中考数学重要公式(全归纳).doc

重要公式 代数部分 一．数与式 1. 2. 3. 4.,特别地， 5. 6. = 2.分母有理化 ① ② 3. 非负数的算术平方根 例：的算术平方根是 4.（1）①分式有意义，分母不为0,例如：要使有意义，则； ②如果分子分母中有开平方，则分子根号下的式子必须≥0，分母根号下的式子必须＞0， 例如：要使有意义，则3x+12≥0 解得x＞2 2x-4＞0 （2） 要使分式值为0，必须保证分子为0的同时分母不为0. 例如：的值为0，则，解得x=3 二．一元二次方程 1.一元二次方程求根公式： 2.根与系数的关系（韦达定理）： 若一元二次方程的两根分别为，则 3.△的作用 △ 一元二次方程 二次函数 ＞0 有两个不同的实数根 与x轴有两个不同的交点 ＝0 有两个相等的实数根 与x轴只有一个不同的交点 ＜0 无实数根 x轴无交点 三．函数 1.一次函数的图像和性质： 名称 K、b的符号 图像 经过象限 增减性 一次函数y=kx+b(k≠0，b≠0) k＞0 b＞0 一、二、三 y随x的增大而增大 b＜0 一、三、四 k＜0 b＞0 一、二、四 y随x的增大而减小 b＜0 二、三、四 正比例函数y=kx(k≠0) 【是特殊的一次函数】 k＞0 一、三 y随x的增大而增大 k＜0 二、四 y随x的增大而减小 2.（1）反比例函数的图像和性质 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图像 性质 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小. ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大. 对称性 ①的图象是轴对称图形，对称轴为或 ②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称，也关于y轴对称． （2）反比例函数中反比例系数的几何意义 ①过双曲线(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为. ②过双曲线(k≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三角形（如图）的面积为． ③双曲线(k≠0) 同一支上任意两点、与原点组成的 三角形（如图）的面积=直角梯形的面积． （3）正比例函数如果与反比例函数相交,交点坐标关于原点对称.（即：若正比例函数y=x与反比例函数y=相交于A(，)，B（，）两点，则点A与点B关于原点对称. 3.二次函数的图像和性质 (1)顶点式的图像和性质 a的符号 图像特征 函数性质 开口向上，图像有最低点（顶点），顶点（h,k）； 当x=h时，函数有最小值k. 是轴对称图形； 对称轴是直线x=h； 在对称轴的左边，图像从左至右呈下降趋势； 当x＜h时，y随x增大而减小； 在对称轴的右边，图像从左至右呈上升趋势； 当x＞h时，y随x增大而增大； 开口向下，图像有最高点（顶点），顶点（h,k）； 当x=h时，函数有最大值k. 是轴对称图形； 对称轴是直线x=h； 在对称轴的左边，图像从左至右呈上升趋势； 当x＜h时，y随x增大而增大； 在对称轴的右边，图像从左至右呈下降趋势； 当x＞h时，y随x增大而减小. 可知抛物线【】可由向右平移个单位，再向上平移个单位得到. 平移规律：左加右减，上加下减. （2）一般式的图像和性质 a的符号 图像特征 函数性质 开口向上，图像有最低点(顶点)，顶点（,）； 当x=时，函数有最小值. 是轴对称图形； 对称轴是直线x=； 在对称轴的左边，图像从左至右呈下降趋势； 当x＜时，y随x增大而减小； 在对称轴的右边，图像从左至右呈上升趋势； 当x＞时，y随x增大而增大； 开口向下，图像有最高点（顶点），顶点（,）； 当x=时，函数有最大值. 是轴对称图形； 对称轴是直线x=； 在对称轴的左边，图像从左至右呈上升趋势； 当x＜时，y随x增大而增大； 在对称轴的右边，图像从左至右呈下降趋势. 当x＞时，y随x增大而减小. 二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1）二次项系数 ① 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ②当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 即|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大. 【注：抛物线形状相同，指的是|a|相同】 （2）一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．（左同右异 b为0对称轴为y轴） 注意：当对称轴在y轴左侧时，a与b同号（即ab>0）；当对称轴在y轴右侧时，a与b异号（即ab＜0）. （3）常数项 ①当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ②当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ③当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置． 四．二次函数与一元二次方程的关系： 一元二次方程ax+bx+c=0是二次函数y=ax+bx+c当函数值y=0时的特殊情况. 当△＜0时，图象与x轴没有交点. ①当a＞0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y＞0； ②当a＜0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y＜0． 函数的平移（平移对一次函数来说不改变一次项系数k，对二次函数来说不改变二次项系数a） 1. 图像的平移和图像上点的平移（一样）：左减右加，上加下减. 2. 