多元函数的极限与连续.ppt

第8章多元函数微分法 及其应用 2 第8章多元函数微分法及其应用 上册已经讨论了一元函数微积分 但在自然科 学 工程技术和经济生活的众多领域中 往往涉及 到多个因素之间关系的问题 这在数学上就表现为 一个变量依赖于多个变量的情形 因而导出了多元 函数的概念及其研究与应用 本章在一元函数微分学的基础上 数的微分方法及其应用 讨论多元函 以二元函数为主 但所得到 的概念 性质与结论都可以很自然地推广到二元以 上的多元函数 同时 还须特别注意一些与一元函数 微分学显著不同的性质和特点 3 8 1多元函数的极限与连续 平面点集 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 小结思考题作业 functionofmanyvariables 4 一 平面点集 实数组 x y 的全体 即 建立了坐标系的平面称为坐标面 xOy坐标面 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为 平面点集 记作 二元有序 5 邻域 Neighborhood 设P0 x0 y0 是xOy平面上的一个点 P0 令 有时简记为 开 意味着 将邻域去掉中心 称之为 去心邻域 它是以P0为中心 为半径的开圆 也称为 不包括边界 也可将以P0为中心的某个矩形内 不算周界 的全体点称之为点P0邻域 6 1 内点 显然 E的内点属于E 2 外点 如果存在点P的某个邻域 则称P为E的 外点 3 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 称P为E的边界点 任意一点 与任意一点集 之间 必有以下四种关系中的一种 设E为一平面点集 若存在 称P为E的 内点 E的边界点的全体称为E的 边界 记作 使U P E 下面利用邻域来描述点和点集之间的关系 7 4 聚点 如果对于任意给定的 P的去心邻域 内总有E中的点 则称P是E的 聚点 P本身可属于E 也可不属 于E 聚点从直观上讲 这点附近有无穷多个E的点 例如 若 则P为E的边界点 E的边界 则P为E的内点 也是E的聚点 若 或 也是E的聚点 或 设点集 8 开集 若点集E的任意一点都是E的内点 例 称E为 E1为开集 下面再定义一些重要 闭集 若点集E的边界 称E为闭集 例 E2为闭集 例 E3既非开集 也非闭集 根据点集所属点的特征 的平面点集的概念 开集 9 区域 或开区域 连通的开集称为 连通集 如果点集E内任何两点 都可用折线连 且该折线上的点都属于E 称E是 区域或开区域 连通集 结起来 闭区域 开区域连同其边界一起所构成的点集 称为闭区域 都是闭区域 如 10 是区域吗 不是区域 因为不连通 连结两点的任何折线都与 相交点不属于E y轴相交 练习 连通的开集称为区域或开区域 是区域 11 有界集 否则称为 总可以被包围在一个以原点为中心 大的圆内的区域 称此区域为 半径适当 可伸展到无限远处的区域 有界集 集 例 无界 是有界闭区域 是无界开区域 是无界闭区域 12 有界开区域 有界半开半闭区域 有界闭区域 无界闭区域 13 二 多元函数的概念 1 二元函数的定义 例 有如下的关系 为正的常数 在西方经济学中称此函数关系为Cobb Douglas 在生产中 产量Y与投入资金K和劳动力L 之间 生产函数 当投入资金K和劳动力L的值分别给定时 产量Y就有一个确定的值与它们对应 上述关系式 按照 14 例 它们之间具有如下的关系 设R是电阻R1 R2并联后的总电阻 由电学 当电阻R1 R2取定后 知识知道 R的值就唯一确定了 15 点集D称为该函数的 定义8 1 称映射 为定义在D上的二元 点 函数 设D是R2的一个非空子集 记为 称x y为 数集 称z为 自变量 因变量 定义域 的值域 称为该函数 记为 或 16 二元及二元以上的函数统称为 多元函数定义域 定义域为符合实际意义 的自变量取值的全体 记为f x0 y0 函数z f x y 在点P0 x0 y0 处的函数值 或f P0 类似 可定义n元函数 多元函数 实际问题中的函数 的自变量取值的全体 纯数学问题的函数 定义域为使运算有意义 多元函数的自然定义域 17 例1求下面函数的定义域 解 无界闭区域 即定义域为 18 解 定义域是 有界半开半闭区域 练习 19 2 二元函数的几何意义 研究单值函数 二元函数的图形通常是一张 曲面 20 如 由空间解析几何知 函数 的图形是以原点为中心 R为半径的上 它在xOy平面上的投影是圆域 D就是函数 的定义域 半球面 21 的图形是双曲抛物面 马鞍面 又如 它在xOy平面上的投影是全平面 22 从一元函数到二元函数 在内容和方法 上都会出现一些实质性的差别 而多元函数 之间差异不大 因此研究多元函数时 将以二 元函数为主 23 三 多元函数的极限 讨论二元函数z f x y 怎样描述呢 1 P x y 趋向于P0 x0 y0 的 回忆 一元函数的极限 路径又是多种多样的 方向有任意 多个 24 2 变点P x y 这样 可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义 总可以用 来表示极限过程 与定点P0 x0 y0 之间的距离 不论P x y 趋向于P0 x0 