术的发展 迫切需要解决以下几个问题 寻求曲线的切线 确定物体运动的速度 计算平面曲边图形的面积和空间中表面弯曲的立体的体积等 在这些问题面前 初等数学的概念和方法已无能为力 急切要求数学突破研究常量的传统 提供能用以描述和处理运动及变化过程的新理论和新方法 变量数学 而微积分作为变量数学的主体 随之而生 极限的理论和方法是阐述微积分的概念和方法的工具 是整个微积分学的理论基础 5 本章介绍极限的概念 性质和运算法则 以及与极限概念密切相关的 并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质 此外还给出了两个极其有用的重要极限 随后 运用极限引入了函数的连续性概念 它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述 微积分学中讨论的函数主要是连续函数 6 2 1数列极限 数列的概念数列极限的定义收敛数列的基本性质 7 2 1 1数列的概念在讲述一般的极限概念之前 首先介绍刘徽的 割圆术 设有一半径为1的圆 在只知道直边形的面积计算方法的情况下 要计算其面积 为此 他先作圆的内接正六边形 其面积记为A1 再作内接正十二边形 其面积记为A2 内接二十四边形的面积记为A3 如此逐次将边数加倍 他说 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 用现在的话说 即当n无限增大时 An无限接近于圆面积 他计算到3072 6 29边形 利用不等式 如图2 1 An 1 A An 2 An 1 An n 1 2 得到 3 1416 比印度数学家得到这个结果早200多年 8 小知识 刘徽 我国魏晋时期 公元世纪 的杰出数学家 中国古典数学理论的奠基者之一 幼年曾学过 九章算术 中国数学专著 分为九章 共收集246个数学问题 公元263年注 九章算术 全面论述了 九章算术 中所载的方法和公式 纠正了其中的错误 在数学方法和理论上作出了杰出贡献 9 上面得到的一串数A1 A2 An 就是一个数列 一般地说 按下标从小到大依次排列的无限数组a1 a2 an 称为一个数列 记为 an 1 也可简记为 an 但这不表示无序的数集 其中每个数称为一个项 an称为通项 或一般项 数列也可以看成定义在自然数集N上的一个函数an f n n N 它以自然数由小到大的顺序排列 数列 an 可以用数轴上的无穷点列表示 图2 2 图2 2 10 例1以下都是数列 一般项一般项一般项4 1 1 1 1 1 n 1 一般项an 1 n 1 一般项 11 2 1 2数列极限的定义对于数列 我们最关注的是 它在无限变化过程中的发展趋势 即当n无限增大时 an是否无限趋于一个常数 若是 这个常数是什么 怎样计算 例如 对于本节开头的数列A1 A2 从几何上可以知道 随着n无限增大 An的值也逐渐增大 并且无限接近于圆面积A 12 定义1设 an 是一数列 如果存在常数a 当n无限增大时 an无限接近 或趋近 于a 则称数列 an 收敛 a称为 an 的极限 或称数列 an 收敛于a 记为或an a 当n 如不存在这样的常数a 则称数列 an 发散或不收敛 也可以说极限an不存在 13 小知识 柯西 A L Canchy 1789 1857 法国数学家 高级官员家庭出身 自幼受过良好教育 1816年取得教授职位 同年任法国科学院院士 他在微积分的严密化方面作出了巨大贡献 故有人称他为近代意义下严格微积分学的奠基者 他共有7部著作 800余篇论文 14 小知识 这个极限定义 定义1 是他为巴黎综合工科学校编写的 代数分析教程 中给出的 其原话是 若一个变量逐次所取的值无限趋近一个定值 最终使变量的值与该定值之差要多小就多小 这个定值就叫做所有其他值的极限 在该书的序言中还对无穷小量和无穷大量概念作了说明 他最先使用极限记号 并用极限来阐述微积分中的导数和定积分概念 15 例2判别例1中的数列是否发散 在收敛时求其极限 解1 数列当n无限增大时 无限接近于0 故数列收敛 其极限为0 2 数列虽然在0点两侧无限次来回变动 但当n无限增大时 也无限接近于0 故收敛于0 例1以下都是数列 16 例2判别例1中的数列是否发散 在收敛时求其极限 解3 当n无限增大时 无限接近于1 故数列收敛 其极限为1 4 数列无限多次在1和 1来回取值 故不可能存在一个常数a 使当n无限增大时 1 n 1与a无限接近 从而 1 n 1 发散 5 随着n无限增大也无限增大 故不收敛 即发散 例1以下都是数列 17 在前面计算面积A的例子 p 36 中 数列 An 收敛 其极限为A 12 可以写成注意 在定义中 不能将 无限接近 或趋近 改成 愈来愈接近 因为对数列而言 当n无限增大时 与 2或 1也都愈来愈接近 但不能无限接近 2或 1 故 2或 1不是的极限 又如数列其一般项为显然 当n无限增大时 an无限接近于0 故0是它的极限 但an的值是来回跳跃的 不是 愈来愈 接近于0 18 为了方便起见 有时也将当n 时 an 无限增大的情况说成是 an 趋向于 或称其极限为 并记为但这不表明 an 是收敛的 若当n足够大时 an 0 或an 0 且当n 时 an 无限增大 则称 an 趋近于 或 记为 或 例如 对例1中5 的数列 可以说成 19 在上面的例子中 说数列 an 的极限是a 靠的是观察或几何直觉 但仅凭观察或直觉很难做到准确 例如 对于数列不能严格说明它为什么是收敛的 其极限为什么是0而不是别的数 为此 需对数列极限的概念作更精确的说明 由于两个数a b之间接近的程度可以用它们之间的距离 