八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解同步授课课件 （新版）新人教版.ppt

第十四章整式的乘法与因式分解 14 1整式的乘法14 1 1整式的乘法 课前预习1 102 103的结果是 A 104B 105C 106D 1082 计算 1 x5 x 2 10 103 106 3 b2 b3 4 y3m ym 2 3 x6 x4 2 x4 y2 y5 4 若xm 3 xn 2 则xm n B 原式 x6 原式 1010 原式 b5 原式 y4m 2 x2 y3 6 课堂精讲知识点 同底数幂的乘法法则同底数幂的乘法法则 一般地 对于任意底数a与任意正整数m n 因此 我们有即同底数幂相乘 底数不变 指数相加 注意 1 三个或三个以上同底数幂相乘 法则也适用 即 m n p都是正整数 2 不要忽视指数为l的因数 3 底数不一定只是一个数或一个字母 4 注意法则的逆用 即郝是正整数 例 化简 1 an 2 an 1 an 2 a4 an 1 2an 1 a2 3 x y 2 y x 5 解析 本题考查的是同底数幂的乘法 熟知同底数幂相乘 底数不变 指数相加是解答此题的关键 1 根据同底数幂的乘法法则进行计算即可 2 先根据同底数幂的乘法法则计算出各数 再合并同类项即可 3 根据同底数幂的乘法法则进行计算即可 解 1 原式 an 2 n 1 n a3n 3 2 原式 a4 n 1 2an 1 2 an 3 2an 3 3an 3 3 原式 x y 2 x y 5 x y 7 课堂精讲变式拓展1 下列各式中 正确的是 A a4 a2 a8B a4 a2 a6C a4 a2 a16D a4 a2 a2 B 2 计算 1 6 7 63 2 a b b a 4 3 an 1 a3 an a4 4 a2 a 3 a a4 a 2 原式 67 63 610 原式 a b a b 4 a b 5 原式 an 1 a3 an a4 an 4 an 4 2an 4 原式 a2 a 3 a a4 a 2 a6 a6 0 随堂检测1 计算 m 2 m3的结果是 A m5B m5C m6D m62 在等式x2 x5 x11中 括号里的代数式应为 A x2B x3C x4D x53 下列运算错误的是 A x2 x4 x6B b 2 b 4 b6C x x3 x5 x9D a 1 2 a 1 3 a 1 5 B B 4 xm n xm n x10 则m 5 已知 2x 4 2y 8 求2x y 6 计算 1 25 5 52 52 53 5 解 2x 4 2y 8 2x y 2x 2y 4 8 32 解 25 5 52 52 53 52 5 52 52 53 55 55 0 2 m n 2 n m 2 n m 4 3 x y y x 2 x y 3 y x 6 解 原式 n m 2 n m 2 n m 4 n m 8 解 x y y x 2 x y 3 y x 6 x y x y 2 x y 3 x y 6 x y 6 x y 6 0 14 1 2幂的乘方 课前预习1 103 4 x2 5 2 xm n a3 n a2 3 32 2 x2 3 4 32 5等于 A 310B 37C 152D 655 x3 2 x2 3等于 A x10B x25C x12D x36 1012 x10 xnm a3n 2 34 x6 A C 课堂精讲知识点 幂的乘方 1 幂的乘方的意义幂的乘方是指几个相同的幂相乘 如 a5 3是三个a5相乘 读作n的五次幂的三次方 am n是n个am相乘 读作a的m次幂的n次方 2 幂的乘方法则一般地 对于任意底数a与任意正整数m n 因此 我们有即幂的乘方 底数不变 指数相乘 提示 1 此法则可推广为 m n p都是正整数 2 此法则可以逆用 m n都是正整数 例1 x4 2等于 A X6B X8C X16D 2x4解析 根据幂的乘方等于底数不变指数相乘 可得答案 解 原式 x4 2 x8 答案 B 例2 计算 x2 x4 9 解析 首先计算幂的乘方 然后计算同底数的幂的乘法即可求解 解 原式 x2 x36 x38 课堂精讲变式拓展1 2015青浦区一模 下列各式中与 a2 3相等的是 A a5B a6C a5D a62 计算 1 x2 3 x3 5 2 a2 3 a3 4 D x2 3 x3 5 x6 x15 x21 a2 3 a3 4 a6 a12 a18 随堂检测1 计算 a3 2的结果是 A a6B a6C a8D a82 2015黄浦区二模 