2016年江苏省苏州市中考数学试卷(含解析).doc

2016年江苏省苏州市中考数学试卷 　 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2016•苏州）的倒数是（　　） A．B．C．D． 2．（3分）（2016•苏州）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（　　） A．0.710﹣3B．710﹣3C．710﹣4D．710﹣5 3．（3分）（2016•苏州）下列运算结果正确的是（　　） A．a+2b=3ab B．3a2﹣2a2=1 C．a2•a4=a8D．（﹣a2b）3（a3b）2=﹣b 4．（3分）（2016•苏州）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 5．（3分）（2016•苏州）如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58，则∠2的度数为（　　） A．58 B．42 C．32 D．28 6．（3分）（2016•苏州）已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（　　） A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定 7．（3分）（2016•苏州）根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示： 用水量（吨） 15 20 25 30 35 户数 3 6 7 9 5 则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（　　） A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25 8．（3分）（2016•苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45，则调整后的楼梯AC的长为（　　） A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m 9．（3分）（2016•苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（　　） A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2） 10．（3分）（2016•苏州）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（　　） A．2 B．C．D．3 　 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（3分）（2016•苏州）分解因式：x2﹣1=　　　　　　． 12．（3分）（2016•苏州）当x=　　　　　　时，分式的值为0． 13．（3分）（2016•苏州）要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），则这10次测试成绩比较稳定的是　　　　　　运动员．（填“甲”或“乙”） 14．（3分）（2016•苏州）某学校计划购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的需求情况，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须并且只能选择其中一类，现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是　　　　　　度． 15．（3分）（2016•苏州）不等式组的最大整数解是　　　　　　． 16．（3分）（2016•苏州）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 17．（3分）（2016•苏州）如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为　　　　　　． 18．（3分）（2016•苏州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为　　　　　　． 　 三、解答题（共10小题，满分76分） 19．（5分）（2016•苏州）计算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0． 20．（5分）（2016•苏州）解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在数轴上表示出来． 21．（6分）（2016•苏州）先化简，再求值：（1﹣），其中x=． 22．（6分）（2016•苏州）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？ 23．（8分）（2016•苏州）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同． （1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为　　　　　　； （2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率． 24．（8分）（2016•苏州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． （1）证明：四边形ACDE是平行四边形； （2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长． 25．（8分）（2016•苏州）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式． 26．（10分）（2016•苏州）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF． （1）证明：∠E=∠C； （2）若∠E=55，求∠BDF的度数； （3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值． 27．（10分）（2016•苏州）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）． （1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为　　　　　　； （2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值； （3）请你继续进行探究，并解答下列问题： ①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧； ②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由． 28．（10分）（2016•苏州）如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′． ①写出点M′的坐标； ②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）． 　  2016年江苏省苏州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2016•苏州）的倒数是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：∵=1， ∴的倒数是． 故选A． 　 2．（3分）（2016•苏州）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（　　） A．0.710﹣3B．710﹣3C．710﹣4D．710﹣5 【解答】解：0.0007=710﹣4， 故选：C． 　 3．（3分）（2016•苏州）下列运算结果正确的是（　　） A．a+2b=3ab B．3a2﹣2a2=1 C．a2•a4=a8D．（﹣a2b）3（a3b）2=﹣b 【解答】解：A、a+2b，无法计算，故此选项错误； B、3a2﹣2a2=a2，故此选项错误； C、a2•a4=a6，故此选项错误； D、（﹣a2b）3（a3b）2=﹣b，故此选项正确； 故选：D． 　 4．（3分）（2016•苏州）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【解答】解：根据题意得：40﹣（12+10+6+8）=40﹣36=4， 则第5组的频率为440=0.1， 故选A． 　 5．（3分）（2016•苏州）如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58，则∠2的度数为（　　） A．58 B．42 C．32 D．28 【解答】解：∵直线a∥b， ∴∠ACB=∠2， ∵AC⊥BA， ∴∠BAC=90， ∴∠2=ACB=180﹣∠1﹣∠BAC=180﹣90﹣58=32， 故选C． 　 6．