概率论第三章习题解答.doc

第三章习题解1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中任取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。定义随机变量，如下：试分别就（1），（2）两种情况写出，的联合分布律。解（1）放回抽样 由于每次抽取时都是12只开关，第一次取到正品有10种可能，即第一次取到正品的概率为，第一次取出的是次品的概率为同理，第二次取到正品的概率第二次取到次品的概率为由乘法公式得，的联合分布率为，。具体地有， ，用表格的形式表示为0101（2）不放回抽样，因为第二次抽取时，箱子里只有11只开关，当第一次抽取的是正品，则箱子中有9只正品）。所以，则， ，用表格表示为01012（1）盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数，求X和Y的联合分布律。（2）在（1）中求，。解X可能的取值为0，1，2，3；Y的可能取值为0，1，2。（因为盒子里总共只有7只球，每次取4只球，而红球2只，故不可能白球和黑球同时都取不到），。， ， ，其联合分布律为01230120000（2）；。3设随机变量的概率密度为（1）确定常数；（2）求；（3）求；（4）。解由得令，得。（2）（积分区域为，）。4 设，是非负的连续型随机变量，它们相互独立。（1）证明，其中是的分布函数，是的概率密度。（2）设，相互独立，其概率密度分别为，求。解（1）因为，是非负的连续型随机变量，且相互独立，所以，在区域内（分部积分）（2）5设随机变量具有分布函数，求边缘分布函数。解当时其它情形，即。同理当时其它情形，即。6将一枚硬币掷三次，以X表示前两次中出现H的次数，以Y表示3次中出现H的次数，求X，Y的联合分布律以及的概率密度。解将一枚硬币掷三次，其H和T出现的情况为HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTTX的取值为0,1，2，Y的取值为0，1,2，3则（TTT），（TTH），（HTT，THT）（HHT，THH）（HHT）（HHH）01201230000007设二维随机变量的概率密度为求边缘概率密度。解当时当时8设二维随机变量的概率密度为求边缘概率密度解当时，于是当时于是9设二维随机变量的概率密度为（1）确定常数；（2）求边缘概率密度 解（1）因为令，得。即（2）当时于是当时于是10某一医药公司8月份和9月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X和Y。据以往积累的资料知X，Y的联合分布律为515253545551525354550.660.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.03（1）求边缘分布律；（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件概率。解（1）边缘概率515253545551525354550.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.030.180.150.350.120.200.280.280.220.090.13（2）由条件概率计算公式，得515253545511以X记某医院一天出生的婴儿的个数，Y记其中男婴的个数。设X和Y的联合分布律为，（1）求边缘分布律；（2）求条件分布律；（3）写出时的条件分布律。解因为Y记录的是男婴的个数，他是当天出生全体婴儿的一个子集，故，。（令）（），。（2）求条件概率。（3），。12求1例1中的条件分布律。解1例1设随机变量在1,2，3,4四个整数中等可能的取一值，另一个随机变量在中等可能的取一个整数值，则的分布律为12341234000000其对应的边缘分布12341234000000其对应的条件分布律为由得：，即11同理，由得：，即12由得：，即123由得，即123413在第9题中（1）求条件概率密度，特别，写出当时的条件概率密度；（2）求条件概率密度，特别，写出当，时的条件概率密度。解因为，（1）。特别地，时的条件概率密度（2）特别地，当时的条件概率密度，当时的条件概率密度14设随机变量的概率密度为求条件概率密度。解（）当时，当时，于是对应的边缘概率密度为（）当时，当时，对应的边缘分布概率密度15设随机变量，当给定时，随机变量的条件概率密度为求（1）和的联合概率密度；（2）求边缘概率密度；（3）求解由乘法公式知又因为随机变量，即，所以（2）。（3） 16（1）问第1题中的两个随机变量和是否相互独立。（2）问第14题中的两个随机变量和是否相互独立。解（1）第1题的两个随机变量为（放回抽样和不放回抽样），对于放回抽样来说，由于样本空间的样本没有变化，所以第一次抽取的结果并不影响第二次抽取的结果，所以两个随机变量和是相互独立的。对于不放回抽样来说，由于样本空间的样本发生了变化，所以第一次抽取的结果对第二次抽取的结果有影响，所以两个随机变量和不是相互独立的。（2）因为两个边缘密度分别为当时，当时，而，所以和不是相互独立的。17（1）设随机变量具有分布函数，。证明和相互独立。（2）设随机变量具有分布律，和均为正整数。问和是否相互独立。解因为（只有时才有，此时的表达式不含）；所以，即和相互独立。(2)因为， ,所以即和相互独立。