a b 的大小来衡量 所以说 当n无限增大时an无限接近于a 等价于说 只要n足够大 可以保证 an a 小于任何预先给定的小的正数 由此得到关于数列极限的如下严格的定义 20 定义1 给定数列 an 如果存在常数a 使得对于预先给定的任意小的 0 总有足够大的自然数N 使得当n N时有 an a 0 当n N时 总有a N 包含在a的 邻域U a 中 如图2 3 这个定义中的N与 有关 图2 3 21 小知识 微积分或数学分析的教科书中关于极限的这个严格定义 定义1 是由德国数学家魏尔斯特拉斯 K Weierstrass 1815 1857 给出的 他不满意用 无限趋近 来描述极限概念 力求避免直观而把分析奠基在算术概念的基础上 改进了在分析 包括微积分 的严格化方面柯西等人的工作 这些工作是他在1841 1856年任中学教师 教授写作和体育课 时作出的 但在他于1856年到柏林大学任教之前不为人所知 1864年任柏林大学教授 22 例3用 N方法证明例2中1 和3 的结论 证设按定义1 对任意给定的 0 为使只需 即设N 是大于的任意一个整数 则当n N时上式即成立 从而 例2中1 的结论 数列收敛于0 23 例3用 N方法证明例2中1 和3 的结论 证设按定义1 只需对任意给定的 0 证明存在N 使当n N 时有即 或由此可知只需取大于的一个整数作为N 即可 例2中3 的结论 数列收敛于1 24 对于给定的数列 要判别它的敛散性 即是否收敛 以及在收敛时求出其极限 一般说来 并非易事 甚至是一个难题 需要运用很高的技巧 本章下面几节将仅介绍求极限的基本方法 25 2 1 3收敛数列的基本性质以下介绍收敛数列的一些性质 为了较好地掌握极限的上述定义 这些性质我们都给出证明 证明的过程从几何上不难理解 26 性质1 极限的唯一性 收敛数列的极限是唯一的 即若数列 an 收敛 且和 则a b 证用反证法 设a b 不妨设aN1 和 an b N2 取N max N1 N2 则当n N 时同时有 an a 和 an b 即a an a 和b an b 但 这就导致和需同时成立的矛盾 从而a b 27 性质2 收敛数列的有界性 假设数列 an 收敛 则数集 an 必有界 即存在常数M 0 使得 an 0 有N 使当n N 时有 an a 取M max a1 a2 aN a a 1 则有 an M n N 图2 4 28 性质3 收敛数列的保号性 假设数列 an 收敛 其极限为a 1 如果存在正整数N 使得当n N时an 0 或0 或N时an 0 或N 使当n N 时有a N 这与假设n N时an 0相矛盾 29 性质3 收敛数列的保号性 假设数列 an 收敛 其极限为a 1 如果存在正整数N 使得当n N时an 0 或0 或N时an 0 或0 取则存在N 使当n N 时有a N 时an 0 30 2 2函数极限 函数在有限点处的极限自变量趋于无穷大时函数的极限有极限的函数的基本性质 31 数列 an 作为函数an f n n 1 2 在它的极限问题中所讨论的无限变化过程 是通过变量下标 即函数f n 的自变量按自然数1 2 3 顺序变化来描述的 自然数的变化是跳跃式的 或者按现在通用的说法 是 离散型 的 但在研究函数时 常常要涉及 连续型 无限变化过程 这就是函数极限所要讨论的对象 关于函数f x 的极限所讨论的无限变化过程 有多种情况 主要分成 1 自变量x无限接近于有限值x0 记为x x0 时 函数值f x 的总的变化趋势 2 自变量x的绝对值 x 无限增大 记为x 时 函数值f x 的总的变化趋势 32 2 2 1函数在有限点处的极限定义1给定函数y f x x D 假设点x0的某一去心邻域如果存在常数A 使得当x x0时 函数值f x 无限接近于A 则称A为函数f x 当x x0时的极限 记为或f x A 当x x0时 注意 在上述定义中 并不要求x0 D 即f x 在x0点可以没有定义 其次 x x0时x x0 33 定义1也可以解释为 不论你要求f x 与A多么接近 即 f x A 多么小 只要x与x0充分接近 即 x x0 充分小 就能使 f x A 达到那么小 f x A 要多么小就可以多么小 可以确切地表述为 对任意给定的正数 它小的程度没有任何限制 f x A 0 x x0 0 0 当0 x x0 时有 f x A 则称f x 当x x0时的极限为A 34 定义1 给定函数y f x x D 假设点x0的某一去心邻域如果存在常数A 使得对任意给定的 0 0 当00 总有 0 使得当时 f x U A 其几何意义如图2 5所示 定义1 中的 一般与预先任意给定的 有关 图2 5 35 在定义1 中 如果当x x0时 f x 随之无限增大 则不存在 但为了方便起见 也称f x 的极限是 并形式地写成如果当x x0时 f x 无限增大 且对于f x 0 或 0 则记 或 显然 常数的极限即其自身 即若f x c 则在任何极限过程中limf x limc c 36 例1证明 证按定义1 为证只需对任意小的 0 证明总能找到 0 使当 x 0 x 时有 tanx 0 即 tanx 要使这个不等式成立 只要 arctan x arctan 所以 若取 arctan 则当0 x 时即有 tanx 0 这就证明了 37 在函数极限的定义中 x既可从x0的左边趋向于x0 也可以从x0的右边趋向于x0 考虑到f x 的定义域D或某些问题的具体情况 有时只需或只能考虑x从x0的一侧趋向于x0时f x 的变化趋势 为此 通常将xx0 x x0的情况记为x x0 或x0 