中考数学 第5章 四边形 第2节 矩形 菱形 正方形复习课件.ppt

知识点1矩形的性质与判定 1 矩形 有一个角是直角的 叫作矩形 2 矩形的性质 1 矩形是特殊的平行四边形 具有平行四边形的所有性质 2 矩形的四个内角相等且都是 3 矩形的两条对角线 4 矩形既是中心对称图形 也是轴对称图形 有 条对称轴 平行四边形 直角 相等 2 3 矩形的判定 1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2 对角线 的平行四边形是矩形 3 有 是直角的四边形是矩形 相等 三个角 知识点2菱形的性质与判定 1 菱形 有一组邻边 的平行四边形叫作菱形 2 菱形的性质 1 菱形是特殊的平行四边形 具有平行四边形的所有性质 2 菱形的四条边都 相等 相等 3 菱形的对角线互相 每条对角线平分一组对角 4 菱形既是中心对称图形 也是轴对称图形 有 条对称轴 垂直且平分 2 3 菱形的判定 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 四条边都 的四边形是菱形 3 对角线相互 的四边形是菱形 4 菱形面积的计算 1 可以作为平行四边形来计算面积 S 2 利用菱形的对角线的长度计算 S 两条对角线乘积的 相等 垂直且平分 底 高 一半 知识点3正方形的性质与判定 1 正方形的性质 1 正方形具有矩形和菱形的所有性质 正方形的四个角都是 四条边都 正方形的两条对角线相等且 每条对角线平分一组对角 2 正方形既是中心对称图形 也是轴对称图形 有 条对称轴 直角 相等 垂直平分 4 2 正方形的判定 1 有一个角是 的菱形是正方形 2 有一组邻边 的矩形是正方形 3 有一组邻边相等 且有一个角是直角的平行四边形是正方形 4 对角线相等且相互 的四边形是正方形 直角 相等 垂直 3 矩形 菱形 正方形都是特殊的平行四边形 正方形又是特殊的菱形 还是特殊的矩形 他们之间的关系如图 名师指点 本考点主要考查矩形的判定及性质的运用 解答这类问题时 既要注意运用矩形的特殊性质 也要注意运用矩形作为一般平行四边形所具有的性质 考点1矩形的性质与判定 分析 由四边形ABCD是矩形 得出AB CD B C 再由BF CE 得出BE CF 从而证明 ABE DCF 即可证明AE DF 解答 四边形ABCD是矩形 AB CD B C 90 又 BF CE BF FE CE EF 即BE CF ABE DCF AE DF 2014 贵州安顺 如图 在 ABC中 AB AC AD BC 垂足为点D AN是 ABC的外角 CAM的平分线 CE AN 垂足为点E 1 求证 四边形ADCE为矩形 2 当 ABC满足什么条件时 四边形ADCE是一个正方形 并给出证明 分析 1 四边形ADCE中已知有两个直角 要判定其是矩形 只需再证明有一个角是直角即可 通过观察可知 判断 DAE是直角比较方便 2 此题是条件结论都开放型问题 答案不唯一 一般地 使矩形变为正方形可以添加邻边相等或是对角线垂直 可以通过添加 ABC的条件间接获得证明 解答 1 在 ABC中 AB AC AD BC BAD DAC AN是 ABC的外角 CAM的平分线 MAE CAE 又 AD BC CE AN ADC CEA 90 四边形ADCE为矩形 2 例如 当 BAC 90 时 四边形ADCE是正方形 BAC 90 AB AC AD BC于点D ACD DAC 45 DC AD 由 1 知四边形ADCE为矩形 矩形ADCE是正方形 1 2015 高新一模 如图 在矩形ABCD中 AB 2 BC 4 对角线AC的垂直平分线分别交AD AC于点E O 连接CE 则CE的长是 A 2 5B 2 8C 3D 3 5 2 2015 天桥二模 如图 在矩形ABCD中 BAD的平分线交BC于点E DH AE于点H 连接BH并延长交CD于点F 连接DE交BF于点O 下列结论 AED CED OE OD BH HF BC CF 2HE AB HF 其中结论正确的是 填序号 3 2014 济南 如图 四边形ABCD是矩形 点E是边AD的中点 求证 EB EC 解 在 ABE和 DCE中 AB DC AE