世纪金榜高中全程复习方略详细答案.ppt

第六节椭圆 三年26考高考指数 1 掌握椭圆的定义 几何图形 标准方程及简单几何性质 2 了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用 3 理解数形结合的思想 1 椭圆的定义 标准方程 几何性质是高考的重点 而直线与椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点 2 椭圆的定义 标准方程 几何性质常常独立考查 直线与椭圆的位置关系 往往与向量 函数 不等式等知识交汇命题 3 选择题 填空题 解答题三种题型都有可能出现 1 椭圆的定义 1 满足条件 在平面内 与两个定点F1 F2的距离之 等于常数 常数大于 2 焦点 两定点 3 焦距 两 间的距离 和 F1F2 焦点 即时应用 判断下列点的轨迹是否为椭圆 请在括号内填 是 或 否 1 平面内到点A 0 2 B 0 2 距离之和等于2的点的轨迹 2 平面内到点A 0 2 B 0 2 距离之和等于4的点的轨迹 3 平面内到点A 0 2 B 0 2 距离之和等于6的点的轨迹 解析 由椭圆的定义可知 1 距离之和小于 AB 所以点的轨迹不存在 2 距离之和等于 AB 点的轨迹是以A B为端点的一条线段 3 符合椭圆定义 点的轨迹是以A B为焦点 长轴长为6的椭圆 答案 1 否 2 否 3 是 2 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 对称轴 坐标轴对称中心 原点 长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b 图形 性质 范围 对称性 顶点 轴 图形 性质 焦距 离心率 a b c的关系 即时应用 1 思考 椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系 提示 因为离心率e 所以 离心率越接近于1 b就越接近于0 即短轴的长接近于0 椭圆就越扁 离心率越接近于0 a b就越接近 即椭圆的长 短轴长越接近相等 椭圆就越接近于圆 但永远不会为圆 2 已知椭圆 1的焦点在y轴上 若椭圆的离心率为 则m的值为 解析 1的焦点在y轴上 所以a2 m b2 2 离心率为e 又离心率为 所以 解得m 答案 3 已知椭圆的短轴长为6 离心率为 则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为 解析 因为椭圆的短轴长为6 所以b 3 又因为离心率为 所以 又因为a2 b2 c2 解 组成的方程组得 a 5 c 4 所以 焦点到长轴端点的距离为 a c 9或a c 1 答案 9或1 椭圆的定义 标准方程 方法点睛 1 椭圆定义的应用利用椭圆的定义解题时 一方面要注意常数2a F1F2 这一条件 另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的 焦点三角形 中的数量关系 2 椭圆的标准方程 1 当已知椭圆的焦点在x轴上时 其标准方程为 1 a b 0 当已知椭圆的焦点在y轴上时 其标准方程为 1 a b 0 2 当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时 其标准方程可设为 1 m 0 n 0 m n 这样可避免讨论和复杂的计算 也可设为Ax2 By2 1 A 0 B 0 A B 这种形式 在解题时更简便 例1 1 已知F1 F2为椭圆 1的两个焦点 过F1的直线交椭圆于A B两点 若 F2A F2B 12 则 AB 2 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上 且P到两焦点的距离分别为5 3 过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 求椭圆的方程 解题指南 1 注意 AF1 AF2 10 BF1 BF2 10 且 AF1 F1B AB 再结合题设即可得出结论 2 可先设椭圆的方程为 1或 1 a b 0 再根据题设条件求出相应的系数值即可 规范解答 1 由椭圆的定义及椭圆的标准方程得 AF1 AF2 10 BF1 BF2 10 又已知 F2A F2B 12 所以 AB AF1 BF1 8 答案 8 2 设椭圆方程为 1或 1 a b 0 因为P到两焦点的距离分别为5 3 所以2a 5 3 8 即a 4 又因为过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 所以 2c 2 52 32 16 所以c2 4 因此b2 a2 c2 12 所以椭圆方程为 1或 1 互动探究 本例 2 将条件 过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 改为 点P和两焦点构成的三角形为直角三角形 结果如何 解析 当其中一个焦点为直角顶点时 与例题条件相同 所以 椭圆方程为 1或 1 当直角顶点为点P时 