阶电路和二阶电路的时域分析.ppt

第七章一阶电路和二阶电路的时域分析 概要 主要讲解在暂态过程中用微分方程描述电路 7 1动态电路的方程及其初始条件 一 一阶电路当线性时不变电路含一个电容或一个电感时 电路方程是一阶线性微分方程 对应的电路称为一阶电阻电容电路 RC电路 或一阶电阻电感电路 RL电路 这种电路是一阶动态电路 二 换路定律 过渡过程 电路由一个工作状态转变为另一个工作状态 其间所经过的过程称为过渡过程 暂态 过渡过程 稳态 稳态 上述电路结构或参数变化引起的电路变化称为换路 通常把换路前最终时刻记为t 0 换路后的最初时刻记为t 0 换路经历的时间为0 到0 1 过渡过程 从一种稳定状态转变到另一种稳定状态的中间过程 补充 过渡过程 过渡过程演示电路图 2 现象 合上SL1立即发亮亮度不变L2由暗 亮最后定L3由亮 暗直到熄灭外因 电路状态的改变内因 有储能元件 2 换路定律定义 换路前后电容电流和电感电压为有限值时 换路前后电容电压和电感电流不能跃变 即 uc 0 uc 0 iL 0 iL 0 能量不能跃变 电路中其它量换路前后皆可跃变 三 初始值计算 求解初始条件 初始值 响应在换路后最初瞬间 即0 的值 独立初始值 uc 0 iL 0 相关初始值 其它电量 由独立初始值求出 求解过程 由已知求得uc 0 iL 0 换路定律 画出t 0 时的等效电路 uc 0 电压源替代 iL 0 电流源替代 求出其它电量的初始值 图 a 所示电路中 已知Us 12V R1 4k R2 8k C 1 F 开关S原来处于断开状态 电容上电压uC 0 0 求开关S闭合后 t 0 时 各电流及电容电压的数值 例 解 选定有关参考方向如图所示 1 由已知条件可知 uC 0 0 2 由换路定则可知 uC 0 uC 0 0 3 求其它各电流 电压的初始值 画出t 0 时刻的等效电路 如图 b 所示 由于uC 0 0 所以在等效电路中电容相当于短路 故有 由KCL有iC 0 i1 0 i2 0 3 0 3mA 解 t 0 iL t 0 uC 0 uC 0 4ViL 0 iL 0 4A i 0 iC 0 iL 0 6AuL 0 US R3iL 0 6V t 0 解 7 2一阶电路的零输入响应 一 零输入响应当uC 0 iL 0 不为零且电路中无独立源外施激励时 电路中的响应称为零输入响应 二 RC电路的零输入响应 充好电的电容向电阻放电 R0 U0 uC C R S t 0 uR t 0 i C R uR uC i 1 求解t 0 时的电路 当t 0时uC 0 U0由KVL得uC uR 0又uR Ri C R uR uC i 解微分方程可得 t 0 一阶微分方程求解补充 由换路定则知 uC 0 uC 0 U0 即将A U0代入 得 电流 t 0 2 uC uR i的时间曲线 uR i 3 时间常数 定义 RC 仅取决于电路的结构和元件的参数 单位 秒s 对响应的影响 越大 放电过程越长 通常认为经过3 5 后过渡过程结束 的图解 t 时 uC 0 368U0 次切距法 任一点切线 其中R为等效电阻 电容电压及电流随时间变化的规律 4 能量转换 电容的电能 电阻的热能 例 电源开关S原在位置1 且电路已达稳态 t 0时开关由1合向2 求t 0时电流i t 解 换路后电路如右图 三 RL电路的零输入响应 R0 U0 uL L R S t 0 uR t 0 i L R uR uL i 1 求解t 0 时的电路 当t 0时i 0 I0 U0 R由KVL得uL uR 0又uR Ri L R uR uL i 解微分方程可得 t 0 2 时间常数 即 单位 秒S O RIO i uR RIO IO t uL 3 参数曲线 4 能量转换 L磁场能 R热能 零输入响应是初始值的线性函数 满足 U0 KU0 U01 U02 注 齐次性 可加性 uC R1i1 R2i2 i2 i1 i1 2i1 uC R1i1 2R2i1 解 RC 5s 求等效电阻R 7 3一阶电路的零状态响应 一 零状态响应当uC 0 iL 0 为零 电路中由独立源外施激励引起的响应称为零状态响应 二 RC电路在直流激励下的零状态响应 求解t 0时的电路 充电 US uC R S t 0 uR C KVL uC uR US i 又 可解得 t 0 t 0 其中 RC 对 的说明 特解 称为稳态分量或强制分量 通解 称为瞬态分量或自由分量 2 参数曲线 O US uC US US t uC uC i R 3 能量转换 WR WC CUS2 充电效率50 三 RL电路在直流激励下的零状态响应 IS S t 0 L R uL iL iR 求解t 0时的电路 KCL IS IR IL 可解得 其中 2 参数曲线 O IS iL IS t iL