高中数学 第二章 推理与证明章末高效整合1课件 新人教A版选修2-2.ppt

知能整合提升 说明 1 函数y f x 在点x0处的导数f x0 是一个常数 而函数y f x 在一个区间上的导数指的是这个函数在这个区间上每点处的导数构成的一个函数 它实际上是 导函数 的简称 2 函数y f x 和它的导数y f x 具有相同的定义域 并且y f x 在定义域上点x0处的函数值就是函数y f x 在点x0处的导数值 这样求函数在点x0处的导数值就可以先求出这个函数的导数 再求这个导数在点x0处的函数值 3 并不是所有的函数在其定义域上每一点处都有导数 如函数y x 在点0处就没有导数 但这个函数在定义域的其他点处都有导数 2 导数的几何意义函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 即k f x0 利用导数的几何意义求切线方程的关键是搞清所给的点是不是切点 常见的类型有两种 一是求 在某点处的切线方程 则此点一定为切点 先求导 再求斜率代入直线方程即可得 另一类是求 过某点的切线方程 这种类型中的点不一定是切点 可先设切点为Q x1 y1 则切线方程为y y1 f x1 x x1 再由切线过点P x0 y0 得 y0 y1 f x1 x0 x1 又y1 f x1 由 求出x1 y1的值 即求出了过点P x0 y0 的切线方程 3 复合函数的求导法则设复合函数 g x 在点x处可导 y f 在点 处可导 则复合函数f g x 在点x处可导 且f x f g x 即yx y x 利用复合函数求导法则求导后 要把中间变量换成自变量 说明 求导数时 先化简再求导是导数计算的基本原则 一般情况下 有四类函数求导数在解题时较容易出错 需要特别注意 即分式函数 对数函数 三角函数和复合函数 三 导数的应用1 导数与函数的单调性 1 在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果f x 0能推出f x 为增函数 但反之不一定 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 2 利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一 其步骤为 求导数f x 解不等式f x 0或f x 0 确定并指出函数的单调增区间 减区间 特别要注意写单调区间时 区间之间用 和 或 隔开 绝对不能用 连接 2 导数与函数的极值和最值函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性 而不是函数在整个定义域内的性质 函数的最值是个整体性概念 最大值必是整个区间上所有函数值中的最大值 最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小值 1 应用导数求函数极值的一般步骤 确定函数f x 的定义域 解方程f x 0的根 检验f x 0的根的两侧f x 的符号 若左正右负 则f x 在此根处取得极大值 若左负右正 则f x 在此根处取得极小值 否则 此根不是f x 的极值点 说明 可导函数的极值点必须是导数为0的点 但导数为0的点不一定是极值点 即f x0 0是可导函数f x 在x x0处取得极值的必要不充分条件 例如函数y x3在x 0处有y x 0 0 但x 0不是极值点 此外 函数不可导的点也可能是函数的极值点 2 求函数f x 在闭区间 a b 上的最大值 最小值的方法与步骤 求f x 在 a b 内的极值 将 求得的极值与f a f b 相比较 其中最大的一个值为最大值 最小的一个值为最小值 特别地 当f x 在 a b 上单调时 其最小值 最大值在区间端点取得 当f x 在 a b 内只有一个极值点时 若在这一点处f x 有极大 或极小 值 则可以断定f x 在该点处取得最大 或最小 值 这里 a b 也可以是 四 定积分1 求定积分求导运算与求原函数运算互为逆运算 求定积分的关键是要找到被积函数的原函数 为避免出错在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证 2 利用定积分求平面图形的面积将求平面图形的面积转化为定积分运算时 必须确定的是被积函数 积分变量 积分上 下限 一般步骤为 画图 确定要素 找到所属基本型 确定被积函数的积分上 下限 转化求值 要注意当所围成的图形在x轴下方时积分值为负 因此 需对其定积分取绝对值 热点考点例析 点拨 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 也就是说 曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率为f