则有 2c 2 52 32 34 所以c2 又因为a 4 所以b2 a2 c2 所以椭圆方程为 1或 1 综上可知 所求椭圆方程为 1或 1或 1或 1 反思 感悟 1 在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时 经常联想到椭圆的定义 即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解 2 在求椭圆方程时 若已知椭圆上的点到两焦点的距离 可先求出椭圆长轴长 再想法求短轴长 从而得出方程 若已知点的坐标 可先设出椭圆的标准方程 再利用待定系数法求解 当椭圆的焦点不确定时 应考虑焦点在x轴 在y轴两种情形 无论哪种情形 始终有a b 0 变式备选 已知F1 F2是椭圆C 1 a b 0 的两个焦点 P为椭圆C上的一点 且 若 PF1F2的面积为9 则b 解析 设 PF1 r1 PF2 r2 则 2r1r2 r1 r2 2 r21 r22 4a2 4c2 4b2 b2 9 b 3 答案 3 椭圆的几何性质及应用 方法点睛 1 椭圆几何性质中的不等关系对于椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等 在求与椭圆有关的一些量的范围 或者最大值 最小值时 经常用到这些不等关系 2 利用椭圆几何性质应注意的问题求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及到顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 3 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式 或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 提醒 椭圆离心率的范围 0 e 1 例2 2011 天津高考 在平面直角坐标系xOy中 点P a b a b 0 为动点 F1 F2分别为椭圆 1的左 右焦点 已知 F1PF2为等腰三角形 1 求椭圆的离心率e 2 设直线PF2与椭圆相交于A B两点 M是直线PF2上的点 满足 2 求点M的轨迹方程 解题指南 1 可由 F1PF2为等腰三角形 得出a b c之间的关系式 消去b 即得离心率的值 2 可用直接法求出轨迹方程 规范解答 1 设F1 c 0 F2 c 0 c 0 由题意 可得 PF2 F1F2 即 2c 整理得2 2 1 0 得 1 舍 或 所以e 2 由 1 知 a 2c b 可得椭圆方程为3x2 4y2 12c2 直线PF2方程为y x c A B两点的坐标满足方程组消去y并整理 得5x2 8cx 0 解得x1 0 x2 c 得方程组的解 不妨设M x y 令A c c B 0 则 x c y c x y c 由y x c 得c x y 于是 x x 由 2 即 x x 2 化简得18x2 15 0 将y 代入c 得c 0 所以x 0 因此 点M的轨迹方程是18x2 15 0 x 0 反思 感悟 1 依据题设条件求椭圆的离心率 其关键是依据题设条件寻找关于a c的一个等式 解方程求出离心率的值 有些题目求离心率的范围 解题思路也是如此 2 求轨迹方程的方法是最基本的方法 应用已知条件中的等式求方程 但要注意同解变形 注意变量的取值 变式训练 定义 离心率e 的椭圆为 黄金椭圆 已知E 1 a b 0 的一个焦点为F c 0 c 0 则E为 黄金椭圆 是 a b c成等比数列 的 A 既不充分也不必要条件 B 充分且必要条件 C 充分不必要条件 D 必要不充分条件 解析 选B 若E为黄金椭圆 则e b2 a2 c2 a2 ac所以a b c成等比数列 若a b c成等比数列 则b2 ac a2 c2 ac e2 e 1 0 又0 e 1 所以e 故E为黄金椭圆 变式备选 如图 在平面直角坐标系xOy中 点A为椭圆E 1 a b 0 的左顶点 B C在椭圆E上 若四边形OABC为平行四边形 且 OAB 30 则椭圆E的离心率等于 解析 依题设知 点C的坐标为 又因为点C在椭圆E上 所以有 1 解得a2 9b2 因此 a2 9 a2 c2 即 所以椭圆E的离心率等于 答案 直线与椭圆的位置关系 方法点睛 1 直线与椭圆位置关系判断的步骤第一步 联立直线方程与椭圆方程 第二步 消元得出关于x 或y 的一元二次方程 第三步 当 0时 直线与椭圆相交 当 0时 直线与椭圆相切 当 0时 直线与椭圆相离 2 直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A x1 y1 B x2 y2 则 AB k为直线斜率 3 直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 例3 2011 北京高考 已知椭圆G y2 1 过点 m 0 作圆x2 y2 1的切线l交椭圆G于A B两点 1 求椭圆G的焦点坐标和离心率 2 将 AB 表示为m的函数 并求 AB 的最大值 解题指南 1 