计算 a2 2 3 93 3m 则m 4 计算 a5 5 a 2 5 计算 x6 2 x2 3 x5 A a4 6 解 原式 a25 a2 a27 解 原式 1 2x6 2 1 3x2 3 x5 x12 6 5 x23 14 1 3积的乘方 课前预习1 ab 2 ab 3 2 a2b 3 2a2b 2 3xy2 2 3 下列计算中正确的是 A xy 3 xy3B 2xy 3 6x3y3C 3x2 3 27x5D a2b n a2nbn4 如果 ambn 3 a9b12 那么m n的值等于 A m 9 n 4B m 3 n 4C m 4 n 3D m 9 n 6 a2b2 a3b3 a6b3 4a4b2 9x2y4 D 课堂精讲知识点 积的乘方 1 积的乘方的意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方 如 ab 3 ab n等 ab 3 ab ab ab 积的乘方的意义 a a a b b b 乘法交换律 结合律 a3b3 2 积的乘方法则 一般地 对于任意底数a b与任意正整数n 即积的乘方 等于把积的每一个因式分别乘方 再把所得的幂相乘 注意 1 三个或三个以上因式的积的乘方 也具有这一性质 例如 abc n anbncn n为正整数 2 此法则可以逆用 anbn ab n n为正整数 例1 2015滨海县一模 计算 2x2y 3的结果是 A 8x6y3B 6x6y3C 8x5y3D 6x5y3解析 根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行运算即可 解 2x2y 3 8x6y3 答案 A 例2 计算 1 a3 b3 2 2ab2 3 2 2 a2b3 2 3 a2 解析 本题考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法运算 掌握运算法则是解答本题的关键 解 1 原式 a3b6 8a3b6 7a3b6 2 a2b3 2 3 a2 a12b18 a2 a14b18 课堂精讲变式拓展1 计算 1 a2b 5 2 pq 3 3 a2b3 2 2 下列计算正确的是 A ab3 2 a2b6B 3xy 2 6x2y2C 2a3 2 4a6D x2yz 3 x6yz3 原式 a10b 原式 p3q3 原式 a4b6 A 随堂检测1 计算 3a3 2的结果是 A 3a6B 3a6C 9a6D 9a62 若 ambn 2 a8b6 那么m2 2n的值是 A 10B 52C 20D 323 化简 a2b3 3 4 计算 2x 3 3xy2 2 5 计算 2m2n 2 2 3m 3n3 D A a6b9 原式 8x3 9x2y4 72x5y4 原式 4m4n 4 3m 3n3 12m4 3n 4 3 12mn 1 14 1 4整式的乘法 课前预习1 5x 2x 2 A 10 x3B 20 x3C 10 x3 5xD 10 x32 下列计算正确的是 A 3x2 2x3 6x6B 2x 3x5 6x5C 3a2 5a4 15a6D 4x5 5x4 9x93 计算 3x 2x2 5x 1 的结果是 A 6x2 15x2 3xB 6x3 15x2 3xC 6x2 15x2D 6x3 15x2 14 1 x 2 x 3 2 3a 2b 2a 5b B C B x2 x 6 6a2 11ab 10b2 课堂精讲知识点1 单项式与单项式相乘法则 单项式与单项式相乘 把它们的系数 同底数幂分别相乘 对于只在一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 注意 1 积的系数等于各项系数的积 应先确定积的符号 再计算积的绝对值 2 相同字母相乘 是同底数幂的乘法 按照 底数不变 指数相加 进行计算 3 只在一个单项式里含有的字母 要连同它的指数写在积里 注意不要把这个因式丢掉 4 单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用 5 单项式乘单项式的结果仍然是单项式 例1 计算 解析 1 直接运用单项式乘法法则 把系数 相同字母分别相乘 只在一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 2 三个单项式相乘 仍然按照系数 相同字母 不同字母三部分分别相乘 3 含有乘方运算 应先算乘方 再运用单项式乘法法则计算 课堂精讲变式拓展1 计算 1 2x2y 3 