0 并给出函数单侧极限的定义如下 定义2设f x 在x0的一个左 右 邻域中有定义 如果存在常数A 使得当x x0 x x0 时 相应的函数值f x 无限接近于A 则称A为f x 当x x0 x x0 时的左 右 极限 并记为f x0 f x0 即和 单侧极限也可以如定义1 那样用 方法给予严格的描述 38 由定义1和定义2 易知有定理2 1当x x0时函数f x 以A为极限的充分必要条件是f x 在x0的左 右极限都存在并均为A 即例2求符号函数sgnx当x 0时的极限 解由于x0时sgnx 1 故所以不存在 39 例3对于正切函数y tanx 由正切曲线的图形 图1 32 易知例4设求解f x 在x 1点没有定义 但当x 1时x 1 故 图1 32 40 2 2 2自变量趋于无穷大时函数的极限关于无穷大的邻域U U U 如1 1 3小节所述 定义3设函数y f x 在U 中有定义 如果存在常数A 当 x 无限增大 x 时 f x 无限接近于A 则称A为函数f x 当x 时的极限 或简称为f x 在无穷大处的极限 记为或f x A 当x 时 41 与函数的单侧极限相类似 设f x 在U 或U 中有定义 如果存在常数A 使得当x 或x 即x0 且 x 无限增大时 f x 无限接近于A 则称A为函数f x 当x 或x 时的极限 记为或f x A 当x 或x 时 这些极限也可以像2 1 2小节中关于数列极限的情形一样 用 N的方法给予严格的表达 42 由定义 易见例5对于函数f x arctanx 由反正切曲线y arctanx的图形 图1 33 b 易见所以 极限不存在 图1 33 43 例6设a 0 1 分别就x 0 和x 两种情况考虑函数logax的极限是否存在 解由函数y logax的图形 图1 30 易见当01时 所以这些极限都不存在 图1 30 44 2 2 3有极限的函数的基本性质函数极限也有与收敛数列类似的一些性质 由于函数极限按自变量的变化过程共有6种不同的情况 而有关的性质是相同的 故统一以为代表 其中x0可以是 或 当x0有限时也可以是单侧的 性质1 函数极限的唯一性 假设在同一极限过程中有和则A B 45 性质2 有极限函数的局部有界性 假设存在 则f x 在x0点的某个邻域中有界 即有常数M 0 使得在x0的某个去心邻域中 有 f x 0 0 0 2 若对x0的某一去心邻域中的所有x f x 0 0 则A 0 0 这些性质可以像2 1 3小节中关于收敛数列的情形那样 给出严格的证明 留作练习 46 2 3极限的运算法则 为了简单起见 我们将数列极限和函数极限概括地称为 变量的极限 而变化的过程可以是离散的 数列情况 也可以是连续的 函数情况 既可以是两侧的 x x0 x 也可以是单侧的 x x0 x 47 定理2 2 极限的运算法则 设在同一极限过程中 变量u A v B 即则特别 若u C 常数 则由极限的定义 这个定理不难理解 证明见2 4节例3 p 50 注在的变化过程中 由于假设B 0 根据有极限变量的保号性 变量v在其变化过程中从 某一时刻开始 即 或n充分大 或x充分接近于x0 总有v 0 故是有意义的 48 利用极限的运算法则可以求一些极限 例1一般地说 若n N 则例2例3设f x x3 1 g x 2x2 x 5 求解由于故 49 例4求解由于故不能直接用极限的运算法则 但由于x3 1 x 1 x2 x 1 x2 4x 3 x 1 x 3 而当x 1时x 1 即x 1 0 故 50 例5求解 51 例6求解 52 2 4无穷小 量 和无穷大 量 无穷小 量 无穷大 量 无穷大量与无穷小量的关系无穷小量的比较 53 2 4 1无穷小 量 无穷小的概念在微积分的创建过程中起着至关重要的作用 它与极限概念有密切的关系 定义1若变量u的极限为0 则称u为无穷小 量 例如 由于故当x 1时x2 1是无穷小量 又如 故当x 时为无穷小量 54 按极限的严格定义 无穷小的概念可严格陈述如下 定义1 当x x0时变量a x 称为无穷小 量 如果对任意小的 0 总有 0 使得对于所有的都有 a x 0 a x 对于其他极限过程中的无穷小 量 可用 或 N语言给出类似的陈述 注意 不要把无穷小量与很小的量混为一谈 例如 10 100是一个很小很小的数 但这是一个非0的常数 它的极限仍是它自己 故不是无穷小量 能够作为无穷小量的常数只有0 不恒等于0的无穷小量必然是一个无限趋于0的变量 55 无穷小量与变量极限的密切关系表现在下述定理中 定理2 3在一个极限过程中 变量u的极限为A的充分必要条件是u A 其中 在这个极限过程中是无穷小量 这个定理也可表述为 u A u A 0 证仅对的情形加以证明 必要性 对任意给定的 0 存在 0 使当0 x x0 时总有 f x A 即 f x A 0 这表明f x A是无穷小量 记f x A 则有f x A 其中 当x x0时为无穷小量 56 无穷小量与变量极限的密切关系表现在下述定理中 定理2 3在一个极限过程中 变量u的极限为A的充分必要条件是u A 其中 在这个极限过程中是无穷小量 这个定理也可表述为 u A u A 0 证仅对的情形加以证明 充分性 设f x A 其中 当x x0时为无穷小量 由此 对任意的 0 有 0 使得0 x x0 时总有 f x A 所以由定义有 57 定理2 3表明 极限概念可以用无穷小量概念来阐述 由于无穷小量在建立微积分时具有基础性的地位 所以早期的微积分常称为无穷小分析 在17世纪下半叶微积分创立以后 特别是在18世纪 微积分在解决过去无法解决的许多实际问题中显示出了巨大的威力 