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椭圆性质练习题 2 1 离心率为 32 长轴长为 6 的椭圆的标准方程是 A B 或195xy 2195xy 219xy C D 或 236036036 2 动点 P 到两个定点 4 0 4 0 的距离之和为 8 则 P 点的轨迹为 1F2F A 椭圆 B 线段 C 直线 D 不能确定21 3 已知椭圆的标准方程 则椭圆的焦点坐标为 0yx A B C D 10 3 3 0 4 已知椭圆 上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为 3 则 P 到另一焦点的距离 2159xy 是 A B 2 C 3 D 63 5 如果 表示焦点在 x 轴上的椭圆 则实数 a 的取值范围为 21xya A B C D 任意实数 R 2 1 2 6 关于曲线的对称性的论述正确的是 A 方程 的曲线关于 X 轴对称 20 xy B 方程 的曲线关于 Y 轴对称3 C 方程 的曲线关于原点对称221 D 方程 的曲线关于原点对称38 7 方程 a b 0 k 0 且 k 1 与方程 a b 0 表示的椭圆 2xyk 21xy A 有相同的离心率 B 有共同的焦点 C 有等长的短轴 长轴 D 有相同的顶点 8 已知椭圆 2 1 0 xyCab 的离心率为 32 过右焦点 F且斜率为 0 k 的直线与 相交于 AB 两点 若 3FB 则 k A 1 B C D 2 9若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 A 54 B 5 C 52 D 51 10 若点 O 和点 F 分别为椭圆 43xy 的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 则P A 的最大值为 A 2 B 3 C 6 D 8 11 椭圆 210 xyab 的右焦点为 F 其右准线与 x轴的交点为 A 在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F 则椭圆离心率的取值范围是 A 0 2 B 0 12 C 21 1 D 12 1 12 若直线 yxb 与曲线 34yx 有公共点 则 b 的取值范围是 A 1 B 3 C 1 D 1 3 二 填空题 本大题共 4 小题 共 16 分 13 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 14 椭圆 上一点 P 与椭圆两焦点 F1 F2 的连线的夹角为直角 则 Rt PF 1F2 的面 2149xy 积为 15 已知 F是椭圆 C的一个焦点 B是短轴的一个端点 线段 BF的延长线交 C于点 D 且 则 的离心率为 DB2 16 已知椭圆 2 1xcy 的两焦点为 12 F 点 0 Pxy满足 201xy 则 1PF 2 的 取值范围为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 已知点 M 在椭圆 上 M 垂直于椭圆焦点所在的直线 垂直为 2159xy P P 并且 M 为线段 的中点 求 点的轨迹方程P P 18 12 分 椭圆 的焦点分别是 和 已知椭圆的离心率 过中 21 045 45xym 1F2 53e 心 作直线与椭圆交于 A B 两点 为原点 若 的面积是 20 求 1 的值OO2ABm 2 直线 AB 的方程 19 12 分 设 1F 2分别为椭圆 2 1xyCab 0 的左 右焦点 过 2F的直线 l与椭 圆 C 相交于 A B两点 直线 l的倾斜角为 6 1F到直线 l的距离为 3 求椭圆 的焦距 如果 2F 求椭圆 C的方程 20 12 分 设椭圆 C 21 0 xyab 的左焦点为 F 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A B 两点 直线 l 的倾斜角为 60o 2AFB I 求椭圆 C 的离心率 II 如果 AB 154 求椭圆 C 的方程 21 12 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 B 与点 A 1 1 关于原点 O 对称 P 是动点 且 直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 13 求动点 P 的轨迹方程 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x 3 交于点 M N 问 是否存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的 面积相等 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 22 14 分 已知椭圆 21xyab a b 0 的离心率 e 32 连接椭圆的四个顶点得到的菱 形的面积为 4 求椭圆的方程 