圆锥曲线第二定义.doc

圆锥曲线的二个定义（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与|FF|不可忽视。若|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如：已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A B C D（答：C）；方程表示的曲线是_（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_（答：2）一、求焦点弦长例1 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A（）、B（），若，求|AB|的长。解：设AB的中点为E，点A、E、B在抛物线准线l：上的射影分别为G、H、M。由第二定义知：。二、求离心率例2 设椭圆=1（ab0）的右焦点为，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长度等于F1到准线l1的距离，求椭圆的离心率。解：如图，AB是过F1垂直于x轴的弦，为F1到准线l1的距离，ADl1于D，则|AD|=|F1C|，由题意知。由椭圆的第二定义知：三、求点的坐标例3 双曲线的右支上一点P，到左焦点F1与到右焦点F2的距离之比为2：1，求点P的坐标。解：设点P（）（），双曲线的左准线为l1：，右准线为l2：，则点P到l1、l2的距离分别为。所以，解得。将其代入原方程，得。因此，点P的坐标为。4、 求焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。比如：1、点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_（答：）；2、抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为_（答：2）；3、椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_（答：）；五、求离心率的范围例4 已知椭圆，分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF2=90，求椭圆的离心率e的取值范围。解：设点P（），则由第二定义得，。因为为直角三角形，所以。即解得，由椭圆方程中x的范围知。，解得。五、求最值例5 已知点A（），设点F为椭圆的右焦点，点M为椭圆上一动点，求的最小值，并求此时点M的坐标。解：如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M。椭圆的离心率由第二定义得的最小值为|AN|的长，且的最小值为10，此时点M的坐标为（，）