4xy2 2 4 105 2 104 2 3 9x2y 2xy3 3xz3 4 9m2n m2n2 m3n3 原式 8x6y3 4xy2 32x7y5 原式 4 105 4 108 16 1013 1 6 1014 原式 54x4y4z3 原式 6m7n6 课堂精讲知识点2 单项式与多项式相乘法则 单项式与多项式相乘 就是用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积相加 用式子表示为注意 1 单项式与多项式相乘的计算方法 实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式 2 单项式与多项式相乘 结果是一个多项式 其项数与因式中多项式的项数相同 可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项 3 计算时要注意符号问题 多项式中每一项都包括它前面的符号 同时还要注意单项式的符号 4 对于混合运算 应注意运算顺序 有同类项时 必须合并 从而得到最简结果 例2 计算 变式拓展2 计算 1 2a2 ab b2 2 x2y 6xy xy2 3 x2y 6x3y7 5x4y4 8x6y2 4 3ab 6a2b4 3ab ab2 原式 a3b 2a2b2 原式 x3y3 3x2y3 原式 3x5y8 x6y5 4x8y3 原式 18a3b5 9a2b2 a2b3 课堂精讲知识点3 多项式与多项式相乘法则 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加 用式子表示为注意 1 运用多项式乘法法则时 必须做到不重不漏 为此 相乘时 要按一定的顺序进行 例如 m n a b c 可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘 得m a b c 与n a b c 再用单项式乘多项式的法则展开 即 m n a b c m a b c n a b c ma mb mc na nb nc 2 多项式与多项式相乘 仍得多项式 在合并同类项之前 积的项数应该等于两个多项式的项数之积 例3 计算 1 x 2 x 5 2 x 2y 5a 3b 2c 3 3a b a 2b 2a b 解析 1 可用 x a x b x2 a b x ab进行计算 2 直接运用多项式乘以多项式的法则进行计算 3 是三个多项式相乘 可以先把其中的两个多项式相乘 把积化简后 再和第三个多项式相乘 注意最后要合并同类项 解 1 x 2 x 5 x2 2 5 x 2 5 x2 7x 10 2 x 2y 5a 3b 2c x 5a x 3b x 2c 2y 5a 2y 3b 2y 2c 5ax 3bx 2cx 10ay 6by 4cy 3 3a b a 2b 2a b 3a a 3a 2b b a b 2b 2a b 3a2 6ab ab 2b2 2a b 3a2 5ab 2b2 2a b 3a2 2a 3a2 b 5ab 2a 5ab b 2b2 2a 2b2 b 6a3 3a2b 10a2b 5ab2 4ab2 2b3 6a3 7a2b 9ab2 2b3 变式拓展3 计算 1 a 2b 5a 3b 2 x y x2 xy y2 原式 a 5a a 3b 2b 5a 2b 3b 5a2 3ab 10ab 6b2 5a2 7ab 6b2 原式 x x2 x xy x y2 y x2 y xy y y2 x3 x2y xy2 x2y xy2 y3 x3 y3 3 5x 2y 3x 2y 4 a b a 2b a 2b a b 原式 5x 3x 5x 2y 2y 3x 2y 2y 15x2 10 xy 6xy 4y2 15x2 4xy 4y2 原式 a2 2ab ab 2b2 a2 ab 2ab 2b2 a2 ab 2b2 a2 ab 2b2 2ab 随堂检测1 计算y2 xy3 2的结果是 A x3y10B x2y8C x3y8D x4y122 下列计算正确的是 A x x2 x 1 x3 x 1B ab a b a2 b2C 3x x2 2x 1 3x3 6x2 3xD 2x x2 x 1 2x3 2x2 2x3 计算 3x 1 2x 1 B C 6x2 x 1 4 计算 ax2 2a2x 3 5 计算 2a2 3ab2 5ab3 原式 ax2 2 3a6x3 ax2 8 a6x3 2a7x5 原式 6a3b2 10a3b3 6 计算 1 ab 2a