根据标准方程可求出焦点坐标和离心率 2 先讨论切线l斜率不存在时的两种情况 当斜率存在时 联立切线方程与椭圆方程 利用根与系数的关系及弦长公式可表示出 AB 再求 AB 的最大值 规范解答 1 由已知得a 2 b 1 所以c 所以椭圆G的焦点坐标为 0 0 离心率为e 2 由题意知 m 1 当m 1时 切线l的方程为x 1 点A B的坐标分别为 1 1 此时 AB 当m 1时 同理可得 AB 当 m 1时 设切线l的方程为y k x m 由得 1 4k2 x2 8k2mx 4k2m2 4 0 设A B两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 又由l与圆x2 y2 1相切 得 1 即m2k2 k2 1 所以 AB 由于当m 1时 AB m 1时 AB 2 当且仅当m 时 AB 2 所以 AB 的最大值为2 反思 感悟 1 通过本题的解答可知 已知椭圆的标准方程 可直接求出椭圆的焦点坐标 离心率 也可求出其顶点坐标 长轴长 短轴长等 求直线被椭圆截得的弦长的最值 关键是求出弦长的解析式 然后利用函数的性质或基本不等式求最值 2 在求切线方程时 要注意讨论直线的斜率存在与不存在两种情况 变式训练 2012 厦门模拟 如图 已知椭圆的离心率为直线L x my 1过椭圆C的右焦点F 且交椭圆C于A B两点 点A F B在直线G x a2上的射影依次为D K E 1 求椭圆C的方程 2 试探索当m变化时 直线AE是否经过一定点N 若是 求出N的坐标并给予证明 否则说明理由 3 设梯形ABED的面积为S1 AOB的面积为S2 求的最小值 解析 1 L x my 1与x轴的交点为 1 0 依题意可知c 1 又所以a 2 椭圆C的方程为 2 设A x1 y1 B x2 y2 由得 3m2 4 y2 6my 9 0 由对称性知 如果直线AE经过定点 则定点必在x轴上 F 1 0 K 4 0 当m 0时 直线L Ox轴 则ABED为矩形 AE与x轴的交点是AE的中点猜想 当m变化时 AE经过定点下证 设三点共线 显然成立 所以AE经过定点 所以当m 0时 的最小值为6 满分指导 直线与椭圆综合问题的规范解答 典例 14分 2011 江苏高考 如图 在平面直角坐标系xOy中 M N分别是椭圆 1的顶点 过坐标原点的直线交椭圆于P A两点 其中P在第一象限 过P作x轴的垂线 垂足为C 连接AC 并延长交椭圆于点B 设直线PA的斜率为k 1 当直线PA平分线段MN时 求k的值 2 当k 2时 求点P到直线AB的距离d 3 对任意k 0 求证 PA PB 解题指南 1 利用MN的中点在PA上即可求解 2 先求点P的坐标 再求出AB的方程 就能求出距离d 3 证明斜率之积为 1即可 规范解答 1 由题意知 a 2 b 故M 2 0 N 0 所以线段MN的中点的坐标为 1 由于直线PA平分线段MN 故直线PA过线段MN的中点 又直线PA过坐标原点 所以k 4分 2 直线PA的方程为y 2x 代入椭圆方程得 1 解得x 因此P A 于是C 0 直线AC的斜率为 1 所以直线AB的方程为x y 0 6分因此d 9分 3 方法一 将直线PA的方程y kx代入 1 解得x 记 10分则P k A k 于是C 0 故直线AB的斜率为 直线AB的方程为y x 代入椭圆方程得 2 k2 x2 2 k2x 2 3k2 2 0 解得x 或x 12分 因此B 于是直线PB的斜率为k1 因此k1k 1 所以PA PB 14分 方法二 设P x1 y1 B x2 y2 则x1 0 x2 0 x1 x2 A x1 y1 C x1 0 10分设直线PB AB的斜率分别为k1 k2 因为C在直线AB上 所以k2 从而k1k 1 2k1k2 1 2 12分 0 因此k1k 1 所以PA PB 14分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 新课标全国卷 椭圆 1的离心率为 A B C D 解析 选D 直接求e 故选D 2 2012 福州模拟 直线y x与椭圆的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点 则椭圆C的离心率为 解析 选A 由题意知点 c c 在椭圆上 3 2011 新课标全国卷 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的中心为原点 焦点F1 F2在x轴上 离心率为 过F1的直线l交C于A B两点 且 ABF2的周长为16 那么C的方程为 解析 由 ABF2的周长等于4a 16 得a 4 又知离心率为 即 进而c 所以a2 16 b2 a2 c2 16 8 8 C的方程为 1 答案 1 4 2011 浙江高考 设F1 F2分别为椭圆 y2 1的左 右焦点 点A B在椭圆上 若 则点A的坐标是 解析 椭圆的焦点分别为F1 0 F2 0 设A点坐标为 m n B点坐标为 p t 则m 5 p 即 p t 又 n2 1 且 1 由上面两式解得m 0 n 1 即点A的坐标是 0 1 答案 0 1 或 0 1