但由于当时还没有建立起严密的理论 在实际应用中常常将无穷小时而变成0 时而又说不是0 显得很 神秘 难以捉摸 甚至连微积分的主要创立者牛顿 也难以摆脱由无穷小引起的概念上的混乱 58 马克思在评论17 18世纪的微积分时 对于那些数学家曾指出 他们自己就相信了新发现的算法的神秘性 这种算法就是通过数学上肯定不正确的途径而得出了正确的 而且在几何应用上简直是惊人的 结果 这样一来 他们自己就把自己神秘化了 唯心主义哲学家贝克莱主教在1734年为了维护当时神学的一些反科学的教义 猛烈攻击微积分的 神秘性 把微积分中的推导演算说成是 分明的诡辩 嘲笑无穷小是 逝去的鬼魂 为了微积分学的健康发展 也为了摆脱这种困境 以及克服由于没有严格的理论而导致的一些混乱 在1800年前后 许多数学家在为微积分建立严密的理论基础方面做了很多工作 上述关于无穷小量的定义就是这种努力的一个成果 它是柯西在1821年给出的 59 由无穷小量的定义 不难理解无穷小量的下列性质 定理2 41 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量 2 有界变量与无穷小量之积是无穷小量 3 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量 证1 只需对2个无穷小量的情形加以证明 设当x x0时a和 是2个无穷小量 即对于任意小的 0 总有 1 0和 2 0 使当时当时设 min 1 2 则从而有所以 这说明当x x0时a 是一个无穷小量 60 定理2 41 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量 2 有界变量与无穷小量之积是无穷小量 3 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量 证2 设u x 在中有界 即存在常数M 0 使当时 u x 0 存在 1 0 使有记 min r 1 则从而当时 同时有 u x M和所以 这说明当x x0时u x v x 是一个无穷小量 61 定理2 41 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量 2 有界变量与无穷小量之积是无穷小量 3 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量 证3 只需对两个无穷小量的情况加以证明 同1 设a 是两个无穷小量 依据有极限变量的性质 a必是有界或局部有界的 再由2 ab是一个无穷小量 62 例1由指数函数和对数函数的图形 图1 29及图1 30 易见当x 时 ax a 1 是无穷小量 当x 时 ax 0 a 1 是无穷小量 当x 1时 logax是无穷小量 图1 29图1 30 63 例2求解由于即变量有界 而当x 0时x2 0 即x2是无穷小量 所以 64 定理2 3在一个极限过程中 变量u的极限为A的充分必要条件是u A 其中 在这个极限过程中是无穷小量 是有界变量 事实上 由于 0 而B 0 若取则变量 在其趋于零的过程中变到某一时刻以后 有故从而即是有界的 65 例3证明极限的运算法则 证设在同一个极限过程中有limu A limv B 则由定理2 3 p 48 有u A a v B 其中a和 是无穷小量 于是u v A B a uv AB Ab Ba ab 在B 0的情况下 由无穷小量的性质 a Ab Ba ab Ba Ab均是无穷小量 对于可证它是有界变量 所以也是无穷小量 这就证明了lim u v A B limuv AB 66 2 4 2无穷大 量 定义2如果变量u在其变化过程中 u 无限增大 则称u为无穷大 量 记为u 或limu 确切地说 如果对于任意大的M 0 u在 变到某一时刻以后 恒有 u M 则称u为无穷大量 如果将 u M改成u M 或u M 则无穷大量可表示为u 或u 也可写成limu 或limu 注意 无穷大量 不是一个数 只是说明变量变化趋势的一个记号 不能把一个很大的数 如101000 与无穷大量混为一谈 常数不能是无穷大量 67 无界变量不一定是无穷大量 例如 数列 an 2 0 6 0 10 0 1 1 n 1 n 当n 时 an 1 1 n 1 n是无界的 但an n 1 2 不是无穷大量 例4由于故在相应的极限过程中tanx和logax是无穷大量 同样 当x 时ax a 1 是无穷大量 当x 时ax 0 a 1 是无穷大量 68 2 4 3无穷大量与无穷小量的关系由无穷小量和无穷大量的定义 不难推断 在一无限变化过程中 如果u是无穷小量 则当u 0 或在其变化过程中至多只能有限多次取到0 时 是无穷大量 而如果v是无穷大量 则是无穷小量 例5设则数列 an 为无穷小量 由于an在其变化过程中有无限多次取0值 无意义 故当n 时不是无穷大量 69 利用无穷大量和无穷小量的关系可以计算一些极限 例6求解由于 不是数 不能对它进行运算 求上述极限时不能运用极限的运算法则 但如果将无穷大量变成无穷小量 即可求出上述极限 为此 将上式分子 分母同除以x2 得一般 当a0b0 0时 可得 70 例7求解由于故所以 当n 时是无穷小量 71 例8求解当a 1时 an a n 0 故上述极限为0 当01时 将所求极限中的分子 分母同乘以a n 0 得 所以 72 2 4 4无穷小量的比较无穷小量的和 差 积仍是无穷小量 但无穷小量的商就不易确定了 例如 当x 0时 x2 x3 sinx都是无穷小量 而这时至于当x 0时的极限是什么 下节将讨论这个问题 