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点 A 的坐标为 a 0 i 若 42AB5 求直线 l 的倾斜角 ii 若点 Q y0 在线段 AB 的垂直平分线上 且 求 y0的值 4 QB 参考答案 1 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C C B C A B B C D D 8 命题意图 本试题主要考察椭圆的性质与第二定义 解析 设直线 l 为椭圆的有准线 e 为离心率 过 A B 分别作 AA1 BB 1 垂直于 l A 1 B 为垂足 过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E 由第二定义得 由 得 即 k 故选 B 9 10 解析 由题意 F 1 0 设点 P 0 xy 则有 20143xy 解得 22003 1 4xy 因为 0 1 Pxy 0 Oxy 所以 200 OF 0O 234 03 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 02x 因为 02x 所以当 0 x 时 PF 取得最大值 2364 选 C 命题意图 本题考查椭圆的方程 几何性质 平面向量的数量积的坐标运算 二次函数的 单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运算能力 11 解析 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点 F 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而 FA 22abc PF a c a c 于是 2b a c a c 即 ac c 2 b 2 ac c 2 22ac 12ca 或 又 e 0 1 故 e 1 2 答案 D 12 若直线 yxb 与曲线 234yx 有公共点 则 b 的取值范围是 A 12 B 1 3 C 1 D 2 3 二 填空题 本大题共 4 小题 共 16 分 13 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 14 椭圆 上一点 P 与椭圆两焦点 F1 F2 的连线的夹角为直角 则 Rt PF 1F2 的面 2149xy 积为 15 已知 F是椭圆 C的一个焦点 B是短轴的一个端点 线段 BF的延长线交 C于点 D 且B2D ur 则 的离心率为 3 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程与几何性质 第二定义 平面向量知识 考查了数形结合思想 方程思想 本题凸显解 析几何的特点 数研究形 形助数 利用 几何性质可寻求到简化问题的捷径 解析 1 如图 2 BFbca 作 Dy 轴于点 D1 则由 ur 得1 23OF 所以 13 2Oc 即 2Dcx 由椭圆的第二定义得 223 acFeca 又由 BF 得 23 a 解析 2 设椭圆方程为第一标准形式 21xyab 设 2 Dxy F 分 BD 所成的比为 2 22 303 0 11cc ccx bxy 代入294ba e 16 已知椭圆 2 1xcy 的两焦点为 12 F 点 0 Pxy满足 201xy 则 1PF 2 的取 值范围为 答案 2 0 解析 依题意知 点 P 在椭圆内部 画出图形 由数形结合可得 当 P 在原点处时12max PF 当 P 在椭圆顶点处时 取到 12max PF 为 故范围为 2 因为 0 xy在椭圆 1y 的内部 则直线0012xy 上的点 x y 均在椭圆外 故此直线与椭圆不可能有交点 故交点数为 0 个 二 填空题 13 14 24 15 3 16 2 035 xOyBF1D 三 解答题 17 解 设 点的坐标为 点的坐标为 由题意可知p pxym0 xy 因为点 在椭圆 上 所以有 00022yxy 2159 把 代入 得 所以 P 点的轨迹是焦点在 轴上 标准方0159x 21536xy y 程为 的椭圆 236y 18 解 1 由已知 得 53cea 435 c 所以 220mb 2 根据题意 设 则 212ABFBS A xy1212FBSy A 所以 把 代入椭圆的方程 得 所以 点的120Fc 4y y450y 3x B 坐标为 所以直线 AB 的方程为34 或 3xy 或 19 设 1 2分别为椭圆 2 1xyCab 0 的左 右焦点 过 2F的直线 l与椭圆 C 相 交于 A B两点 直线 l的倾斜角为 60 1F到直线 l的距离为 3 求椭圆 的焦距 如果 2FB 求椭圆 C的方程 解 设焦距为 c 由已知可得 1F到直线 l 的距离 32 c 故 所以椭圆 C的焦距为 4 设 1212 0 Axyy 由 题 意 知 直线 l的方程为 yx 联立 22242 3 3 abbab 得 解得 22123 3 babayy 因为 212 AFB 所 以 即 223 3 baba 得 2 4 