2011届高三数学直线与圆的位置关系.ppt

第五节直线与圆 圆与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系 相切 0 d r d r d r 求过一定点的圆的切线方程时 应注意什么 提示 应首先判断这点与圆的位置关系 若点在圆上 则该点为切点 切线只有一条 若点在圆外 切线应有两条 谨防漏解 2 圆与圆的位置关系 外切 d R r d R r R r d R r d R r 1 2 1 0 0 答案 D 2 圆C1 x2 y2 2x 2y 2 0与圆C2 x2 y2 4x 2y 1 0的公切线有且仅有 A 1条B 2条C 3条D 4条 解析 C1 x 1 2 y 1 2 4 圆心C1 1 1 半径r1 2 C2 x 2 2 y 1 2 4 圆心C2 2 1 半径r2 2 C1C2 0 C1C2 r1 r2 4 两圆相交 有两条公切线 答案 B 3 设直线过点 0 a 其斜率为1 且与圆x2 y2 2相切 则a的值为 A B 2C 2D 4 答案 B 4 设直线ax y 3 0与圆 x 1 2 y 2 2 4相交于A B两点 且弦AB的长为2 则a 答案 0 5 若圆x2 y2 4上仅有一个点到直线x y b 0的距离为1 则实数b 解析 由已知可得 圆心到直线x y b 0的距离为3 3 b 3 答案 3 已知圆x2 y2 6mx 2 m 1 y 10m2 2m 24 0 m R 1 求证 不论m为何值 圆心在同一直线l上 2 与l平行的直线中 哪些与圆相交 相切 相离 3 求证 任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等 思路点拨 用配方法将圆的一般方程配成标准方程 求出圆心坐标 消去m就得关于圆心的坐标间的关系 就是圆心的轨迹方程 判断直线与圆相交 相切 相离 只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可 证明弦长相等时 可用几何法计算弦长 自主探究 1 配方得 x 3m 2 y m 1 2 25 方法点评 直线和圆的位置关系的判定有两种方法 1 第一种方法是方程的观点 即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组 转化为一元二次方程 再利用判别式 来讨论位置关系 即 0 直线与圆相交 0 直线与圆相切 0 直线与圆相离 2 第二种方法是几何的观点 即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断 即d r 直线与圆相交 d r 直线与圆相切 d r 直线与圆相离 1 已知圆的方程是x2 y2 2 直线y x b 当b为何值时 1 圆与直线有两个公共点 2 只有一个公共点 3 没有公共点 解析 方法一 圆心O 0 0 到直线y x b的距离为 2 当d r时 即b 2时 直线与圆相切 有一个公共点 3 当d r 即b 2或b 2时 直线与圆相离 无公共点 方法二 联立两个方程得方程组消去y得 2x2 2bx b2 2 0 16 4b2 1 当 0 即 2 b 2时 有两个公共点 2 当 0 即b 2时 有一个公共点 3 当 0 即b 2或b 2时无公共点 已知圆M x2 y2 2mx 2ny m2 1 0与圆N x2 y2 2x 2y 2 0交于A B两点 且这两点平分圆N的圆周 求圆M的圆心的轨迹方程 并求其中半径最小时圆M的方程 思路点拨 先由两圆方程求出直线AB的方程 则由题意知AB过N的圆心 半径最小可转化为圆心到AB的距离最小 自主探究 由圆M的方程知圆心M m n 又由方程组 两式相减得直线AB的方程为2 m 1 x 2 n 1 y m2 1 0 又AB平分圆N的圆周 所以圆N的圆心N 1 1 在直线AB上 2 m 1 1 2 n 1 1 m2 1 0 m2 2m 2n 5 0即 m 1 2 2 n 2 x 1 2 2 y 2 即为点M的轨迹方程 又由题意可知当圆M的半径最小时 点M到AB的距离最小 此时 MN 也最小 即最小值为1 此时m 1 n 2 故此时圆M的方程为 x 1 2 y 2 2 5 方法点评 1 判断两圆的位置关系常用几何法 即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系 一般不采用代数法 2 若两圆相交 则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2 y2项即可得到 3 两圆公切线的条数 1 两圆内含时 公切线条数为0 2 两圆内切时 公切线条数为1 3 两圆相交时 公切线条数为2 4 两圆外切时 公切线条数为3 5 两圆相离时 公切线条数为4 