研究无穷小量的商 在函数的微分学中有重要意义 73 定义3在同一极限过程中 设a和 都是无穷小量 且 0 1 如果则称a是比 高阶的无穷小 记为a o 2 如果则称a是比 低阶的无穷小 3 如果 c为常数 不为0 则称a与 是同阶无穷小 如果c 1 则称a与 是等阶无穷小 记为a 如果a是比 低阶的无穷小 即则所以 是比a高阶的无穷小 即有 o a 74 注意 称一个变量为高阶或低阶无穷小 是没有意义的 只有在同一个极限过程中的两个无穷小比较时 才能说它们阶的高低或是否同阶 例9当n 时 都是无穷小 由于故即是比高阶的无穷小 而是比低阶的无穷小 75 例10证明 当n 时与是同阶无穷小 证按定义 由于故当n 时 无穷小量与是同阶的 76 注意 在同一极限过程中的两个无穷小量 并不是总能比较阶的高低的 例11当x 0时 由于是有界变量 可知是无穷小量 而不存在 故不能比较与x的阶的高低 77 2 5极限存在的准则和两个重要极限 夹逼准则和单调有界准则和 2 5 1 2 5 2 78 下面讨论的两个极限是微积分中一些基本的微分公式和积分公式的基础 故称之为重要极限 为此 先要介绍关于极限存在的两个重要准则 79 2 5 1夹逼准则和准则 极限存在的夹逼准则 设在x的某一极限过程中 对于函数f x g x h x 有g x f x h x 且limg x A limh x 则limf x A 从极限概念的定义 这个准则不难理解和严格证明 作为思考题请读者自己完成 80 利用准则 可以证明重要极限 事实上 如图2 6 其中圆的半径为1 圆心角 AOB x 以弧度为单位 0 xAD OA BC OA 则显然有 AOB的面积S AOB 扇形AOB的面积S扇形AOB AOD的面积S AOD 而BC sinx AD tanx 所以 图2 6 81 从而有即由此可得因为和cosx都是偶函数 故上式当时也成立 利用上面得到的不等式有故当x 0时cosx 1 0 即cosx 1 82 由夹逼准则 必然有重要极限 即 2 1 这个极限说明 当x 0时无穷小量sinx与x等价 即x sinx x 0 注意 由于在极限 2 1 的证明过程中用到了x以弧度为单位 而 2 1 又在关于三角函数的导数和积分中占有基础的地位 故在微积分中涉及角度时总以弧度为单位 83 例1求下列极限 解1 由于利用极限的运算法则 有 84 例1求下列极限 解2 设t arcsinx 则x 0等价于t 0 故3 若设u kx 则x 0等价于u 0 而故 85 例1求下列极限 解4 由于故 86 例1求下列极限 类似于2 可以证明因此可得 当x 0时 87 例2求极限 其中b a 0 解设由于b a 0 有而故按夹逼准则 可得 88 例3设f x j x g x x R 且则A 存在且等于0B 存在但不一定为0C 一定不存在D 不一定存在解用反例作排除法 设或易知条件满足 结论A B C不成立 故应选D 89 2 5 2单调有界准则和对于数列 xn 如果x1 x2 xn 则称 xn 为单调递增数列 如果x1 x2 xn 则称 xn 为单调递减数列 它们统称单调数列 如果存在常数M 0 使得 xn M n 则称数列 xn 有界 可以证明下列收敛准则 证明从略 准则 单调有界收敛准则 如数列 xn 单调且有界 则 xn 必收敛 即必存在 90 下面讨论设可以证明数列 xn 是单调增加且有界的 即可证1 xn xn 1 n 1 2 2 0 xn 3 n 证1 即n 1时1 成立 当n 2时 由牛顿二项公式 有 91 设则1 xn xn 1 n 1 2 2 0 xn 3 n 续证1 即有同样 将xn与xn 1作比较 等式右边的前两项相同 xn从第三项起的每一项都比xn 1的对应项小 xn 1还比xn多了最后一项 故xn xn 1 n 1 2 92 设则1 xn xn 1 n 1 2 2 0 xn 3 n 证2 由xn的上述展开式显然有 93 设则1 xn xn 1 n 1 2 2 0 xn 3 n 所以数列 xn 是单调递增且有界的 按收敛准则 可知数列 xn 必定收敛 即存在 设其值为e 经过计算 e 2 718281828459045 所以 2 2 数列 xn 的图形如图2 7所示 图2 7 94 e称为自然对数的底 这是数学中继圆周率 之后的另一个重要常数 已经证明 和e都不是有理数 e为底的对数称为自然对数 logex记为lnx 称为自然对数函数 它与y ex互为反函数 y lnx的图形与y logax a 1 的图形类似 见图1 30 图1 30 95 可以证明 相应的函数极限有和 2 3 事实上 若以 x 表示x的整数部分 即不大于x的最大整数 记 x n 则n x n 1 当x 时n 且有而 由夹逼准则 即得 96 可以证明 相应的函数极限有和 2 3 当x 时 令x u 1 则当x 时u 从而于是 2 3 中的前一式得证 作变换立即可得后一式 97 函数在区间 0 上的图形如图2 8所示 图2 9显示了当x 0时函数的变化趋势 图2 8图2 9 98 例4求下列极限 k 0 为整数 解1 令则x 等价于y 0 故 99 例4求下列极限 k 0 为整数 解2 100 例4求下列极限 k 0 为整数 解3 令 2x t 则x 0等价于t 0 故 101 例4求下列极限 k 0 为整数 解4 设3tan2x u 则x 0等价于u 0 所以 102 例5连续复利问题 将本金A0存入银行 年利率为r 则一年后本息之和为A0 1 r 如果年利率仍为r 但半年计一次利息 且利息不取 前期的本息之和作为下期的本金再计算以后的利息 