DE EAB EDC ABE DCE EB EC 4 2015 聊城 如图 在 ABC中 AB BC BD平分 ABC 四边形ABED是平行四边形 DE交BC于点F 连接CE 求证 四边形BECD是矩形 证明 四边形ABED是平行四边形 BE AD BE AD AB BC BD平分 ABC AD CD 四边形BECD是平行四边形 AB BC ABC是等腰三角形 又 BD平分 ABC BD AC 即 BDC 90 四边形BECD是矩形 名师指点 本考点主要考查菱形的判定及性质的运用 菱形具有四条边都相等 对角线相互垂直平分 且每条对角线都平分一组对角的特殊性质 又有一般平行四边形的性质 在解答有关菱形的问题时 要灵活运用这些性质 考点2菱形的性质与判定 2015 济南 如图 在菱形ABCD中 AB 6 DAB 60 AE分别交BC BD于点E F CE 2 连接CF 以下结论 ABF CBF 点E到AB的距离是 ABF的面积为其中一定成立的是 把所有正确结论的序号都填在横线上 分析 利用SAS证明 ABF CBF 从而 正确 根据含30 角的直角三角形的性质得出点E到AB的距离是从而 正确 进而得出 ABF的面积及tan DCF的值 从而判断 的正误 解答 四边形ABCD是菱形 AB BC 6 DAB 60 AB AD DB ABD DBC 60 在 ABF和 CBF中 AB BC ABF FBC BF BF ABF CBF 故 正确 过点E作EG AB 过点F作MH CD MH AB 如图 CE 2 BC 6 ABC 120 BE 6 2 4 EG AB EG 即点E到AB的距离是故 正确 BE 4 EC 2 S BFE S FEC 4 2 2 1 S ABF S FBE 3 2 ABF的面积为故 错误 故 正确 答案 2015 济宁 如图 在 ABC中 AB AC DAC是 ABC的一个外角 实践与操作 根据要求尺规作图 并在图中标明相应字母 保留作图痕迹 不写作法 1 作 DAC的平分线AM 2 作线段AC的垂直平分线 与AM交于点F 与BC边交于点E 连接AE CF 猜想并证明 判断四边形AECF的形状并加以证明 分析 1 回顾用尺规作一个角的角平分线的方法作出角平分线 2 回顾用尺规作一个线段的垂直平分线的方法作出线段AC的垂直平分线 先证明四边形AECF为平行四边形 再由邻边相等即可证明四边形AECF为菱形 解答 1 如图 2 猜想 四边形AECF是菱形 证明 AB AC AM平分 CAD B ACB CAD 2 CAM CAD是 ABC的外角 CAD B ACB CAD 2 ACB CAM ACB AF CE EF垂直平分AC OA OC AOF COE 90 AOF COE AF CE 在四边形AECF中 AF CE AF CE 四边形AECF是平行四边形 又 EF AC 四边形AECF是菱形 1 2015 历下一模 如图 在菱形ABCD中 对角线AC BD交于点O 下列说法错误的是 A AB DCB OA OCC AC BDD AC BD 2 2014 历城一模 如图 已知菱形ABCD的对角线AC BD的长分别为6cm 8cm AE BC于点E 求AE的长 解 四边形ABCD是菱形 CO AC 3cm BO BD 4cm AO BO BC 5cm S菱形ABCD BC AE 即 6 8 5 AE 解得AE cm 答 AE的长是cm 3 2015 贵州遵义 在Rt ABC中 BAC 90 D是BC的中点 E是AD的中点 过点A作AF BC交BE的延长线于点F 1 求证 AEF DEB 2 证明四边形ADCF是菱形 3 若AC 4 AB 5 求菱形ADCF的面积 解 1 AF BC AFE DBE 点E是AD的中点 DE AE 又 AEF DEB AEF DEB 2 点D是BC的中点 BD DC 由 1 知 AEF DEB AF BD AF DC 又 AF BC 四边形ADCF是平行四边形 又 在Rt ABC中 点D是斜边BC的中点 AD DC 四边形ADCF是菱形 3 S四边形ADCF 2S ADC SRt ABC 2S ADC S四边ADCF SRt ABC AB AC 5 4 10 名师指点 