解析式的平移：左加右减，上加下减. ①一般式的平移：如将二次函数向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n＞0）个单位，得到 ②顶点式的平移：如将二次函数向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n＞0）个单位，得到 五．二次函数图像的三大变换（平移、轴对称、旋转） 抛物线解析式常见的三种形式 名称 解析式 使用范围 一般式 （a≠0） 已知任意三点 顶点式 （a≠0） 已知顶点（h,k）及另一点 交点式 （a≠0） 已知与x轴的两个交点（）、（）及另一个点 2.二次函数抛物线简单的图形变换 （1）顶点式【（a≠0）】 名称 a 顶点（h，k） 平移 a (h， k) ↓ ↓ 左加右减 上加下减 对 称 关于x轴对称 -a (h，-k) 关于y轴对称 a (-h，k) 关于原点对称 -a (-h，-k) 旋转（绕顶点旋转180） -a (h，k) （2）一般式【（a≠0）】 ①平移：如将二次函数向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n＞0）个单位，得到 ②对称 名称 a、b、c的变化 关于x轴对称 a→-a; b→-b; c→-c 关于y轴对称 a→不变；b→-b；c→不变 关于原点对称 a→-a；b→不变；c→-c 注：无论是平移、轴对称还是旋转，最好先把二次函数化成顶点式，然后再根据需要进行求解. 五．两点间距离公式 A()，B()是平面直角坐标系中的两点，那么A、B两点的距离为： |AB|= 六．两点关于一条直线对称：即这两点的连线被该直线垂直平分. 已知点A和A关于直线对称，则AA被直线垂直平分. 七．已知直线和直线， 若，则 八．三点共线，且中间的点是中点，则中间点的横坐标=，中间点的纵坐标= 【图形旋转180后求点的坐标常用到】 若A()，B()，M()共线，且M为线段AB的终点，则有 十．平均数、中位数、众数 平均数 （1）算术平均数：一般地，对于n个数那么 （2）加权平均数：，其中分别表示出现的次数，. 中位数：将n个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果n是奇数，则中间位置的数是中位数；如果n是偶数，则中间两个数的平均数是中位数. 众数：一组数据中出现次数最多的数据，可能不唯一.(也就是众数可能不止一个) 十一．方差和标准差 方差： 【其中，是样本数据，是样本容量，是样本平均数】 标准差（S）：是方差的算术平方根 无论是方差还是标准差,都可以反映数据的波动性，越大，数据越不稳定；越小，数据越稳定. 十二．一元一次不等式组解集的表示方法 十三．列表法或画树状图求随机事件的概率 1.利用树状图法求随机事件发生的概率，需备具两个条件： （1）两步或两步以上试验的事件发生的概率，且各种情况出现的总次数不是很大； （2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等． 2.利用列表法求随机事件发生的概率 （1）涉及两步试验的随机事件发生的概率，且各种情况出现的总次数不是很大； （2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等． 列表法注意事项 不放回实验：所列表格对角线上无数据； 放回实验：所列表格对角线上有数据. 注：列表或画图时，要注意不能遗漏任何一种等可能的结果，也不能重复列举． 游戏公平是否公平：看游戏双方获胜的机会是否相等. 3.用频率估计概率：当试验次数足够大时,频率将稳定在一个常数附近，此时可以用这个稳定的数值估计事件发生的概率. 几何部分 一．三角形 1.三角形的面积公式： ①（a是三角形的底，h是底所对应的高） ②(其中，三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为a，b，c) ③ ④（为高所在边的中位线） ⑤ （海伦公式）【其中，三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为a，b，c，】 ⑥(其中，R是外接圆半径) 注：边长为a的等边三角形的面积 2.三角形的四心： （1） 重心：三角形三条中线的交点叫做三角形重心. 性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. (2)外心 三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心. 过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，外心到三顶点距离相等. 这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形有且只有一个外接圆. (3)内心 三角形内心为三角形三条内角平分线的交点. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等.这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形有且只有一个内切圆. （4）垂心 三角形三边上的三条高或其延长线交于一点，称为三角形垂心. 锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.三角形只有一个垂心. （5） 直角三角形 性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.若∠BAC=90，则AB+AC=BC（勾股定理) 性质2:在直角三角形中，两个锐角互余.若∠BAC=90，则∠B+∠C=90 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径）. 性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.