a2b2 2 2m 1 3m 2 原式 a3b3 a3b2 原式 6m2 4m 3m 2 6m2 7m 2 14 1 5同底数幂的除法 课前预习1 下列计算 结果正确的是 A x2 x x2B a3 a3 a3 3 0C x 5 x3 x 2 x2D a 3 a2 a2 108 104 102 5 7 55 D 102 25 课堂精讲知识点1 零底数幂的除法法则同底数幂的除法法则 一般地 我们有am an am n a O m n都是正整数 并且m n 即同底数幂相除 底数不变 指数相减 注意 1 底数a可以是单项式 也可以是多项式 但底数a不能为O 若a为O 则除数为O 除法就没有意义了 2 当三个或三个以上同底数幂相除时 也具有这一性质 例如 am an ap am n p a O m n p都是正整数 且m n p 3 应用这一法则时 必须明确底数是什么 指数是什么 然后按同底数幂的除法法则进行计算 4 同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算 例1 计算 1 a8 a5 2 x 6 x 3 3 b2m 2 b2m 1 4 abc 5 abc 2 解析 同底数幂相除 直接运用法则计算 底数是互为相反数的应先化为同底 再计算 解 1 a8 a5 a8 5 a3 2 x 6 x 3 x 3 x3 3 b2m 2 b2m 1 b2m 2 2m 1 b3 4 abc 5 abc 2 abc 5 abc 2 abc 3 a3b3c3 课堂精讲变式拓展1 计算 1 x8 x7 2 x4 x 3 a11 a11 4 6 2 原式 x 原式 x3 原式 1 原式 4 课堂精讲知识点2 零指数次幂 1 零指数幂性质规定的原因 计算 am am 一方面 根据除法的意义 可知am am 1 另一方面 依照同底数幂的除法 又可得am am am m a0 于是规定 任何不等于0的数的0次幂都等于1 2 零指数幂的性质 任何不等于0的数的0次幂都等于1 即a0 1 a 0 例2 若 2a l 0 1 则 A a B a 0C a D a O解析 a0 1成立的条件是a O 2a l O 即a 答案 C 2 80 5 0 3 如果 x 3 0 1 则x的取值范围是 A x 3B x 3C x 3D x 3 1 1 D 随堂检测1 下列各式计算正确的是 A a5 2 a7B 2x 2 C 4a3 2a2 8a6D a8 a2 a62 2015嵊州市一模 下列计算正确的是 A 6a 5a 1B a2 3 a5C a6 a3 a2D a2 a3 a53 下列运算正确的是 A 2x 3 0 1B 0 0C a2 1 0 1D m2 1 0 14 计算 5 2 D D D 5 若 x 5 0 1 则x的取值范围是 6 已知xa 32 xb 4 求xa b x 5 解 xa 32 xb 4 xa b xa xb 32 4 8 14 1 6整式的除法 课前预习1 填空 1 8x3 4x 2 6a2b 2ab 3 12a3b2x4 3ab2 2 计算 5a5b3c 15a4b3的结果是 A 3acB 3acC acD ac3 根据 a b x ax bx 可得出 ax bx x 用同样的方法 计算 4xy2 2x2y 2xy 2x2 3a 4a2x4 D a b 2y x 课堂精讲知识点1 单项式除以单项式单项式除以单项式法则 单项式相除 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式 对于只在被除式里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 注意 1 法则包括三个方面 系数相除 同底数幂相除 只在被除式里出现的字母 连同它的指数作为商的一个因式 2 计算结果是否正确 可由单项式乘法验证 例1 计算 1 12x5y3z 3x4y 3 1 2 107 5 104 解析 运用单项式与单项式相除的法则计算 解 1 12x5y3z 3x4y 12 3 x5 4y3 1z 4xy2z 3 原式 1 2 5 107 4 0 24 103 2 4 102 课堂精讲变式拓展 1 计算 1 12a4b3c2 3a2bc2 2 2a2b 2 4a3b 3 7 2 108 3 6 105 原式 4a2b2 原式 4a4b2 4a3b ab 原式 2 103 课堂精讲知识点2 多项式除以单项式多项式除以单项式法则 