（3分）（2016•苏州）已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（　　） A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定 【解答】解：∵点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上， ∴每个象限内，y随x的增大而增大， ∴y1＜y2， 故选：B． 　 7．（3分）（2016•苏州）根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示： 用水量（吨） 15 20 25 30 35 户数 3 6 7 9 5 则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（　　） A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25 【解答】解：因为30出现了9次， 所以30是这组数据的众数， 将这30个数据从小到大排列，第15、16个数据的平均数就是中位数，所以中位数是25， 故选D． 　 8．（3分）（2016•苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45，则调整后的楼梯AC的长为（　　） A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m 【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=， ∴AD=4sin60=2（m）， 在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=， ∴AC==2（m）． 故选B． 　 9．（3分）（2016•苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（　　） A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2） 【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小． ∵D（，0），A（3，0）， ∴H（，0）， ∴直线CH解析式为y=﹣x+4， ∴x=3时，y=， ∴点E坐标（3，） 故选：B． 　 10．（3分）（2016•苏州）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（　　） A．2 B．C．D．3 【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H， ∵∠ABC=90，AB=BC=2， ∴AC===4， ∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC， ∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形， ∴AG=BG=2 ∵S△ABC=•AB•AC=22=4， ∴S△ADC=2， ∵=2， ∴GH=BG=， ∴BH=， 又∵EF=AC=2， ∴S△BEF=•EF•BH=2=， 故选C． 　 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（3分）（2016•苏州）分解因式：x2﹣1=　（x+1）（x﹣1）　． 【解答】解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）． 故答案为：（x+1）（x﹣1）． 　 12．（3分）（2016•苏州）当x=　2　时，分式的值为0． 【解答】解：∵分式的值为0， ∴x﹣2=0， 解得：x=2． 故答案为：2． 　 13．（3分）（2016•苏州）要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），则这10次测试成绩比较稳定的是　乙　运动员．（填“甲”或“乙”） 【解答】解：因为S甲2=0.024＞S乙2=0.008，方差小的为乙， 所以本题中成绩比较稳定的是乙． 故答案为乙． 　 14．（3分）（2016•苏州）某学校计划购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的需求情况，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须并且只能选择其中一类，现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是　72　度． 【解答】解：根据条形图得出文学类人数为90，利用扇形图得出文学类所占百分比为：30%， 则本次调查中，一共调查了：9030%=300（人）， 则艺术类读物所在扇形的圆心角是的圆心角是360=72； 故答案为：72． 　 15．（3分）（2016•苏州）不等式组的最大整数解是　3　． 【解答】解：解不等式x+2＞1，得：x＞﹣1， 解不等式2x﹣1≤8﹣x，得：x≤3， 则不等式组的解集为：﹣1＜x≤3， 则不等式组的最大整数解为3， 故答案为：3． 　 16．（3分）（2016•苏州）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为　　． 【解答】解：连接OC， ∵过点C的切线交AB的延长线于点D， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD=90， 即∠D+∠COD=90， ∵AO=CO， ∴∠A=∠ACO， ∴∠COD=2∠A， ∵∠A=∠D， ∴∠COD=2∠D， ∴3∠D=90， ∴∠D=30， ∴∠COD=60 ∵CD=3， ∴OC=3=， ∴阴影部分的面积=3﹣=， 故答案为：． 　 17．（3分）（2016•苏州）如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为　2　． 【解答】解：如图，作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G， ∵∠B=60，BE=BD=4， ∴△BDE是边长为4的等边三角形， ∵将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE， ∴△B′DE也是边长为4的等边三角形， ∴GD=B′F=2， ∵B′D=4， ∴B′G===2， ∵AB=10， ∴AG=10﹣6=4， ∴AB′===2． 故答案为：2． 　 18．（3分）（2016•苏州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为　（1，）　． 【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（8，0），（0，2） ∴BO=，AO=8 由CD⊥BO，C是AB的中点，可得BD=DO=BO==PE，CD=AO=4 设DP=a，则CP=4﹣a 当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，∠FCP=∠DBP 又∵EP⊥CP，PD⊥BD ∴∠EPC=∠PDB=90 ∴△EPC∽△PDB ∴，即 解得a1=1，a2=3（舍去） ∴DP=1 又∵PE= ∴P（1，） 故答案为：（1，） 　 三、解答题（共10小题，满分76分） 19．（5分）（2016•苏州）计算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0． 【解答】解：原式=5+3﹣1 =7． 　 20．（5分）（2016•苏州）解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在数轴上表示出来． 【解答】解：去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1， 移项，得：4x﹣3x＞2﹣1， 合并同类项，得：x＞1， 将不等式解集表示在数轴上如图： 　 21．（6分）（2016•苏州）先化简，再求值：（1﹣），其中x=． 【解答】解：原式= =• =， 当x=时，原式==． 　 22．（6分）（2016•苏州）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？ 【解答】解：设中型车有x辆，小型车有y辆，根据题意，得 解得 答：中型车有20辆，小型车有30辆． 　 23．（8分）（2016•苏州）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同． （1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为　　； （2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率． 【解答】解：（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率=； 故答案为； （2）画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6， 所以点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率==． 　 24．