y0 的过程多复杂 记为 25 记作 定义8 2 有 成立 的极限 设二元函数f P f x y 的 P0 x0 y0 是D的聚点 定义域为D 如果存在常数A 也记作 26 说明 1 定义中 2 二元函数的极限也叫 doublelimit 的方式是任意的 二重极限 关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去 27 相同点 多元函数的极限与一元函数的极限的 一元函数在某点的极限存在的 定义相同 差异 数必需是点P在定义域内以任何方式和途径 而多元函 趋于P0时 相同点和差异是什么 充要条件是左右极限都存在且相等 f P 都有极限 且相等 28 多元函数的极限的基本问题有三类 1 研究二元函数极限的存在性 常研究 若其依赖于k 则 欲证明极限存在 特别对于 不存在 常用定义或夹逼定理 欲证明极限不存在 通过观察 猜测 常选择两条不同路径 求出不同的极限值 找一条特殊路径 使函数沿此路径的极限不存在 29 多元函数的极限的基本问题有三类 2 求极限值 常按一元函数极限的求法求之 3 研究二重极限与累次极限 二次极限 间的 洛必达法则除外 关系 如极限的保号性 无穷小与有界量的乘积仍 极限的四则运算 夹逼定理 等价无穷小替换乘除因子定理 两个重要 是无穷小 极限 30 则当 例2 证 取 有 证毕 用定义 用P与O分别表示点 x y 与 0 0 因为 31 则当 例3 证 取 有 证毕 用P与O分别表示点 x y 与 0 0 因为 用定义 32 例4求极限 解 其中 用夹逼定理 所以 33 解 故 原式 练习 34 设函数 证明 当P x y 沿x轴的方向 当P x y 沿y轴的方向 也有 证 函数的极限不存在 无限接近点 0 0 时 同样 无限接近点 0 0 时 例4 35 函数的极限存在且相等 当P x y 沿直线y kx的方向 其值随k的不同而变化 所以 极限不存在 说明函数取上面两个 无限接近于 点 0 0 时 另一方面 无限接近点 0 0 时 设函数 证明 函数的极限不存在 特殊方向 36 练习 取 解 当P x y 沿x轴的方向无限接近点 0 0 时 当P x y 沿y轴的方向无限接近点 0 0 时 错 所以 37 极限不存在 取 此时可断言f x y 在点P0 x0 y0 找两种不同趋近方式 但两者不相等 处极限不存在 当P x y 沿y轴的方向无限接近点 0 0 时 思考 还有别的方法 38 求极限 解 将分母有理化 得 练习 39 求 答 0 答 不存在 答 不存在 二次极限都不存在时 练习 存在 二次极限与二重极限有本质的区别 但二重极限也可能 二次极限 与二重极限是两个不同的概念 40 四 多元函数的连续性 设二元函数f P f x y 的定义域为D 则称函数f x y 在点P0 x0 y0 连续 定义8 3 如果 如果函数f x y 在D的每一点处都连续 连续函数 P0 x0 y0 是D的聚点 例如 函数 在 x y 平面上 处处连续 则称 函数f x y 在D上连续 或者称函数f x y 是D上的 41 例5 证 令 证明 f x y 在点 0 0 连续 显然有 于是 所以f x y 在点 0 0 连续 42 设函数f x y 的定义域为D 则称点P0 x0 y0 为函数f x y 的间断点 定义8 4 是D的聚点 P0 x0 y0 如果函数f x y 在点P0 x0 y0 不连续 的间断线 0 0 是函数 的 0 0 点是该函数的间断点 函数 函数的极限不存在 前面已证 例如 的间断点 是函数 例如 43 在空间直角坐标系下 平面区域E上的二元连 续函数z f x y 的图形是在E上的一张 无孔无缝 的连续曲面 分母不为零 及复合仍是连续的 同一元函数一样 多元函数的和 差 积 商 每个自变量的基本 式子表达的函数称为 初等函数经有限次四则运算和有限次复合 由一个 指包含在定义域内的区域或闭区域 一切多元初等函数在其定义区域内是 结论 连续的 多元初等函数 44 例6求极限 解 是初等函数 而 1 0 在其定义域内 故f x y 在 1 0 点处连续 所以 由多元初等函数的连续性 代入法 如果要求它在点P0 处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则极限 值就是函数在该点的函数值 即 45 想一想 如何证明f x y 在 证 xOy面上处处连续 是初等函数 f x y 处处连续 下面证明 也连续 46 又 于是 即证明了f x y 在 由于 xOy面上处处连续 证明f x y 在 xOy面上处处连续 从而f x y 也连续 夹逼准则 47 有界闭区域上连续的多元函数的性质 最大值和最小值 性质8 1 有界性与最大值最小值存在性 性质8 2 介值存在性 在有界闭区域上连续的多元函数必有界 且有 在有界闭区域上连续的多元函数必能取到介 于最大值与最小值之间的任何值 48 五 小结 多元函数的极限 多元函数连续性 有界闭区域上连续多元函数的性质 与一元函数的极限加以比较 注意相同点与差异 多元函数的概念 内点 边界点 聚点 开集 连通 区域 平面点集 49 思考题 必定不存在 是非题 50 思考题 是非题 必定不存在 是 因为对不同的k值 不同 不存在 51 作业 习题8 1 第313页