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式 再把所得的商相加 注意 1 多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式 在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号 2 多项式除以单项式 被除式里有几项 商也应该有几项 不要漏项 3 多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算 可用其进行检验 例2 计算 1 16x4 8x3 4x 4x 2 24a3b3c 12a2b3c 6abc 6abc 解析 运用多项式除以单项式法则计算 解 1 原式 16x4 4x 8x3 4x 4x 4x 4x3 2x2 1 2 原式 24a3b3c 6abc 12a2b3c 6abc 6abc 6abc 4a2b2 2ab2 1 2 计算 1 0 25a4b3 a4b5 a3b2 0 5a3b2 2 21x3y3 15x2y2 3xy 3 2x3 3x2y 4xy3 2x 4 a4b7 a3b8 a2b6 a2b6 原式 ab ab3 原式 7x2y2 5xy 原式 x2 xy 2y 原式 a2b ab2 1 随堂检测1 计算2x6 x4的结果是 A x2B 2x2C 2x4D 2x102 计算 5m2 15m3n 20m4 5m2 结果正确的是 A 1 3mn 4m2B 1 3m 4m2C 4m2 3mn 1D 4m2 3mn3 2015平定县一模 下列计算正确的是 A a3 a a3B 2a b 2 4a2 b2C a8b a2 a4bD 3ab3 2 9a2b64 已知一个长方形的面积是x2 2x 长为x 那么它的宽为 5 计算 8x2 2x B D x 2 4x 6 计算 1 24a3b2 3ab2 2 9x4 15x2 6x 3x 原式 8a3 原式 3x3 5x 2 14 2乘法公式14 2 1平方差公式 课前预习1 下列多项式乘法 能用平方差公式进行计算的是 A x y x y B 2x 3y 2x 3z C a b a b D m n n m 2 下列计算正确的是 A 2x 3 2x 3 2x2 9B x 4 x 4 x2 4C 5 x x 6 x2 30D 1 4b 1 4b 1 16b2 C D 3 利用公式计算 1 x 1 x 1 2 1 03 0 97 原式 x2 1 原式 1 0 03 1 0 03 1 0 03 2 1 0 0009 0 9991 课堂精讲知识点 平方差公式 1 平方差公式一般地 我们有即两个数的和与这两个数的差的积 等于这两个数的平方差 这个公式叫做 乘法的 平方差公式 2 平方差公式的特点 左边是两个二项式相乘 并且这两个二项式中有一项完全相同 另一项互为相反数 右边是相同项的平方减去相反项的平方 公式中的a和b可以是单项式 也可以是多项式 归纳 公式 a b a b a2 b2的8种变化形式 例 下列两个多项式相乘 哪些可用平方差公式 哪些不能 能用平方差公式计算的 写出计算结果 1 2a 3b 3b 2a 2 2a 3b 2a 3b 3 2a 3b 2a 3b 4 2a 3b 2a 3b 5 2a 3b 2a 3b 6 2a 3b 2a 3b 解析 依据平方差公式的特点来判断 把这两个多项式中每一个多项式分成两部分 其中一部分完全相同 另一部分互为相反数 解 2 3 4 5 可以用平方差公式计算 1 6 不能用平方差公式计算 2 2a 3b 2a 3b 3b 2 2a 2 9b2 4a2 3 2a 3b 2a 3b 2a 2 3b 2 4a2 9b2 4 2a 3b 2a 3b 2a 2 3b 2 4a2 9b2 5 2a 3b 2a 3b 3b 2 2a 2 9b2 4a2 课堂精讲变式拓展 计算 1 a 1 a 1 2 3x2 y2 y2 3x2 3 m 3n m 3n 原式 a2 1 原式 y4 9x4 原式 m2 9n2 随堂检测1 计算 a b a b 的结果是 A b2 a2B a2 b2C a2 2ab b2D a2 2ab b22 下列多项式乘法中 可以用平方差公式计算的是 A x 1 1 x B a b b a C a b a b D x2 y x y2 3 2014梅州 已知a b 4 a b 3 则a2 b2 4 已知a2 b2 6 a b 1 则a b A B 12 6 5 m n m2 n26 化简 a b a b 2b2 m n 解 