（8分）（2016•苏州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． （1）证明：四边形ACDE是平行四边形； （2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD， ∴AE∥CD，∠AOB=90， ∵DE⊥BD，即∠EDB=90， ∴∠AOB=∠EDB， ∴DE∥AC， ∴四边形ACDE是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6， ∴AO=4，DO=3，AD=CD=5， ∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AE=CD=5，DE=AC=8， ∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18． 　 25．（8分）（2016•苏州）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式． 【解答】解：∵点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴． 解得：m=8，n=4． ∴反比例函数的表达式为y=． ∵m=8，n=4， ∴点B（2，4），（8，1）． 过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′． 在△BDP和△BDP′中， ∴△BDP≌△BDP′． ∴DP′=DP=6． ∴点P′（﹣4，1）． 将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得：， 解得：． ∴一次函数的表达式为y=x+3． 　 26．（10分）（2016•苏州）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF． （1）证明：∠E=∠C； （2）若∠E=55，求∠BDF的度数； （3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90，即AD⊥BC， ∵CD=BD， ∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC， ∴∠B=∠C， 又∵∠B=∠E， ∴∠E=∠C； （2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形， ∴∠AFD=180﹣∠E， 又∵∠CFD=180﹣∠AFD， ∴∠CFD=∠E=55， 又∵∠E=∠C=55， ∴∠BDF=∠C+∠CFD=110； （3）解：连接OE， ∵∠CFD=∠E=∠C， ∴FD=CD=BD=4， 在Rt△ABD中，cosB=，BD=4， ∴AB=6， ∵E是的中点，AB是⊙O的直径， ∴∠AOE=90， ∵AO=OE=3， ∴AE=3， ∵E是的中点， ∴∠ADE=∠EAB， ∴△AEG∽△DEA， ∴=， 即EG•ED=AE2=18． 　 27．（10分）（2016•苏州）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）． （1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为　　； （2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值； （3）请你继续进行探究，并解答下列问题： ①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧； ②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由． 【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90，AB=CD=6．AD=BC=8， ∴BD===10， ∵PQ⊥BD， ∴∠BPQ=90=∠C， ∵∠PBQ=∠DBC， ∴△PBQ∽△CBD， ∴==， ∴==， ∴PQ=3t，BQ=5t， ∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC， ∴QP=QC， ∴3t=6﹣5t， ∴t=， 故答案为． （2）解：如图2中，作MT⊥BC于T． ∵MC=MQ，MT⊥CQ， ∴TC=TQ， 由（1）可知TQ=（8﹣5t），QM=3t， ∵MQ∥BD， ∴∠MQT=∠DBC， ∵∠MTQ=∠BCD=90， ∴△QTM∽△BCD， ∴=， ∴=， ∴t=（s）， ∴t=s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形． （3）①证明：如图2中，由此QM交CD于E， ∵EQ∥BD， ∴=， ∴EC=（8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣（8﹣5t）=t， ∵DO=3t， ∴DE﹣DO=t﹣3t=t＞0， ∴点O在直线QM左侧． ②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E． ∵EC=（8﹣5t），DO=3t， ∴OE=6﹣3t﹣（8﹣5t）=t， ∵OH⊥MQ， ∴∠OHE=90， ∵∠HEO=∠CEQ， ∴∠HOE=∠CQE=∠CBD， ∵∠OHE=∠C=90， ∴△OHE∽△BCD， ∴=， ∴=， ∴t=． ∴t=s时，⊙O与直线QM相切． 连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH=PMQ=22.5， 在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5， ∴∠OFH=∠FOH=45， ∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8， ∴MH=0.8（+1）， 由=得到HE=， 由=得到EQ=， ∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣﹣=， ∴0.8（+1）≠，矛盾， ∴假设不成立． ∴直线PM与⊙O不相切． 　 28．（10分）（2016•苏州）如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′． ①写出点M′的坐标； ②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）． 【解答】解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3， ∴y=3， ∴B（0，3）， 把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4， ∴3=a+4， ∴a=﹣1， ∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3； （2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3， ∴0=﹣x2+2x+3， ∴x=﹣1或3， ∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3， ∵M在抛物线上，且在第一象限内， ∴0＜m＜3， 过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D， 由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3， ∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3， ∴x=， ∴D的坐标为（，﹣m2+2m+3）， ∴DM=m﹣=， ∴S=DM•BE+DM•OE =DM（BE+OE） =DM•OB =3 = =（m﹣）2+ ∵0＜m＜3， ∴当m=时， S有最大值，最大值为； （3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）； ②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F， 根据题意知：d1+d2=BF， 此时只要求出BF的最大值即可， ∵∠BFM′=90， ∴点F在以BM′为直径的圆上， 设直线AM′与该圆相交于点H， ∵点C在线段BM′上， ∴F在优弧上， ∴当F与M′重合时， BF可取得最大值， 此时BM′⊥l1， ∵A（1，0），B（0，3），M′（，）， ∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=， 过点M′作M′G⊥AB于点G， 设BG=x， ∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2， ∴﹣（﹣x）2=﹣x2， ∴x=， cos∠M′BG==， ∵l1∥l′， ∴∠BCA=90， ∠BAC=45 　  参与本试卷答题和审题的老师有：ZJX；sd2011；sks；王学峰；弯弯的小河；gsls；fangcao；zcx；张其铎；lantin；三界无我；wd1899；sjzx；szl；gbl210；1987483819；梁宝华；神龙杉（排名不分先后） 菁优网 2016年7月3日