iL 3 能量转换 WL WR LIS2 零状态响应是激励的线性函数 可加性 f1 t y 1 f2 t y 2 则f1 t f2 t y y 1 y 2 齐次性 kf1 t y 3 ky 1 注 四 正弦电源激励下的零状态响应 以RL电路为例 i 0 0 求 i t 接入相位角 强制分量 稳态分量 自由分量 暂态分量 用相量法计算稳态解 解答为 讨论几种情况 1 合闸时 u 电路直接进入稳态 不产生过渡过程 2 u 2即 u 2 则A 0 无暂态分量 u 2时波形为 最大电流出现在t T 2时刻 可见 RL串联电路与正弦电压接通后 在初始值一定得条件下 电路的过渡过程与开关动作的时刻有关 解 0 t 6s 图b 1 R2C 6s t 6s 图c 2 RC 2s 零状态 零输入 uC t 的曲线 7 4一阶电路的全响应 一 全响应定义一个非零初始状态的一阶电路受到激励时 电路的响应称为全响应 即 uC 0 iL 0 不为零 且电路中有独立源外施激励所引起的响应 二 全响应电路求解 US uC R S t 0 uR C i 以RC电路为例 uC 0 U0 求解t 0时的电路 充电后的电容接入直流电源 KVL uC uR US 可解得 t 0 二 全响应电路分解 1 t 0 其中 稳态 强制 分量 瞬态 自由 分量 全响应 稳态分量 瞬态分量 O U0 US uC US t uC uC UO 2 t 0 全响应 零输入响应 零状态响应 t US uC UO uC1 uC2 O 有三种情况 a U0Us 一阶电路的全响应及其分解 a U0Us 全响应是由初始值 特解和时间常数三个要素决定的 1 直流电源激励 三 三要素法解一阶电路 一阶电路响应通式f t f f 0 f t 0 2 正弦电源激励 式中是特解 稳态响应 是稳态响应的初始值 的含义与前述相同 注 在分析一阶电路时 可把储能元件以外部分 应用戴维宁定理或诺顿定理进行等效变换 然后求解储能元件上的电压和电流 其它之路电压和电流 则可按照变换前的原电路进行 表9 2经典法与三要素法求解一阶电路比较表 一 表9 2经典法与三要素法求解一阶电路比较表 二 1 画出换路前 t 0 的等效电路 求出电容电压uC 0 或电感电流iL 0 2 根据换路定则uC 0 uC 0 iL 0 iL 0 画出换路瞬间 t 0 时的等效电路 求出响应电流或电压的初始值i 0 或u 0 即f 0 3 画出t 时的稳态等效电路 稳态时电容相当于开路 电感相当于短路 求出稳态下响应电流或电压的稳态值i 或u 即f 4 求出电路的时间常数 RC或GL 其中R值是换路后断开储能元件C或L 由储能元件两端看进去的等效内阻 5 根据所求得的三要素 即可得响应电流或电压的动态过程表达式 归纳出用三要素法解题的一般步骤 a b 例 a 图所示电路中Us 10V Is 2A R 2 L 4H 试求S闭合后电路中的电流iL和i 解 戴维宁等效电路如b图 解 弥尔曼定理 uC US R1IS 9V R1C 3s uC 0 uC 0 6V t 0 7 5二阶电路的零输入响应 一 二阶电路用二阶微分方程描述的动态电路为二阶电路 二阶电路有两个初始条件 如RLC串联电路和GLC并联电路 二 RLC串联电路 1 求解电路KVL uR uL uC 0又 L R uR uL i uC S t 0 C 已知uC 0 U0 电容已充电 特征方程 LCp2 RCp 1 0 特征根 仅与电路结构和参数有关 又 可得 由于R L C参数不同 特征根可能为 两个不等的负实根 一对实部为负的共轭复根 一对相等的负实数 求出uC 2 分析电路 称为过阻尼电路 uC向R L非震荡放电 特征根为两个不等的负实根 称为欠阻尼电路 uC向R L震荡放电 特征根为一对共轭复根 称为临界情况 uC向R L非震荡放电 特征根为一对相等的负实数 重根 此时的电阻R称为临界电阻 补充 R 0 uC等幅振荡 求所示电路中电流i t 的零状态响应 i1 i 0 5u1 i 0 5 2 2 i 2i 2 由KVL 整理得 二阶非齐次常微分方程 解 第一步列写微分方程 7 6二阶电路的零状态响应和全响应 一 零状态响应 解答形式为 第二步求通解i P1 2 P2 6 稳态模型 P2 8P 12 0 第三步求特解i i 0 5u1 u1 2 2 0 5u1 u1 2Vi 1A 第四步求初值 第五步定常数 二 全响应 已知 iL 0 2AuC 0 0R 50 L 0 5H C 100 F 求 iL t iR t 解 1 列微分方程 2 求通解 自由分量 特征根P 100 j100 3 求特解 强制分量 稳态解 4 求全解 4 由初值定积分常数 iL 0 2A uC 0 0 已知 5 求iR t 解答形式为 由初始值定积分常数 