原式 a2 b2 2b2 a2 b2 14 2 2完全平方公式 课前预习1 2a b 2 4a2 b2 2 x 2 3 x y 2 x y 2 4 如果a2 ma 9是一个完全平方式 那么m 4ab x2 x 4xy 6 课堂精讲知识点 完全平方公式一般地 我们有 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2即两个数的和 或差 的平方 等于它们的平方和 加上 或减去 它们的积的2倍 这两个公式叫做 乘法的 完全平方公式 完全平方公式的特点 两个公式的左边都是一个二项式的平方 二者仅有一个 符号 不同 右边都是二次三项式 其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方 中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍 二者也仅有一个 符号 不同 注意 1 公式中的a b可以是单项式 也可以是多项式 2 对于形如两数和 或差 的平方的乘法 都可以运用完全平方公式计算 归纳 完全平方公式的常用形式 l a2 b2 a b 2 2ab a b 2 2ab 2 ab a b 2 a2 b2 5 a b 2 a b 2 4ab 6 a b 2 a b 2 4ab 7 ab 例1 化简 1 a 3b 2 2 x 3y 2 3 m n 2 4 2x 3 2x 3 解析 此题可利用完全平方公式计算 1 题是两数和的平方 应选用 和 的完全平方公式 其中a相当于公式中的a 3b相当于公式中的b 2 题 x 3y 2 3y x 2 x 3y 2 应选用 差 的完全平方公式 3 题 m n 2 m n 2 m n 2 应选择 和 的完全平方公式计算 4 题中的 2x 3 2x 3 原式可变形为 2x 3 2 选择 和 的完全平方公式计算 解 1 a 3b 2 a2 2a 3b 3b 2 a2 6ab 9b2 2 x 3y 2 3y x 2 3y 2 2 3y x x2 9y2 6xy x2 3 m n 2 m n 2 m2 2mn n2 4 2x 3 2x 3 2x 3 2 4x2 12x 9 4x2 12x 9 课堂精讲变式拓展 计算 1 3a 4b 2 2 5x 2y 2 20 xy 3 2m n 2m n 2 4 y 3 2 3 y 2 9a2 24ab 16b2 25x2 4y2 16m4 8m2n2 n4 12y 随堂检测1 若m n 7 mn 12 则m2 mn n2的值是 A 11B 13C 37D 612 2015北京一模 在多项式x2 9中添加一个单项式 使其成为一个完全平方式 则添加的单项式可以是 A xB 3xC 6xD 9x3 已知 x y 2 2x 2y 1 0 则x y 4 化简 a 3 2 6a 5 x2 10 x x 2 6 若9x2 kx 16是一个完全平方式 求k的值 B C 1 a2 9 25 5 解 中间一项为加上或减去3x和4积的2倍 故k 24 14 3因式分解14 3 1提公因式法 课前预习1 把下列多项式写成整式乘积的形式 1 a2 a 2 x2 1 2 下列变形 a x y ax ay x2 4x 4 x x 4 4 10 x2 5x 5x 2x 1 x2 16 3x x 4 x 4 3x 其中属于因式分解的有 3 8a3b2与12ab3c的公因式是 4 把下列各式分解因式 1 6mn2 2mn 2 18xyz 12x2y2 a a 1 x 1 x 1 4ab2 原式 2mn 3n 1 原式 6xy 3z 2xy 课堂精讲知识点1 因式分解的概念定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式 这种式子的变形叫做把这个多项式因式分解 也叫做把这个多项式分解因式 如 ax ay a x y a2 b2 a b a b a2 2ab b2 a b 2 x2 a b x ab x a x b am an bm bn a b m n 都是因式分解 注意 因式分解专指多项式的恒等变形 即等式的左边必须是多项式 因式分解的结果必须是几个整式的积的形式 如x2 xy x x y 是因式分解 而2x 2y 3y 2 x y 3y不是因式分解 因式分解与整式的乘法互为逆变形 例如 3x 2 3x 2 9x2 4是整式的乘法 反过来 9x2 4 3x 2 3x 2 是因式分解 所以因式分解的结果可以用整式的乘法进行验证 例1 下列从左到右的变形中 