这样利息又生利息 由于半年的利率为故一年后的本息之和为这种计算利息的方法称为复式计息法 如果一年计息n次 利息按复式计算 则一年后本息之和为 103 例5连续复利问题 如果计算复利的次数无限增大 即n 其极限称为连续复利 这时一年后的本息之和为假设r 7 而n 12 即一月计息一次 则一年后本息之和为若n 1000 则一年后本息之和为 104 例5连续复利问题 如果计算复利的次数无限增大 即n 其极限称为连续复利 这时一年后的本息之和为若n 10000 则一年后本息之和为由此可见 随着n无限增大 一年后本息之和会不断增大 但不会无限增大 其极限值为 由于e在银行业务中的重要性 故有银行家常数之称 105 2 6函数的连续性和连续函数 函数在一点处的连续连续函数连续函数的运算和初等函数的连续性闭区间上的连续函数 106 事物的变化有许多是跳跃式的 用数学的语言来讲 就是 离散的 数列即是一例 也有许多变化是连续的 如气温的变化 行星的运动 人体体重的变化等 这种变化的特点是 当时间的变化很小时 气温 行星的位置 人体体重的变化也很微小 用数学的语言可表述为 对于函数y f x 当自变量x的变化很小时 相应的函数值的变化也很小 从几何上看 表示函数的曲线是一条连续曲线 连续变化概念的抽象描述就是函数的连续性 微积分中所讨论的主要是连续变化的量 107 2 6 1函数在一点处的连续为了阐述函数的连续性 先引入增量 或改变量 的概念 设变量t从一个值t1变到另一个值t2 说明这个变化的幅度的量t2 t1称为t的增量或改变量 记为 t 即 t t2 t1 t可以是正的也可以是负的 注意 t不是 与t的乘积 它是一个整体 表示变量t的增量 下面讨论函数的连续性 108 定义1 设函数y f x 在点x0的一个邻域U x0 中有定义 若x从x0变到x x U x0 相应地 函数值y从f x0 变到f x0 x 即相应于x的增量 x y有增量 y f x0 x f x0 如图2 10 如果当 x 0时 y 0 即则称函数f x 在点x0连续 图1 33 定义1最早是捷克数学家波尔察诺 B Bolzano 1781 1848 在1817年给出的 其后不久法国数学家柯西在1821年也给出了这个定义 109 若记x x0 x 则f x0 x f x 而 x 0等价于x x0 y f x f x0 0等价于f x f x0 由此得到函数f x 在点x0连续的另一种表述 定义1 设函数y f x 在点x0的一个邻域U x0 中有定义 如果则称函数f x 在点x0连续 所以有f x 在点x0连续 110 由定义可见 函数f x 在点x0有极限是f x 在点x0连续的必要条件 即f x 在x0点连续必须要存在 但反之不然 存在 并不意味着此极限值必为f x0 甚至f x0 可能无意义 例如 函数但f x 在点x 0不连续 因为在讨论是否存在时 只要求f x 在x0的去心邻域中有定义 但在讨论f x 在点x0连续时 f x 必须在邻域U x0 其中包括x0 中有定义 111 相应于函数左 右极限的概念 关于连续性有定义2假设函数y f x 在点x0及其一个左 右 邻域中有定义 如果则称函数f x 在点x0左 右 连续 由函数在一点的极限与左 右极限之间的关系 可知函数在点x0连续与在点x0左 右连续之间有如下关系 函数f x 在点x0连续 f x 在点x0左 右都连续 即f x0 f x0 f x0 112 2 6 2连续函数定义3如果函数f x 在区间I上有定义 且在I中的每一点处都连续 则称f x 是I上的连续函数 在上述定义中 若区间I有左 右 端点 则f x 在这个端点处右 左 连续 一般地说 如果函数f x 在其定义域D中的每一点都连续 则称f x 是D上的连续函数 如果函数y f x 是区间I上的连续函数 则它的图形C y f x x I 是一条连续曲线 显然 常数函数y C 常数 是连续函数 113 例1证明 函数y x2在每一点都连续 证设x0是任意一点 因为故由定义1 p 63 知 函数x2在x0点连续 或按定义1 p 63 如果x在点x0有增量 x 则y相应的增量为 y x0 x 2 x02 2x0 x x 2 由此从而x2在点x0连续 由于x0的任意性 这说明函数y x2在R上连续 类似地可以证明 若n N 则幂函数y xn在每一点连续 即是R上的连续函数 114 例2证明 正弦函数y sinx是R上的连续函数 证对于任意的x R和该点处的增量 x 函数的增量为由于故当 x 0时 而利用无穷小量的性质 有所以sinx在x点连续 即sinx是R上的连续函数 115 例3证明 余弦函数y cosx是R上的连续函数 证设x0是任一实数 作变换 则x x0等价于u u0 故即cosx在x0点连续 由于x0是任意点 所以cosx是其定义域R上的连续函数 116 2 6 3连续函数的运算和初等函数的连续性从前面的例子已经知道 常数 幂函数xn n N 以及sinx和cosx都是连续函数 随之自然会问 其他的基本初等函数以及一般的初等函数的连续性如何 根据连续函数的定义和极限的运算法则 易知定理2 5连续函数的和 差 积 商 分母不为0 仍是连续函数 所以 三角函数tanx cotx secx cscx在它们的定义域内都是连续函数 117 定理2 6设函数y f x 在区间I1上是单调的连续函数 则其值域I2 f x x I1 是一个区间 且它的反函数y f 1 x 是区间I2上的单调连续函数 这个定理的证明要用到较多的数学知识 在此从略 由第一章可知 指数函数y ax是单调函数 可以证明ax是一个连续函数 