高等数学直线与平面.ppt

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1 三 环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节 一 斯托克斯公式 二 空间曲线积分与路径无关的条件 四 向量微分算子 机动目录上页下页返回结束 第五章 2 一 斯托克斯 Stokes 公式 定理1 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线 斯托克斯公式 个空间域内具有连续一阶偏导数 的 侧与 的正向符合右手法则 在包含 在内的一 证 情形1 与平行z轴的直线只交于 一点 设其方程为 为确定起见 不妨设 取上侧 如图 则有 简介目录上页下页返回结束 3 则 格林公式 定理1目录上页下页返回结束 4 因此 同理可证 三式相加 即得斯托克斯公式 定理1目录上页下页返回结束 5 情形2曲面 与平行z轴的直线交点多于一个 则可 通过作辅助线把 分成与z轴只交于一点的几部分 在每一部分上应用斯托克斯公式 然后相加 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立 注意 如果 是xoy面上的一块平面区域 则斯托克斯 公式就是格林公式 故格林公式是斯托克斯公式的特例 证毕 定理1目录上页下页返回结束 6 为便于记忆 斯托克斯公式还可写作 或用第一类曲面积分表示 定理1目录上页下页返回结束 7 例1 利用斯托克斯公式计算积分 其中 为平面x y z 1被三坐标面所截三角形的整个 解 记三角形域为 取上侧 则 边界 方向如图所示 利用对称性 机动目录上页下页返回结束 8 例2 为柱面 与平面y z的交线 从z 轴正向看为顺时针 计算 解 设 为平面z y上被 所围椭圆域 且取下侧 利用斯托克斯公式得 则其法线方向余弦 公式目录上页下页返回结束 9 二 空间曲线积分与路径无关的条件 定理2 设G是空间一维单连通域 具有连续一阶偏导数 则下列四个条件相互等价 1 对G内任一分段光滑闭曲线 有 2 对G内任一分段光滑曲线 与路径无关 3 在G内存在某一函数u 使 4 在G内处处有 机动目录上页下页返回结束 10 三 环流量与旋度 斯托克斯公式 设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为 则斯托克斯公式可写为 机动目录上页下页返回结束 11 令 引进一个向量 定义 沿有向闭曲线 的环流量 或 于是得斯托克斯公式的向量形式 旋度 机动目录上页下页返回结束 rotation 12 设某刚体绕定轴l转动 M为刚体上任一 点 建立坐标系如图 则 点M的线速度为 此即 旋度 一词的来源 旋度的力学意义 机动目录上页下页返回结束 13 注意 与 的方向形成右手系 斯托克斯公式 的物理意义 例4 求电场强度 的旋度 解 除原点外 这说明 在除点电荷所在原点外 整个电场无旋 机动目录上页下页返回结束 14 的外法向量 计算 解 例5 设 机动目录上页下页返回结束 15 四 向量微分算子 定义向量微分算子 它又称为 Nabla 算子 或哈密顿 Hamilton 算子 则 机动目录上页下页返回结束 16 则 高斯公式与斯托克斯公式可写成 机动目录上页下页返回结束 17 内容小结 1 斯托克斯公式 机动目录上页下页返回结束 18 在 内与路径无关 在 内处处有 在 内处处有 2 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设P Q R在 内具有一阶连续偏导数 则 机动目录上页下页返回结束 19 3 场论中的三个重要概念 设 梯度 机动目录上页下页返回结束 散度 旋度 则 20 思考与练习 则 提示 三式相加即得 机动目录上页下页返回结束 21 补充题 证明 习题课目录上页下页返回结束 22 斯托克斯 1819 1903 英国数学物理学家 他是19世纪英国 数学物理学派的重要代表人物之一 其 主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题 的有效且一般的新方法 在1845年他导 出了著名的粘性流体运动方程 后称之 为纳维 斯托克斯方程 1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念 他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式 他一生的工作先后分五卷 出版 机动目录上页下页返回结束
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