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三垂线定理及逆定理 二 复习 什么叫平面的斜线 垂线 射影 PO是平面 的斜线 O为斜足 PA是平面 的垂线 A为垂足 AO是PO在平面 内的射影 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 1 三垂线定理描述的是PO 斜线 AO 射影 a 直线 之间的垂直关系 2 a与PO可以相交 也可以异面 3 三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理 对三垂线定理的说明 三垂线定理 例题分析 例1 判定下列命题是否正确 1 若a是平面 的斜线 直线b垂直于a在平面 内的射影 则a b 2 定理的关键 找一个平面 基准面 强调 1 四线是相对同一个平面而言 2 若a是平面 的斜线 b是平面 内的直线 且b垂直于a在 内的射影 则a b 三垂线定理 例2 如图 在 ABC中 ACB 90 AB 8 BAC 60 PC 平面ABC PC 4 M为AB边上一个动点 求PM的最小值 由三垂线定理知PH AB即点M在H时PM最小 解 作CH AB于H 连PH 在 ABC中 易求得CH 2则在RT PCH中 PH 2即PM的最小值为2 PC 平面ABC 例3 如图 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 连结BD1 AC CB1 B1A 求证 BD1 平面AB1C BD1 AC BD1 平面AB1C 证明 连结BD 连结A1B 三垂线定理 ABCD是正方形 AC BD 又DD1 平面ABCD BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影 而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影 BD1 AB1 关于三垂线定理的应用 关键是找出平面 基准面 的垂线 至于射影则是由垂足 斜足来确定的 因而是第二位的 利用三垂线定理证明a b的一个程序 一垂 二射 三证 第一 找平面 基准面 及平面垂线 第二 找射影线 这时a b便成平面上的一条直线与一条斜线 三垂线定理 第三 证明射影线与直线a垂直 从而得出a与b垂直 反过来 如果a PO 是否有a AO 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么这条直线和斜线的射影垂直 例4四面体P ABC中 PA BC PB AC 求证PC AB 解 过P作PH 面ABC 连AH延长交BC于E 连BH延长交AC于F PH 平面PBC PA BC 而PA在面ABC内的射影为AH 由三垂线定理的逆定理知BC AH 三垂线定理 则H为 ABC的垂心 同理可证BF AC 连CH延长交AB于G 于是CG AB 而CH是PC在面ABC的射影故PC AB 请你解决一个实际问题 道旁有一条河 彼岸有电塔AB 高15m 只有水平测角器和皮尺作测量工具 能否求出电塔顶与道路的距离 假设塔基B 道路处于同一水平面 三垂线定理 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 小结 3 操作程序分三个步骤 一垂二射三证 1 定理中四条线均针对同一平面而言 2 应用定理关键是找 基准面 三垂线定理 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么这条直线也和斜线的射影垂直