证明从略 因此它的反函数y logax是连续函数 同样 由于函数y sinx x y cosx 0 x y tanx x y cotx 0 x 是单调的连续函数 故它们的反函数y arcsinx x 1 y arccosx x 1 y arctanx x R y arccotx x R 也都是单调的连续函数 118 那么 一般的幂函数y xu的连续性如何 为此 要用到下述定理 定理2 7设函数g x 在点x0连续 函数f u 在点u0 g x0 连续 则复合函数f g x 在点x0连续 证由函数在一点连续的定义1 设u g x 则有从而所以f g x 在点x0连续 119 一般的幂函数y xu的连续性如何 定理2 7设函数g x 在点x0连续 函数f u 在点u0 g x0 连续 则复合函数f g x 在点x0连续 由定理2 7 两个连续函数y f u u g x 的复合函数f g x 若有意义 是连续函数 或可表述为 连续函数经过函数的复合运算 若有意义 仍是连续函数 由此 对于一般的幂函数y x x 0 由于x elnx e lnx 所以 y x 可看成两个连续函数y et t lnx的复合 从而是连续函数 120 综上所述 基本初等函数是连续函数 连续函数经过有限次的和 差 积 商 分母不为0 和复合运算仍是连续函数 所以初等函数在其有定义的区间内都是连续函数 由此可见 连续函数类是一个很大的函数类 初等函数是其中的一部分 在微积分中所讨论的函数主要是连续函数 利用函数的连续性可以计算一些极限 121 例4求解由于是一个初等函数 在其定义域内连续 而x 0属于它的定义域 所以 122 例5求解由对数函数的连续性 即当x 0时ln 1 x 0 所以所求极限是两个无穷小量之比 设则u x 当x 0且x 1时是连续函数 在x 0点 因所以u x 在x 0点也连续 从而u x 是 1 上的连续函数 123 例5求续解又由lnu是u的连续函数 故lnu x 是 1 上的连续函数 所以因此 当x 0时ln 1 x 与x是等价无穷小 即x ln 1 x 若记t ln 1 x 则x et 1 且x 0等价于t 0 所以当t 0时et 1与t是等价无穷小 即et 1 t 124 例6求解令 1 x a 1 u 则x 0时u 0 由于x 0时x ln 1 x 故即所以当x 0时 1 x a 1 ax 125 结合2 6 1小节中关于等价无穷小的结果有 当x 0时 x sinx tanx arcsinx arctanx ln 1 x ex 1 1 x a 1 ax a 0 在求一些极限时 利用等价无穷小的代换 往往可使计算简化 对此有如下等价代换原理 126 等价代换原理在同一极限过程中的三个变量u v w 如果u v是无穷小量 且等价 则有这是因为由假设有在例6中 实际上用了ln 1 x x 把分母中的x换成了ln 1 x 127 例7求解当x 0时x sinx arcsinx 故由等价代换原理 注意 在和 差的极限计算中 不能用等价无穷小作代换 考察下列例子 128 例8求解 129 例8求注若将分子中的tanx和sinx都代以等价的x 则有这结果是错误的 实际上tanx sinx 0 对此可考察图2 11 上面正确的计算表明 当x 0时所以如果不计tanx sinx的三阶和更高阶的无穷小 则在x的一阶和二阶范围内 tanx sinx与0无异 但如果计及x的三阶无穷小 tanx sinx就异于0了 图2 11 130 例9设是连续函数 求a 解函数ae x在 0 上连续 而2 cosx在 0 上连续 故只需考察f x 在分段点x 0处的连续性 因故若f x 在x 0点连续 只需f 0 f 0 即a 3 131 例10求解设则而故从而 132 2 6 4闭区间上的连续函数闭区间上的连续函数有一些良好的性质 它表现在下列定理中 定理的证明要用到较深的数学知识 故从略 定理2 8闭区间上的连续函数必有界 即若函数f x 在 a b 上连续 则必有常数M 0使得 f x M x a b 这个定理称为闭区间上连续函数的有界性定理 133 定理2 9闭区间上的连续函数必有最大值和最小值 即若函数f x 是 a b 上的连续函数 则必有点x1 x2 a b 使得f x1 f x f x2 x a b f x1 称为f x 在 a b 上的最小值 f x2 称为最大值 这个定理称为闭区间上连续函数的最大值最小值定理 或简称最值定理 定理2 9也可表述为 闭区间上的连续函数必能在区间上取 或达 到它的最大值和最小值 即若f x 是 a b 上的连续函数 则必 x1 x2 a b 使得f x1 min f x x a b 或记为f x2 max f x x a b 或记为 134 定理2 9中的条件 区间是闭的 和 函数连续 是重要的 如果这两个条件不满足 函数在区间上可能没有 或取不到 最大值或最小值 另一方面 这两个条件只是有最值的充分而非必要条件 例如 函数在区间 0 1 上连续 但无界 既无最大值 也无最小值 因为x 1不属于 0 1 又如函数由于g 0 不存在 g x 在 0 1 上不连续 它无最大值 有最小值g 0 0 135 定理2 10 零点定理 设f x 是 a b 上的连续函数 且f a 与f b 异号 则函数f x 在 a b 中至少有一个零点 这个定理也可表述为 若f x 是 a b 上的连续函数 且f a f b 0 则 a b 使得f 0 这个定理从几何上看是显然的 如图2 12 由于f a f b 0 点A a f a 和B b f b 位于x轴的两侧 因此连接点A B的连续曲线C