因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系 反过来知道两圆公切线的条数 也可以判断出两圆的位置关系 2 本例的条件不变 在圆半径最小的情况下 求过A B两点 且被A B两点截得的两段弧长之比为1 2的圆的方程 解析 由例2可知 当圆的半径最小时 m 1 n 2 直线AB方程为y 1 又圆M的圆心M 1 2 圆N的圆心N 1 1 直线MN的方程为x 1 可设所求圆的圆心P 1 y P到AB的距离d y 1 又由题意知 APB 120 而 AB 4 已知点M 3 1 直线ax y 4 0及圆 x 1 2 y 2 2 4 1 求过M点的圆的切线方程 2 若直线ax y 4 0与圆相切 求a的值 3 若直线ax y 4 0与圆相交于A B两点 且弦AB的长为2 求a的值 自主探究 1 圆心C 1 2 半径为r 2 当直线的斜率不存在时 方程为x 3 由圆心C 1 2 到直线x 3的距离d 3 1 2 r 知 此时 直线与圆相切 当直线的斜率存在时 设方程为y 1 k x 3 即kx y 1 3k 0 方法点评 1 求圆的切线方程一般有两种方法 1 代数法 设切线方程为y y0 k x x0 与圆的方程组成方程组 消元后得到一个一元二次方程 然后令判别式 0进而求得k 2 几何法 设切线方程为y y0 k x x0 利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d 然后令d r 进而求出k 两种方法 一般来说几何法较为简洁 可作为首选 特别提醒 在利用点斜式求切线方程时 不要漏掉垂直于x轴的切线 即斜率不存在时的情况 2 若点M x0 y0 在圆x2 y2 r2上 则过M点的圆的切线方程为x0 x y0y r2 3 圆的弦长的求法 3 已知点A 1 a 圆x2 y2 4 1 若过点A的圆的切线只有一条 求a的值及切线方程 2 若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2 求a的值 解析 1 由于过点A的圆的切线只有一条 则点A在圆上 故12 a2 4 a 1 2009年浙江高考 已知三角形的三边长分别为3 4 5 则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 A 3B 4C 5D 6 解析 边长为3 4 5的三角形内切圆半径为r 1 而半径为1的圆的圆心在圆心与三角形任一顶点连线上移动时 都会产生4个交点 故选B 答案 B 2 2009年陕西高考 过原点且倾斜角为60 的直线被圆x2 y2 4y 0所截得的弦长为 A B 2C D 2 解析 圆x2 y2 4y 0的圆心C 0 2 半径r 2 由图可知C到直线AO的距离为1 AO 2 故选D 答案 D 答案 A 4 2009年上海高考 过圆C x 1 2 y 1 2 1的圆心 作直线分别交x y正半轴于点A B AOB被圆分成四部分 如图 若这四部分图形面积满足S S S S 则这样的直线AB有 A 0条B 1条C 2条D 3条 解析 由图形可知 S S 为定值 S 增大时 S 减小 又S S S S 显然 S 是关于S 的一次函数且单调递增 S 既是 0 上关于S 的增函数 也是 0 上关于S 的减函数且S 0 由一次函数性质可知 同时满足两种情况的解唯一存在 故选B 答案 B 1 直线与圆的位置关系问题讨论直线与圆的位置关系问题时 要养成作图的习惯 运用数形结合的思想 综合代数的 几何的知识进行求解 一般说来 运用几何法解题运算较简便 但代数法更具一般性 2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系重点依据圆心距d和两圆半径r1 r2的关系判断 要注意两圆的位置关系与两圆公切线条数的依附关系 3 过交点的圆系问题对涉及过直线与圆 圆与圆的交点圆问题 可考虑利用过交点的圆系解决问题 在运算上往往比较简便 4 直线与圆相切时切线的求法 1 求过圆上的一点 x0 y0 的圆的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k 则由垂直关系 切线斜率为 由点斜式方程可求得切线方程 如果k 0或k不存在 则由图形可直接得切线方程为y y0或x x0 2 求过圆外一点 x0 y0 的圆的切线方程 几何方法 当k存在时 设切线方程为y y0 k x x0 即kx y kx0 y0 0 由圆心到直线的距离等于半径 可求得k 切线方程即可求出 代数方法 设切线方程为y y0 k x x0 即y kx kx0 y0 代入圆方程 得一个关于x的一元二次方程 由 0 求得k 切线方程即可求出 以上两种方法只能求斜率存在的切线 斜率不存在的切线 可结合图形求得 课时作业点击进入链接