哪些是分解因式 哪些不是 1 24x2y 4x 6xy 2 x 5 x 5 x2 25 3 x2 2x 3 x 3 x 1 4 9x2 6x 1 3x 3x 2 1 5 x2 1 x x 解析 根据分解因式的定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式 这种变形叫做把这个多项式因式分解 也叫做分解因式 解 1 因式分解是针对多项式来说的 故 1 不是因式分解 2 右边不是整式积的形式 不是因式分解 3 是因式分解 4 右边不是整式积的形式 不是因式分解 5 右边不是整式积的形式 不是因式分解 则 1 2 4 5 不是因式分解 3 是因式分解 课堂精讲1 下列各式哪些是因式分解 A x2 x x x 1 B a a b a2 abbC a 3 a 3 a2 9D a2 2a 1 a a 2 12 2015潮南区一模 从左到右的变形 是因式分解的为 A 3 x 3 x 9 x2B a b a2 ab b2 a3 b3C a2 4ab 4b2 1 a a 4b 2b 1 2b 1 D 4x2 25y2 2x 5y 2x 5y A D 课堂精讲知识点2 提公因式法分解因式 1 一个多项式各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式 2 一般地 如果多项式的各项有公因式 可以把这个公因式提到括号外面 将多项式写成因式乘积的形式 这种分解因式的方法叫做提公因式法 注意 1 提公因式分解因式的关键是确定公因式 确定一个多项式的公因式时 要对数字系数和字母分别考虑 对于数字系数如果是整数系数 取各项系数的最大公约数作为公因式的系数 对于字母 需考虑两条 一条是取各项相同的字母 另一条是各相同字母的指数取其次数最低的 2 乘法分配律是提公因式法的依据 提公因式法实质上是分配律的 逆用 即 3 提公因式法分解因式的一般步骤是 第一步找出公因式 第二步提公因式并确定另一个因式 提公因式时可用原多项式除的公因式 所得的商即为提公因式后剩下的另一个因式 也可以用公因式分别去除原多项式的每一项 求得剩下的另一个因式 例如 因式分解8a3b2 12ab2c 提公因式4ab2时 用4ab2分别去除原多项式的每一项 得 8a3b2 4ab2 12ab3c 4ab2 2a2 3bc 即8a3b2 12ab3c 4ab2 2a2 3bc 例2 运用提取公因式法分解因式 1 12a2b3 6a2b2 18a3b2 2 27m2n 9mn2 18mn 3 5a2 x y 10a y x 4 x x y 2 y y x 2 5 18 a b 3 12b b a 2 解析 1 系数12 6 18的最大公约数为6 相同字母a b的最低次幂为a2b2 公因式为6a2b2 12a2b3 6a2b2 18a3b2 6a2b2 2b 1 3a 注意括号内第二项应为1 2 当第一项系数为负时 应提出负号 括号内各项都变号 公因式为 9mn 27m2n 9mn2 18mn 9mn 3m n 2 3 y x x y 公因式为5a x y 5a2 x y 10a y x 5a x y a 2 4 x x y 2 y y x 2 x x y 2 y x y 2 x y 2 x y x y 3 5 18 a b 3 12b b a 2 18 a b 3 12b a b 2 6 a b 2 3a 3b 2b 6 a b 2 3a 5b 3 把下列各式分解因式 1 ab a b 1 2 4m3 16m2 26m 3 m a 3 2 3 a 4 6a b a 2 2 a b 3 原式 a b 1 b 1 b 1 a 1 原式 2m 2m2 8m 13 原式 m a 3 2 a 3 a 3 m 2 原式 6a a b 2 2 a b 3 2 a b 2 3a a b 2 a b 2 2a b 随堂检测1 下列各式由左边到右边的变形中 是分解因式的为 A a x y ax ayB m 1 m 1 1 m m m 1 C x2 16 3x x 4 x 4 3xD 10 x2 5x 5x 2x 1 2 把多项式a2 4a分解因式 结果正确的是 A a a 4 B a 2 a 2 C a a 2 a 2 D a 2 2 43 2015惠安县一模 分解因式 x2 4x 4 在多项式 12ab3c 8a3b中应提取的公因式是 D A x x 4 4ab 5 因式分解 1 x x y y y x 2 a2x2y axy2 原式 x x y y x y x y