本考点考查正方形的判定及性质运用 正方形是一类比较特殊的平行四边形 它既具有矩形的性质 也具有菱形的性质 因此正方形的判定方法和性质比较多 在解答有关正方形的问题时 要注意根据题干中提供的条件选择合适的方法 考点3正方形的性质与判定 2015 济南 如图 正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ACB的角平分线分别交AB BD于M N两点 若AM 2 则线段ON的长为 分析 作MH AC于点H 由正方形的性质得 MAH 45 则 AMH为等腰直角三角形 进而再根据角平分线的性质得于是利用正方形的性质得所以然后证明 CON CHM 再利用相似比可计算出ON的长 解答 作MH AC于点H 如图 四边形ABCD为正方形 MAH 45 AMH为等腰直角三角形 CM平分 ACB BD AC ON MH CON CHM ON 1 答案 C 2015 日照 小明在学习了正方形之后 给同桌小文出了道题 从下列四个条件 AB BC ABC 90 AC BD AC BD中选两个作为补充条件 使平行四边形ABCD为正方形 如图 现有下列四种选法 你认为其中错误的是 A B C D 分析 A 四边形ABCD是平行四边形 当 AB BC时 平行四边形ABCD是菱形 当 ABC 90 时 菱形ABCD是正方形 故此选项错误 B 四边形ABCD是平行四边形 当 ABC 90 时 平行四边形ABCD是矩形 当 AC BD时 无法得出四边形ABCD是正方形 故此选项正确 C 四边形ABCD是平行四边形 当 AB BC时 平行四边形ABCD是菱形 当 AC BD时 菱形ABCD是正方形 故此选项错误 D 四边形ABCD是平行四边形 当 ABC 90 时 平行四边形ABCD是矩形 当 AC BD时 矩形ABCD是正方形 故此选项错误 答案 B 1 2015 历城模拟 如图 正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边在一条直线上 O是EG的中点 EGC的平分线GH过点D 交BE于H 连接OH FH EG与FH交于M 对于下面四个结论 GH BE 点H不在正方形CGFE的外接圆上 GBE GMF 其中正确的结论有 A 1个B 2个C 3个D 4个 2 2015 湖北黄冈 如图 在正方形ABCD中 点F为CD上一点 BF与AC交于点E 若 CBF 20 则 AED 度 65 3 2015 市中二模 如图 在正方形ABCD内有一折线段 其中AE EF EF FC 并且AE 6 EF 8 FC 10 则正方形的边长为 4 2015 槐荫二模 如图 现有一张边长为4的正方形纸片ABCD 点P为正方形AD边上的一点 不与点A 点D重合 将正方形纸片折叠 使点B落在P处 点C落在G处 PG交DC于点H 折痕为EF 连接BP BH 1 求证 APB BPH 2 当点P在边AD上移动时 PDH的周长是否发生变化 并证明你的结论 3 设AP为x 四边形EFGP的面积为S 求出S与x的函数关系式 试问S是否存在最小值 若存在 求出这个最小值 若不存在 请说明理由 解 1 PE BE EBP EPB 又 EPH EBC 90 EPH EPB EBC EBP 即 PBC BPH 又 AD BC APB PBC APB BPH 2 PHD的周长不变 为定值8 证明 过B作BQ PH 垂足为Q 由 1 知 APB BPH 又 A BQP 90 BP BP ABP QBP AP QP AB BQ 又 AB BC BC BQ 又 C BQH 90 BH BH BCH BQH CH QH PHD的周长为PD DH PH AP PD DH HC AD CD 8 3 过F作FM AB 垂足为M 则FM BC AB 又 EF为折痕 EF BP EFM MEF ABP BEF 90 EFM ABP 又 A EMF 90 EFM PBA EM AP x 在Rt APE中 4 BE 2 x2 BE2 解得BE 2 CF BE EM 2 x 又 四边形PEFG与四边形BEFC全等 S BE CF BC 4 x 4 即S x2 2x 8 配方得S x 2 2 6 当x 2时 S有最小值6