y f x x a b 必与x轴相交 设交点为x 则f 0 图2 12 136 例11证明 方程f x x5 7x 29 0在区间 2 3 中必有根 证函数f x 在 2 3 上连续 f 2 110 由定理2 10知必 2 3 使得f 0 即是函数方程f x 0的根 定理2 10虽然只是说明函数的零点的存在性 而没有给出寻求零点的方法 但它仍然有重要的理论价值 在许多实际问题中常常会遇到方程 包括代数方程 的求根问题 如果能预先判定方程在某区间中必有根 就可以用计算机算出根的近似值 否则即使计算很长时间也可能得不到有意义的结果 因为在该计算所设定的区间中可能没有根 137 小知识 众所周知 二次 三次 四次代数方程的根都可用方程的系数通过四则运算和开方表示出来 那么五次和高于五次的代数方程如何 在拉格朗日和挪威数学家阿贝尔 N H Abel 1802 1829 的工作的基础上 法国年轻数学家伽罗瓦 E Galois 1811 1832 利用置换群的概念指出了通过根式可解的代数方程的表征 由此完全证明了这个问题的答案一般是否定的 1829年他的两篇有关文章呈送科学院后被院士柯西 丢失 1830年一月另一篇更详细的文章送交院士傅里叶 J B J Fourier 1768 1830 不幸不久傅里叶去世 138 小知识 在泊松 S D Poisson 1781 1840 院士的提议下伽罗瓦于1831年写出题为 关于用根式解方程的可解性条件 的新文章 却被泊松以难以理解而退回 直到1846年 数学杂志 才发表了他的部分文章 1870年约当 M E C Jordan 1838 1922 在一本关于代数方程的专著中第一次全面而清楚地介绍了伽罗瓦的理论 伽罗瓦是代数学中群论的奠基人 1830年伽罗瓦因支持革命被学校开除 并两次因政治获罪而被捕 1832年死于决斗 139 定理2 11 介值定理 闭区间上连续函数必能取得它在区间上的最大值和最小值之间的任何值 证设f x 是 a b 上的连续函数 由定理2 9 在 a b 上必有最大值和最小值 即有x1 x2 a b 使得 记为m 记为M 如果m M 则定理显然成立 如果m M 定理需要证明 对任一实数C m C M 必 a b 使得f C 为此 作辅助函数g x f x C 易知g x 在 x1 x2 或 x2 x1 上符合定理2 10的条件 所以在 x1 x2 或 x2 x1 中至少有一点x 使得g x f x C 0 即f x C 由于x1 x2 a b 故 x a b 140 定理2 11的几何意义是 如图2 3 只要m C M 连接点 a f a 和 b f b 的连续曲线 y f x x a b 必与水平直线y C相交 所以如果f x 是 a b 上的连续函数 M和m依次为f x 在 a b 上的最大值和最小值 则对任意的C m M 必 a b 使得f C 由此 可得推论若f x 是 a b 上的连续函数 且不是常数 则f x 的值域也是一个闭区间 介值定理 定理2 11 在研究函数的性质和一元函数的微积分理论中有用 图2 13 141 2 7函数的间断点 虽然初等函数在其定义域上都是连续函数 但也有许多函数不是连续的 例如简单的符号函数sgnx 1 2节例3 在x 0点不连续 因为而sgn0 0 142 又如函数在x 0点不连续 因为f 0 没有意义 其实 即使补充规定f 0 0 f x 在x 0点仍然不连续 因为f 0 f 0 极限不存在 甚至有些函数的不连续的点可能有无穷多个 有名的例子是1 3节例5中的狄利克雷函数它在任意一点都不连续 因为对任一实数x0 在x0点的任意邻域U x0 中 既有无限多个有理数 又有无限多个无理数 故不存在 从而D x 在任意一点x0都不连续 143 定义函数不连续的点称为函数的间断点 函数f x 在点x0不连续只能是下列三种情况之一 1 f x 在点x0没有定义 但在x0的一侧或两侧邻近有定义 2 f x 在点x0有定义 且存在 但3 f x 在点x0有定义 但不存在 通常称f x 在点x0的左 右极限f x0 f x0 都存在的间断点为第一类间断点 f x0 和f x0 至少有一个不存在的点称为第二类间断点 在第一类间断点中 称存在的间断点为f x 的可去间断点 144 可去间断点只能有两种情况 或f x 在点x0无定义 或有定义但这时只需补充定义或改变f x0 的值使它等于则f x 就在x0点连续 故这类间断点称为可去的 第一类间断点除可去间断点外 必有f x0 f x0 这种间断点称为跳跃间断点 在第二类间断点中 若f x0 和f x0 中至少有一个是 则称之为无穷间断点 例1x 0是的无穷间断点 同样 是正切函数tanx的无穷间断点 x 0是符号函数sgnx的跳跃间断点 145 例2函数除x 0外有定义 当x 0时的值在 1与 1之间无限次地上下变动 故不存在 从而x 0是的第二类间断点 这种间断点称为振荡间断点 它的图形如图2 14所示 在x 0的邻近 曲线上的点非常密集 并且当x越接近于0 点越密集 曲线上的点与线外的点几乎无法分辨 图2 14 146 例3函数除x 0外有定义 且由于故从而x 0是函数g x 的可去间断点 若补充定义g 0 0 则g x 在点x 0连续 y g x 的图形如图2 15所示 曲线与直线y x和y x有无穷多个交点 其图形夹在这两条直线之间 图2 15 147 例4求函数的间断点 解j x 是一个初等函数 除x 0 x 1外有定义 由于故从而x 0是j x 的无穷间断点 又故所以j 1 0 j 1 1 因此x 1是j x 的跳跃间断点 148 Thankyou