浙江大学概率论与数理统计第五章习题.ppt

第五章习题 1 据以往经验 某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布 现随机地取16只 设它们的寿命是相互独立的 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率 由p102例5所得的指数分布的数学期望和方差的结果 有 解设每只元件的寿命为Xk k 1 2 16 则Xk相互独立 且均服从均值为100小时的指数分布 E Xk 100 D Xk 1002 10000 k 1 2 16 按定理一 独立同分布的中心极限定理 X N 1600 4002 近似地 故P X 1920 1 P X 1920 1 0 7881 0 2119 又设16只元件的寿命的总和为X 5 有一批建筑房屋用的木柱 其中80 的长度不小于3m 现从这批木柱中随机地取出100根 问其中至少有30根短于3m的概率是多少 解若将从这批木柱中每取出一根木柱看作是一次试验 取出100根木柱就是作了100次试验 各次试验是相互独立的 一根木柱短于3m的概率是0 2 则X b 100 0 2 其分布律为 所求概率为 用此式较难计算 利用正态分布 由于np 20 np 1 p 16 42 按定理三 棣莫弗 拉普拉斯定理 X N 20 42 近似地 1 0 9938 0 0062 设取出的100根木柱中短于3m的木柱数为随机变量X 7 一食品店有三种蛋糕出售 由于售出哪一种蛋糕是随机的 因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量 它取1 元 1 2 元 1 5 元 各个值的概率分别为0 3 0 2 0 5 某天售出300只蛋糕 1 求这天的收入至少400 元 的概率 2 求这天售出价格为1 2 元 的蛋糕多于60只的概率 解 1 设Xk k 1 2 300 表示第k个蛋糕售出的价格 则Xk的分布律为 E Xk 1 0 3 1 2 0 2 1 5 0 5 1 29 E Xk2 12 0 3 1 22 0 2 1 52 0 5 1 713 D Xk E Xk2 E Xk 2 1 713 1 292 0 0489 又设X表示这天的总收入 则 按定理一 X N 387 14 67 近似地 所求概率为P X 400 1 P X 400 1 0 9997 0 0003 2 设Y表示这天售出价格为1 2 元 的蛋糕个数 则Y b 300 0 2 np 300 0 2 60 np 1 p 60 0 8 48 按定理三 棣莫弗 拉普拉斯定理 Y N 60 48 近似地 所求概率为P Y 60 1 P Y 60 1 0 5 0 5