高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义课件 新人教A版选修2-2.ppt

3 1 2复数的几何意义 自主学习新知突破 1 了解复数的几何意义 2 理解复数的模的概念 会求复数的模 1 平面向量可以用坐标表示 试想复数能用坐标表示吗 提示 可以 因复数z a bi a b R 与有序实数对 a b 唯一确定 由 a b 与平面直角坐标系点一一对应 从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应 2 已知复数z a bi a b R 问题1 在复平面内作出点Z 提示 可以 因复数z a bi a b R 与有序实数对 a b 唯一确定 由 a b 与平面直角坐标系点一一对应 从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应 提示1 如右图 提示2 有一一对应关系 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 x轴叫做 y轴叫做 实轴上的点都表示 除 外 虚轴上的点都表示纯虚数 复平面的定义 实轴 虚轴 实数 原点 1 复平面上的点的坐标与复数的关系 1 复平面上点的横坐标表示复数的实部 点的纵坐标表示复数的虚部 2 表示实数的点都在实轴上 实轴上的点都表示实数 它们是一一对应的 表示纯虚数的点都在虚轴上 但虚轴上的点不都表示纯虚数 如原点表示实数0 1 复数z a bi a b R 复平面内的点 2 复数z a bi a b R 平面向量 复数的几何意义 Z a b 复数的模 2 复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点P Q所对应的复数分别为z1 z2 则 PQ z2 z1 运用以上性质 可以通过数形结合的方法解决有关问题 1 对于复平面 下列命题中的真命题是 A 虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的B 实 虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的C 实部是负数的复数的集合与第二 三象限的点的集合是一一对应的D 实轴上侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的 解析 A中纯虚数所对应的点不在象限内 B中的点应在第三象限 C中若复数z为负实数 则在x轴负半轴上 故选D 答案 D 答案 B 答案 1 2i或 1 2i 4 当实数x分别取什么值时 复数z x2 x 6 x2 2x 15 i 1 对应的点Z在实轴上 2 对应的点Z在第四象限 3 对应的点Z在直线x y 3 0上 合作探究课堂互动 复数的几何意义 求当实数m为何值时 复数z m2 8m 15 m2 3m 28 i在复平面内的对应点 1 位于第四象限 2 位于x轴的负半轴上 思路点拨 求解复数问题常用的解题技巧 1 代数化 由复平面内适合某种条件的点的集合来求其对应的复数时 通常是由其对应关系列出方程 组 或不等式 组 或混合组 求得复数的实部 虚部的值或范围 来确定所求的复数 2 几何化 利用复数的向量表示 充分运用数形结合 转化成几何问题 渗透数形结合思想就是其中技巧之一 可简化解题步骤 使问题变得直观 简捷 易解 1 已知复数z a2 1 2a 1 i 其中a R 当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时 求a的值 或取值范围 1 在实轴上 2 在第三象限 3 在抛物线y2 4x上 复数的模的求法 计算复数的模时 应先找出复数的实部和虚部 然后再利用模的计算公式进行计算 两个虚数不能比较大小 但它们的模可以比较大小 复数的模的几何意义 设z C 则满足条件 z 3 4i 的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形 思路点拨 根据 z 的几何意义确定图形 方法二 设z x yi x y R 则 z 2 x2 y2 3 4i 5 由 z 3 4i 得x2 y2 25 点Z的集合是以原点为圆心 以5为半径的圆 复数的模的几何意义是表示复数对应的点到原点的距离 这可以类比实数的绝对值 也可类比以原点为起点的向量的模来加深理解 3 1 复数z x 3 i y 2 x y R 且 z 2 则点 x y 的轨迹是 2 求适合条件2 z 3的复数z在复平面上表示的图形 解析 1 z 2 x 3 2 y 2 2 4 即点 x y 的轨迹是以 3 2 为圆心 2为半径的圆 2 如图是以原点O为圆心 半径分别为2个单位长和3个单位长的两个圆所夹的圆环 但不包括大圆圆周 答案 1 以 3 2 为圆心 2为半径的圆 设z为纯虚数 且 z 1 1 i 求复数z 错解 由 z 1 1 i 得z 1 1 i 当z 1 1 i时 z i 当z 1 1 i 时 z 2 i 因为z为纯虚数 所以z 2 i应舍去 综上得z i 错因 造成这种错误的主要原因是实数绝对值概念的负迁移所致 当x R时 x a a 0 才有x a 而当x C时 这一性质不再成立 解决这类等式问题 一般要设出复数的代数形式 化复数问题为实数问题