(等积法) 性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： （1）AD=BDDC； （2）AB=BDBC；（3）AC=CDBC 性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30. （5） 三角形全等证明方法： 一般三角形：SSS、SAS、ASA、AAS； Rt三角形：SSS、SAS、ASA、AAS、HL （6） 三角形相似 相似三角形的判定方法: 一般三角形 直角三角形 基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似. ①两角对应相等;（AA） ②两边对应成比例,且夹角相等;（SAS） ③三边对应成比例.(SSS) ①一个锐角对应相等; ②两条边对应成比例: a. 两直角边对应成比例; b. 斜边和一直角边对应成比例.(HL) 黄金分割：如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等； ②相似三角形的对应边成比例； ③相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ④相似三角形的周长比等于相似比； ⑤相似三角形的面积比等于相似比的平方. ※全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 【注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.】 基本类型 （7）比例的基本性质 比例的基本性质是. 将其进行变形，可以得到如下比例式： ①；②；③ 合比性质：如果； 等比性质：如果； 【如果】 （8）平行线分线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图：虽然图（1）和图(2)是两种形式，但是结论是相同的. 用数学表达式表示为： (简记为：)； (简记为：)； (简记为：)；(简记为：) 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. （9）位似图形 ①定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. ②性质 a.位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比； b.位似图形对应线段的比等于相似比； c.位似图形的对应角都相等； d.位似图形对应点连线的交点是位似中心； e.位似图形面积的比等于相似比的平方； f.位似图形高、周长的比都等于相似比； g.位似图形对应边互相平行或在同一直线上. ③给出一个图形和位似中心，在位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，最好做两个. 例如：如何把三角形ABC放大为原来的2倍? 二．三角函数 1.正弦值（sin）= 余弦值（cos）= 正切值（tan）= 【坡度或坡比即坡角的正切值】 2. 特殊角的三角函数值表 名称 0 30 45 60 90 sinα 0 1 cosα 1 0 tanα 0 1 不存在 3.图形记忆法： 三．四边形 （1）平行四边形的对角线分成的四个三角形面积相等； （2）对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半； （3）一般平行四边形与特殊平行四边形的关系： ①平行四边形+一个角是直角=矩形 平行四边形+对角线相等=矩形 ②平行四边形+一组邻边相等=菱形 平行四边形+对角线互相垂直=菱形 ③平行四边形+一组邻边相等+一个角等于90=正方形 平行四边形+对角线相等且互相垂直=正方形 四．多边形的性质 多边形 内角和定理 n边形的内角和=（n-2）180（n≥3） 外角和定理 n边形的外角和=360 对角线 过n（n≥3）边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线 正多边形 内角 每个内角= 对称轴 n条 五．圆 （1）圆的内接四边形对角互补. 圆的内接平行四边形是矩形. （2）圆的内接四边形中，面积和周长最大的四边形均是正方形；【注：四边形的四个角是任意度数时】 （3）圆的外切四边形对边之和相等；圆的外切平行四边形是菱形. （4）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. （与圆相切的直线，同圆内弦相交所形成的夹角叫做弦切角） 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半.等于它所夹的弧的圆周角度数. （5）弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数； ☆☆尺规作图：若要作60的角，必须先做等边三角形，再作该等边三角形的外接圆. （6）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理推论 推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平. 推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧. 推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧. 推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等. （7）切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等. （8） 圆外一点与圆上任意一点的距离： AO-r≤PA≤AO+r(A为⊙O外一点，r为⊙O半径，P为⊙O上任意一点) （9） 与圆有关的计算 弧长公式：①圆的周长:C=2πR ②弧长： 面积公式：①圆的面积： ②扇形的面积=