具体地，其联合分布律（列表）如下： 1 2 3 n 1 23n ；一般地123 123 由此可知和是相互独立的。18 设和是两个相互独立的，在区间上服从均匀分布，的概率密度为，（1）求和的联合概率密度；（2）设有有二次方程，试求有实根的概率。解（1）因为在区间上服从均匀分布，所以又和是两个相互独立的，故其联合分布概率密度为（2）方程有的充分必要条件是，即。 19进行打靶，设弹着点的坐标和相互独立，且都服从分布，规定：点落在区域得2分；点落在区域得1分点落在区域得0分；以记打靶的得分，写出，的联合概率密度，并求的分布律。解（1）因为和相互独立，且都服从分布，所以，的联合概率密（2）以记打靶的得分，求的分布律因为的取值为0，1，2用极坐标计算：令，则，代入上式，得 ； 即 0 1 2 20设和相互独立的随机变量，其概率密度分别为，其中，是常数，引入随机变量（1）求条件概率密度；（2）求的分布律和分布函数。解（1）和相互独立的随机变量，所以（2）和相互独立的随机变量因为，所以其联合分布密度为。即 0 1 21设随机变量的概率密度为分别求（1），（2）的概率密度。解设所求的概率密度为，因为（1）（）显然只有当时，。而使的与的变化范围：当，即时，中的被积函数不等于0即也可以用分布函数求设的分布函数为，则当时，；当时，其中当时，因为只在矩形区域上不等于0，故其中（位于矩形区域的右上的三角形区域）当时，所以由此知的概率密度为。(2) 由教材之（5.8）知当时其概率密度为 又仅当，即时，上述积分的被积函数不。由此可得即。22设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为，求随机变量的概率密度。解由卷积公式知的概率密度为当时，；当时，当时，由知。即23某种商品一周的需求是一个随机变量，其概率密度为设各周的量是相互独立的，求（1）两周，（2）三周的需求量的概率密度。解设第一周的需求量为，第二周的需求量为，则，。两周的需求量，当时， 故（2）设三周的需求量为，则由（1）知当时故。24设随机变量的概率密度为（1）问和是否相互独立？（2）求的概率密度。解因为故的概率密度为同理的概率密度为所以不等于。即和不是相互独立的。（2）由教材3.5公式（5.1）知而上述被积函数只有当，即时才不等于0。所以。25设随机变量，相互独立，且具有的分布，它们的概率密度均为求的概率密度。解因为，相互独，所以，由卷积公式得而，仅当，即时，上述卷积不为0于是。26设随机变量，是相互独立的，它们的概率密度均为求的概率密度。解由教材公式（5.7）知的概率密度为而，所以又仅当，即时，上述积分不等于0，于是当时有于是。27设随机变量和相互独立，它们都在区间服从均匀分布。是以和为边长的矩形的面积，求的分布概率密度。解由于面积是随机变量和的乘积，即，所以也是随机变量。问题实际上就是要求在和的边缘分布概率密度时的概率密度。因为，由于随机变量和相互独立，所以又只有当，即时上述积分才不等于0。时于是。28设随机变量和相互独立，它们都服从正态分布，试验证随机变量具有概率密度（称为服从参数为的瑞利（Rayleigh）分布）解由于随机变量和独立同分布，有当时，是不可能事件，；当时，其中。所以当时，即随机变量服从参数为的瑞利（Rayleigh）分布。29设随机变量的概率密度为（1）试确定常数；（2）求边缘概率密度，（3）求函数的分布函数。解（1）确定常数因为所以（2）求边缘概率密度，因为所以，。同理（）。即；。（3）求函数的分布函数由于，故与相互独立。于是。30设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从分布，随机地抽取4只，求其中没有只寿命小于180的概率。解随机地取4只，其寿命记作，由题设知，它们是独立同分布的，且，。记，事件“随机地抽取4只没有只寿命小于180”即（由教材公式（5.14）31对某种电子装置的输出测量了5次，得到的结果为，设它们是相互独立的随机变量且都服从参数为的瑞利分布，（1）求的分布函数；（2）求；解（1）因为，是相互独立且都服从参数为的瑞利分布即所以（2）（注：，）。32设随机变量和相互独立且服从同一分布，试证明：，（）。证明（和相互独立）（和同分布） 33设随机变量和相互独立，其分布律为证明随机变量的分布律为证明因为随机变量和相互独立，则，所以，。34设和相互独立的随机变量，证明证明因为和相互独立的随机变量，故所以（是牛顿二项式的一般项。），即（服从参数为的泊松分布。）35设，证明证明因为和相互独立的随机变量，且，则。即。36设随机变量的分布律01234501230.000.010.010.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.05（1） 求，；（2） 求的分布律；（3） 求的分布律；（4） 求的分布律。解由所给分布律可得对应的边缘分布律：01234501230.000.010.030.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.050.250.260.250.240.030.080.160.210.240.28（1）。（2）由此得；01234500.030.160.280.240.29（3）即01230.280.300.250.17（3）求的分布律因为，所以即01234567800.020.060.130.190.240.190.120.05注2012年2月2日晚23：05分完成本章全部习题解答。