概率论与数理统计总复习知识点归纳.ppt

概率论与数理统计总复习 第一章事件的概率 2 概率的定义 3 概率的性质 4 两个概念 对立 非负性 规范性 可列可加性 A与B独立 P AB P A P B A与B互不相容 P AB 0 P A B P A P B AB 1 古典概率 乘法原理 排列组合 几何概率 均匀分布 P A 0时 P B A P B 5 两个公式 P Ai B 后验概率 P Ai 先验概率 P B Ai 例1设甲 乙 丙三人的命中率分别为0 3 0 2 0 1 现三人独立地向目标各射击一次 结果有两次命中目标 试求丙没有命中目标的概率 记A B C分别为甲 乙 丙命中目标 D为目标被命中两次 解 0 092 法一用条件概率直接求解 P B 法二用Bayes公式 0 1 0 9 0 3 0 2 0 3 0 8 0 7 0 2 P C 0 1 P D C 0 3 0 8 0 7 0 2 于是有 例2填空 可作图帮助分析 1 设P A 0 7 P A B 0 3 则 2 若A与B独立 且A与B互不相容 则min P A P B 0 0 6 3 已知P A 0 3 P B 0 5 则当A与B相互独立时 有P A B 当A与B不相容时 有P B A 当P A B 0 4时 有 0 65 0 5 0 4 第二 三章随机变量及其分布 1 常用分布 B n p P U a b E N 2 2 联合分布和边缘分布 4 随机变量函数的分布 公式法 分布函数法 C R V 注意分段 独立时 Min X1 X2 Xn 和Max X1 X2 Xn 的分布 3 概率的计算 一维或二维C R V 一重或二重积分 作图 定限再计算 验证 独立时 二维均匀 二维正态 5随机变量的独立性 正态分布的线性组合性质 含正态分布可加性 若Xi N i i2 i 1 2 n 相互独立 则对任何实数a1 a2 an 有 例3已知X f x 求Y X2的概率密度 解用分布函数法 y 0时 y 0时 FY y P Y y 1 于是Y的概率密度为 FY y P Y y P X2 y 例4设二维随机变量 X Y 的联合密度函数为 解 求随机变量Z X Y的密度函数fZ z 法一 分布函数法 法二 公式法 注意到被积函数的非零区域G为 x z x z 1 1 2 G 第四章数字特征小结 定义 含义 计算和性质 1 计算 附表一 六大分布 2 性质 E aX b aE X b D aX b a2D X E i iXi i iE Xi 3 D 1X 2Y 12D X 22D Y 2 1 2Cov X Y 4 独立必不相关 反之则不一定 E X E Y E XY E X2 E Y2 例5设C R V X Y 在三角形区域G 0 x 1 0 y 1 x上服从均匀分布 求Cov X Y 和 XY 解 同理E X2 1 6 E XY 1 12 从而DX E X2 EX 2 1 18 由对称性有E Y E X 1 3 DY DX 1 18 于是 Cov X Y E XY E X E Y 1 12 1 3 2 1 36 例6设 U 0 2 X cos Y cos a 其中0 a 2 为常数 试求 XY并由此讨论X与Y之间的关系 解 于是 当a 0 XY 1 当a 2或3 2时 因 XY 0 故X和Y不相关 例7求 例8设 X Y N 1 2 12 22 可以推出哪些结论 分布特点 边缘分布 数字特征 独立与不相关等 当a XY 1 两种情况下X和Y都呈线性关系 这时Y X 这时Y X 但却有X2 Y2 1 表明X和Y不独立 解 D X Y DX DY 2Cov X Y D X Y DX DY 2Cov X Y 例9设随机变量X Y的方差分别为25和36 相关系数为0 4 求D 0 1X 2Y D X Y D X Y D 0 1X 2Y D 1X 2Y 12DX 22DY 2 1 2Cov X Y 例10设随机变量X1 X2 Xn相互独立 且期望和方差分别为 2 0 的相关系数 解 第5章 1 契比雪夫不等式2 中心极限定理 正态极限分布 例11试用三种方法计算抛100次均匀硬币出现正面的频率在0 4至0 6之间的概率 解设出现正面的次数为X 则X B 100 1 2 第6 7章 抽样分布 正态总体的抽样分布 矩估计 极大似然估计 无偏性 区间估计 单正态总体 双侧 1直接计算 3用中心极限定理 2用契比雪夫不等式 例12判断均匀分布U a b 参数极大似然矩估计的无偏性 解对X U a b 参数极大似然矩估计量为 二者的分布函数为 二者的密度函数为 显然都不是无偏估计 解 则总体X B 1 p 其中p为废品率 1 矩法 2 极大似然法 3 无偏性 例13从一批产品中任取n件 发现有m件废品 试求这批产品废品率p的矩法和极大似然估计 并判断这两种估计量的无偏性 民意调查建模 估计原理 Exer1 设X1 X2 X2n为来自正态总体的样本 Exer2 设X1 X2 X2n为来自正态总体N 2 的样本 已知 求 2的极大似然估计并判断无偏性 Exer3 推导正态总体参数的双侧置信区间 注 因 故 显然无偏性成立 因 或 解