1 一阶电路是单调的响应 可用时间常数 表示过渡过程的时间 小结 2 二阶电路用三个参数 和 0来表示动态响应 特征根响应性质自由分量形式 5 线性电路古典法解二阶过渡过程包括以下几步 1 换路后 0 电路列写微分方程 2 求特征根 由根的性质写出自由分量 积分常数待定 3 求强制分量 稳态分量 4 全解 自由分量 强制分量 5 将初值f 0 和f 0 代入全解 定积分常数求响应 6 讨论物理过程 画出波形 3 电路是否振荡取决于特征根 特征根仅仅取决于电路的结构和参数 而与初始条件和激励的大小没有关系 4 特征方程次数的确定 等于换路后的电路经过尽可能简化而具有的独立初始值的数目 7 7一阶电路和二阶电路的阶跃响应 一 阶跃函数 单位阶跃函数 奇异函数 0t 0 1t 0 也称为开关函数 一般阶跃函数 f t K t f t 0t 0 Kt 0 f t 0t t0 Kt t0 f t 延迟阶跃函数 f t K t t0 0 f t t0 K t 单位阶跃函数定义波形起始 若f t 波形从t0时刻起始 0 f t t0 f t f t f t t t0 0t t0 f t t t0 表示函数定义域 t 5 波形分解 f t K t K t t0 0 f t t0 t 0 f1 t t0 t K K 0 f2 t t0 K t 0 f t t1 t K t2 0 f1 t t1 t K 0 f2 t t2 K t f t K t t1 K t t2 二 一阶电路的阶跃响应 单位阶跃响应 电路在单位阶跃函数 t 作用下的零状态响应 用s t 表示 阶跃响应 uS uC R C i 若us US t 则 t 限定了定义域 0 uc t t US 若us US t t0 即在t t0时施加激励 uS uC R C 则 i 0 uc t t US t0 显然此时 t t0 的作用与上面所讲的起始波形不同 例 图示电路 开关位置1时电路已达到稳定状态 T 0时开关合向2 在在t 时又由2合到1 求t 0时的电容电压uc t 解 1 将电路的工作过程分段求解在0 t 区间为RC电路的零状态响应 2 用阶跃函数表激励 求阶跃响应激励us t 可用a图矩形脉冲表示 us t us 0 t US us t us t 0 US t a b c t uc t us 0 632us 0 例1 求阶跃响应iC 解 等效 分段表示为 分段表示为 另解 例2 已知 u t 如图示 iL 0 0 求 iL t 并画波形 解 0 t 1iL 0 0 t 0iL t 0 iL 1A iL t 1 e t 6A 5 1 5 6s 方法一 用分段函数表示 1 t 2iL 1 iL 1 1 e 1 6 0 154A iL 0 iL t 2 0 154 2 e t 1 6 2 1 846e t 1 6A t 2iL 2 iL 2 2 1 846e 2 1 6 0 437A iL 2A iL t 0 437e t 2 6A 6s 6s u t t t 1 2 t 2 iL t 1 e t 6 t 1 e t 1 6 t 1 2 1 e t 2 6 t 2 A 解法二 用全时间域函数表示 叠加 一 冲激函数 1 单位脉冲函数 6 6一阶电路和二阶电路的冲激响应 2 定义 k t 例 0 uc U t iC CU t iC CUS t t t0时合S t 0时合S 延迟单位冲激函数 t t0 3 函数的筛分性质 同理有 例 解 f t 在t 0时连续 4 t 和 t 的关系 t 证明 1 s t 定义在 整个时间轴 注意 2 阶跃响应s t 可由冲激响应 t 积分得到 单位冲激响应 电路在单位冲激激励作用下产生的零状态响应 二 冲激响应 1 由单位阶跃响应求单位冲激响应 单位阶跃响应 单位冲激响应 h t s t 单位冲激函数 t 单位阶跃函数 t 1 先求单位阶跃响应 例1 uC 0 0 uC R RC 求 is t 为单位冲激时电路响应uC t 和iC t iC 0 1 iC 0 已知 uC 0 0 令iS t t A 解 2 再求单位冲激响应 冲激响应 阶跃响应 t在0 至0 间 t 0 为零输入响应 电感储能 三 二阶电路的冲激响应 uC 0 0 iL 0 0 uC 0 0 iL 0 0 t在0 至0 间 uC是跳变和冲激上式都不满足 设uC不跳变 duC dt发生跳变 有限值 相等 0 电感电流跳变 结论 特征方程 注 线性电路的几个性质 叠加性 若激励e1 t 响应r1 t 激励e2 t 响应r2 t 则激励ae1 t be2 t 响应ar1 t br2 t 延迟性 若激励e1 t 响应r1 t 则激励e1 t t0 响应r1 t t0 微分性 若激励e1 t 响应r1 t 激励e2 t 响应r2 t 如果满足 则有