x y 原式 axy ax y 14 3 2公式法 一 课前预习1 计算 852 152 A 70B 700C 4900D 70002 下列多项式中 能运用公式法因式分解的是 A x2 xyB x2 xyC x2 y2D x2 y23 分解因式 x2 4 4 若x2 9 x 3 x a 则a D D x 2 x 2 3 课堂精讲知识点 利用平方差公式分解因式a2 b2 a b a b 即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积 1 把乘法公式中的平方差公式 a b a b a2 b2逆用 即为因式分解的平方差公式 2 公式中所说的 两个数 是a b 而不是a2 b2 其中a b可以是单项式 也可以是多项式 3 平方差公式的特点 左边是二项式 两项都能写成平方的形式 且符号相反 右边是两个数的和与这两个数的差的积 凡是符合平方差公式特点的二项式 都可以运用平方差公式分解因式 如x2 y2 a2 1 4x2 9 b c 2 4 a b 2等 例 把下列各式分解因式 课堂精讲 1 25m2 n2 2 x y 2 1 3 16x 25x3y2 4 x4 16 原式 5m n 5m n 原式 x y 1 x y 1 原式 x 4 5xy 4 5xy 原式 x2 4 x 2 x 2 随堂检测1 将x2 16分解因式正确的是 A x 4 2B x 4 x 4 C x 8 x 8 D x 4 2 8x2 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 A a2 b 2B 5m2 20mnC x2 y2D x2 93 若a b 2011 a b 1 则a2 b2 4 计算 20142 20132 5 4x2 9 B D 2011 4027 2x 3 2x 3 14 3 3公式法 二 课前预习1 分解因式a4 2a2 1的结果是 A a2 1 2B a2 1 2C a2 a2 2 D a 1 2 a 1 22 当a 9时 代数式a2 2a 1的值为 3 x2 x 是完全平方式 4 2014龙岩 因式分解 x2 4x 4 D 100 1 x 2 2 课堂精讲知识点 用完全平方公式分解因式 1 把整式乘法的完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2反过来 就得到即两个数的平方和加上 或减去 这两个数的积的2倍 等于这两个数的和 或差 的平方 我们把a2 2ab b2和a2 2ab b2这样的式子叫做完全平方式 利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解 公式中的a b可以是单项式 也可以是多项式 2 完全平方公式的特点等号左边是三项式 其中首末两项分别是两个数 或两个式子 的平方 且这两项的符号相同 中间一项是这两个数 或两个式子 的积的2倍 符号正负均可 等号右边是这两个数 或两个式子 的和 或者差 的平方 当中间的乘积项与首末两项符号相同时 是和的平方 当中间的乘积项与首末两项的符号相反时 是差的平方 归纳 如果把乘法公式的等号两边互换位置 就可以得到用于分解因式的公式 用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式 这种分解因式的方法叫做公式法 例 分解因式 1 x2 4xy 4y2 2 x 1 x 3 1 解析 1 先添加带符号的括号 再利用完全平方公式分解因式即可 2 首先利用多项式乘法计算出 x 1 x 3 x2 4x 3 再加上1后变形成x2 4x 4 然后再利用完全平方公式进行分解即可 1 解 x2 4xy 4y2 x2 4xy 4y2 x 2y 2 2 解 原式 x2 4x 3 1 x2 4x 4 x 2 2 课堂精讲1 把下列各式分解因式 1 y2 4x y x 2 a2 b2 2 4a2b2 原式 y 2x 2 原式 a b 2 a b 2 随堂检测1 下列各式中 满足完全平方公式进行因式分解的是 A 2x2 4x 1B 4x2 12xy 9y2C 2x2 4xy y2D x2 y2 2xy2 把代数式x2 4x 4分解因式 下列结果中正确的是 A x 2 x 2 B x 2 2C x 4 2D x 2 23 若a 2b 2 则a2 4ab 4b2的值是 4 如果多项式x2 6x c可以分解为 x 3 2 那么c的值是 5 分解因式4x2 4x 1 B D 4 9 2x 1 2