x0 相应的切线方程为y y0 f x0 x x0 导数的几何意义 思维点击 切线与坐标轴围成的三角形为直角三角形 要求其面积关键是求两条直角边的长 为此只要求两条坐标轴与切线交点的坐标 从而应先求出切线的方程 点拨 在区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在区间 a b 内单调递增 在区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在区间 a b 内单调递减 应用导数求函数的单调区间 思维点击 先求定义域 然后求导 1 中利用f x 0及f x 0求单调区间 2 中利用x 1 2 时f x 0或f x 0恒成立 2 设函数f x x3 3ax b a 0 1 若曲线y f x 在点 2 f 2 处与直线y 8相切 求a b的值 2 求函数f x 的单调区间 点拨 导数的应用 导数是研究函数非常有用的工具 可以和许多考点相联系 1 求函数的最大值与最小值 求函数的极大值与极小值 已知最值与极值 求参数的值 2 解决恒成立问题 3 数形结合 研究函数的图象交点情况 方程根的个数问题 导数的综合应用 函数f x x2ex 1 ax3 bx2 已知x 2和x 1为f x 的极值点 1 求a和b的值 当x 1 时 h x 0 所以h x 在 1 上单调递增 故当x 1 时 h x h 1 0 所以对任意的x 恒有h x 0 又x2 0 因此f x g x 0 故对任意的x 恒有f x g x 3 设函数f x ax 2 g x a2x2 lnx 2 其中a R x 0 是否存在负数a 使得f x g x 对一切正数x都成立 若存在 求出a的取值范围 若不存在 请说明理由 解析 令h x f x g x ax lnx a2x2 x 0 假设存在负数a 使得f x g x 对一切正数x都成立 即当x 0时 h x 的最大值小于等于0 下面求h x 的最大值 点拨 定积分是解决求平面图形的面积 特别是不规则图形的面积 变速直线运动的路程及变力做功等问题的方便而且强有力的工具 定积分及其应用 求由曲线y x2 y x及y 2x所围成的平面图形的面积 答案 C 2 已知f x 是f x 的导函数 f x 的图象如图所示 则f x 的图象只可能是 解析 由f x 的图象知函数f x 的切线斜率先增大后减小 故选D 答案 D 2 与直线2x y 4 0平行的抛物线y x2的切线方程为 A 2x y 3 0B 2x y 3 0C 2x y 1 0D 2x y 1 0解析 由导数定义求得y 2x 抛物线y x2的切线与直线2x y 4 0平行 y 2x 2 x 1 即切点为 1 1 所求切线方程为y 1 2 x 1 即2x y 1 0 故选D 答案 D 4 若函数f x 满足xf x 0 则下列关于f x 的判断中正确的一项是 A f x 可能是奇函数B f x 可能是偶函数C 若 1 x1 x2 1 则f x1 f x2 D 若 1 x1 x2 1 则f x1 f x2 解析 由xf x 0知 当x 0时 f x 0 当x 0时 f x 0 所以f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若f x 为奇函数 则在 0 与 0 单调性一致 故排除A 又x1 x2不同在一个单调区间内且f x 的解析式没有给出 故无法比较f x1 与f x2 的大小 排除C D 故选B 答案 B 5 由曲线y x2 y x3围成的封闭图形的面积为 6 函数f x x3 ax在区间 1 1 上为减函数 在 1 上为增函数 则a 解析 f x x3 ax f x 3x2 a f x 在 1 1 上为减函数 在 1 上为增函数 f 1 3 a 0 a 3 答案 3 7 设函数f x x3 ax2 9x 1 a 0 若曲线y f x 的斜率最小的切线与直线12x y 6平行 求a的值 8 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 解析 1 由f x ex 2x 2a x R 知f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 证明 设g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知当a ln2 1时 g x 的最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x R 都有g x 0 所以g x 在R上单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1