利用导数解决恒成立问题.ppt

利用导数研究 恒成立 的问题 不等式恒成立问题是近年高考的热点问题 常以压轴题形式出现 交汇函数 方程 不等式和数列等知识 有效地甄别考生的数学思维能力 由于不等式恒成立问题往往都可以转化为函数的最值问题 而导数 以其本身所具备的一般性和有效性 在求解函数最值中 起到无可替代的作用 问题展示 总结提升 总结提升 解决恒成立问题的基本方法 1 分离参数法 其优点在于 有时可以避开繁琐的讨论 2 直接研究函数的形态 其缺点在于 有些问讨论比较复杂 当然 在解决问题时 要根据所给问题的特点 选择恰当的方法来解题 并在解题过程中 能够依据解题的进程合理地调整解题策略 总结提升 延伸学习 优化问题 优化问题就是最值问题 导数是求函数最值的有力工具 例1 海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图3 4 1所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128dm2 上 下两边各空2dm 左 右两边各空1dm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空白面积最小 图3 4 1 面积 容积的最值问题 因此 x 16是函数S x 的极小值 也是最小值点 所以 当版心高为16dm 宽为8dm时 能使四周空白面积最小 解法二 由解法 一 得 1 解决面积 容积的最值问题 要正确引入变量 将面积或容积表示为变量的函数 结合实际问题的写出定义域 利用导数求解函数的最值 题后感悟 2 步骤 问题2 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗 你是否注意过 市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道它的道理吗 是不是饮料瓶越大 饮料公司的利润越大 利润最大问题 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料 瓶子的制造成本是0 8pr2分 其中r是瓶子的半径 单位是厘米 已知每出售1ml的饮料 制造商可获利0 2分 且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm 瓶子半径多大时 能使每瓶饮料的利润最大 瓶子半径多大时 每瓶饮料的利润最小 减函数 增函数 1 07p 每瓶饮料的利润 解 由于瓶子的半径为r 所以每瓶饮料的利润是 当半径r 时 f r 0它表示f r 单调递增 即半径越大 利润越高 当半径r 时 f r 0它表示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 1 半径为 cm时 利润最小 这时 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本 此时利润是负值 半径为 cm时 利润最大