厄米算符的本征值与本征函数.ppt

涨落定义为 涨落 3 2厄米算符的本征值与本征函数 1 2 如果体系处于一种特殊的态 测量 所得结果是 唯一确定的 即涨落 则这种状态称为力学 量 的本征态 在本征态下 由式 2 可以看出 被积函数必须为零 或 一般 把常数记为 并把本征态记为 得到称为的一个本征值 为相应的本征态 上式即算符的本征方程 注意 求解时 作为力学量的本征态 还要满足物理上的一些要求 测量力学量时所有可能出现的值 都是相应的线性厄米算符的本征值 当体系处于的本征态时 则每次测量所得结果都是完全确定的 即 量子力学中的一个基本假定 推出 所以 在态下 设已归一化 定理1厄米算符的本征值必为实 厄米算符的本征函数的一个基本性质 定理2厄米算符的属于不同本征值的本征函数 彼此正交 证明如下 并设存在 对取复共轭 得到 上式右乘 积分 得到 由于 上式左边 因此得 如 则必有 简并问题 在能级简并的情况下 仅根据能量本征值并不能把各能量的简并态确定下来 设力学量的本征方程表为即属于本征值的本征态有个 则称本征值为重简并 出现简并时 简并态的选择是不唯一的 而且也不一定彼此正交 但总可以把它们适当线性叠加 使之彼此正交 在线性代数中 通常采用Schmidt正交化程序来进行正交化 令因为所以只要选择 使 即可得证 证明如下 在常见问题中 当出现简并时 往往是用 除之外的 其他力学量的本征值来对简并态进行分类 从而把它的简并态确定下来 两个力学量是否可以有共同本征态 或者说是否可以同时测定 此时 正交性问题将自动解决 这就涉及两个或多个力学量的共同本征态问题 这将是下一节不确定度关系要讨论的问题