5 而 所 以 故椭圆 C的方程为 1 9xy 20 设椭圆 C 2 0 ab 的左焦点为 F 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A B 两点 直线 l 的倾斜角为 60o AFB III 求椭圆 C 的离心率 IV 如果 AB 154 求椭圆 C 的方程 解 设 12 AxyB 由题意知 1y 0 2 0 直线 l 的方程为 3 xc 其中 2ab 联立 2 3 1yxcab 得 2224 30aby 解得 22123 3 ccayb 因为 AFB 所以 12y 即 223 3 bcacab 得离心率 e 6 分 因为 213ABy 所以 24315ab 由 23ca 得 5ba 所以 154 得 a 3 5b 椭圆 C 的方程为 29xy 12 分 21 2010 北京理数 19 本小题共 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 B 与点 A 1 1 关于原点 O 对称 P 是动点 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 13 求动点 P 的轨迹方程 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x 3 交于点 M N 问 是否存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的 面积相等 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 I 解 因为点 B 与 A 1 关于原点 O对称 所以点 B得坐标为 1 设点 的坐标为 xy 由题意得 13 化简得 24 1 xyx 故动点 P的轨迹方程为 24 1 yx II 解法一 设点 的坐标为 0 点 M N得坐标分别为 3 My N 则直线 A的方程为 01 1 yx 直线 BP的方程为 01x 令 3x 得 043Myx 023N 于是 PNA得面积 2002 1 3 21MNxyxSy 又直线 B的方程为 x AB 点 P到直线 A的距离 0 2yd 于是 的面积 01 2PABSdxy 当 MNAA时 得 2002 3 1x 又 0 xy 所以 2 3 0 1 x 解得 05 3x 因为 204y 所以 09y 故存在点 P使得 AB与 PMN的面积相等 此时点 P的坐标为 53 9 解法二 若存在点 使得 与 A的面积相等 设点 的坐标为 0 xy 则 11 sin sin22MN A 因为 siPBN 所以 M 所以 00 1 3 xx 即 20 解得 053 因为 2034xy 所以 09y 故存在点 PS 使得 AB与 PMN的面积相等 此时点 P的坐标为 53 9 22 已知椭圆 21xyab a b 0 的离心率 e 32 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 为 4 求椭圆的方程 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点 A 的坐标为 a 0 i 若 42AB5 求直线 l 的倾斜角 ii 若点 Q y0 在线段 AB 的垂直平分线上 且 QB 4 A 求 y0的值 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 两点间的距离公式 直线的倾斜角 平面向量等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合 的思想 考查综合分析与运算能力 满分 14 分 解 由 e 32ca 得 24ac 再由 22ab 解得 a 2b 由题意可知 1b 即 ab 2 解方程组 2a 得 a 2 b 1 所以椭圆的方程为 214xy i 解 由 可知点 A 的坐标是 2 0 设点 B 的坐标为 1 xy 直线 l 的斜率为 k 则直线 l 的方程为 y k x 2 于是 A B 两点的坐标满足方程组 2 1 4ykx 消去 y 并整理 得222 14 6 1 0kxk 由 12 得 2184x 从而 124ky 所以 222 kkABk 由 42 5 得 2145k 整理得 423930k 即 22 1 3 0k 解得 k 1 所以直线 l 的倾斜角为 4 或 ii 解 设线段 AB 的中点为 M 由 i 得到 M 的坐标为 228 14k 以下分两种情况 1 当 k 0 时 点 B 的坐标是 2 0 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 于是 002 2 QAyy 由 4QA 得 y2 0 2 当 0k 时 线段 AB 的垂直平分线方程为 221844kkyx 令 x 解得 02614ky 由 2 QA 10 Bxy 21010 2228646411kkxy 42654k 整理得 27k 故 17k 所以 02145y 综上 0y或 0245y