条件概率的计算公式.ppt

概率论与数理统计 1 4条件概率的计算公式 一 条件概率的概念 例1 4 1一只盒子里混有100只新旧乒乓球 各有黄白两色 分类如下 从盒子中随机取出一个球 若记A 从盒子中随机取出一个球 该球为新球 若事先知道取出的是黄球 则上述概率为 记B 从盒子中随机取出一个球 该球为黄球 条件概率的定义 条件概率的性质 例1 4 2 某种灯泡用5000小时未坏的概率为 用10000小时未坏的概率为 现有一只这种灯泡已用了5000小时未坏 问它能用到10000小时的概率是多少 解 设B 灯泡用到5000小时 A 灯泡用到10000小时 我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时 即 所以AB A 这表明 用了5000小时的灯泡再用到10000小时的可能性比没有用过的新灯泡用到10000小时的可能性大 这是很自然的 因为前者已经剔除了那些没有用到5000小时的质量较次的灯泡 二 乘法公式 若 由条件概率定义 可得 上式称为事件概率的乘法公式 它可推广到任意有限个事件 设为任意n个事件 满足 例1 4 3甲 乙两市都位于长江下游 据一百多年来的气象记录 知道在一年中的雨天的比例甲市占20 乙市占18 两地同时下雨占12 求 1 两市至少有一市是雨天的概率 2 乙市出现雨天的条件下 甲市也出现雨天的概率 3 甲市出现雨天的条件下 乙市也出现雨天的概率 解 例1 4 4 有一张电影票 7个人抓阄决定谁得到它 问第i个人抓到票的概率是多少 i 1 2 7 解 设 第i个人抓到票 i 1 2 7 如果第二个人抓到票的话 必须第一个人没有抓到票 这就是说 所以 于是可以利用概率的乘法公式 因为在第一个人没有抓到票的情况下 第二个人有希望在剩下的6个阄中抓到电影票 所以 类似可得 例1 4 5 设在一盒子中装有10只球 4只黑球 6只白球 在其中取两次 每次任取一只 作不放回抽样 问两次都拿到白球的概率是多少 解法一 用古典概型来做 设A 两次都拿到白球 解法二 用乘法公式来做 设B 第一次拿到白球 A 第二次拿到白球 AB 两次都拿到白球 三 全概率公式 例1 4 6有外形相同的球分别装两个袋子 设甲袋有6只白球 4只红球 乙袋中有3只白球6只红球 现在先从每袋中各任取一球再从取出的二球中任取一球 求此球是白球的概率 在较复杂情况下直接计算P A 不易 但A总是伴随着某个Ai出现 例如A是由原因Ai所引起 则A发生的概率是 P ABi P Bi P A Bi 每一原因都可能导致A发生 故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和 全 部概率P A 被分解成了许多部分之和 由以上两例看出 当求某一事件A的概率比较困难 而求条件概率比较容易时 可先设法将这个事件A分成几个互不相容事件的和 再利用加法公式和乘法公式解之 定理 设为一列互不相容的事件 且 则对任一事件A 有 证明见书 上述公式称为全概率公式 A B1 B2 B3 Bn 全概率公式的来由 不难由上式看出 全 部概率P A 被分解成了许多部分之和 当有了新的信息 知道A发生 人们对诸事件发生可能性大小P Bi A 作新的估计 i 1 2 3 定理 设为一列互不相容的事件 且有 对任意的事件B 则有 这个公式称为贝叶斯公式 逆概公式 四 贝叶斯公式 逆概公式 在贝叶斯公式中 P Bi 和P Bi A 分别称为原因的验前概率和验后概率 P Bi i 1 2 n 是在没有进一步信息 不知道事件A是否发生 的情况下 人们对诸事件发生可能性大小的认识 当有了新的信息 知道A发生 人们对诸事件发生可能性大小P Bi A 有了新的估计 练 1 盒中有12只乒乓球 其中9只是没有用过的新球 第一次比赛时任取3只使用 用毕返回 第二次比赛时任取3只球 1 求第二次取出的全是新球的概率 2 若已知第二次取出的都是新球 求第一次取出的都是新球的概率 解 设 第一次取出的3只球都是旧球 第一次取出的3只球中有1只新球 第一次取出的3只球中有2只新球 第一次取出的3只球都是新球 B 第二次取出的都是新球 2 某工厂有1 2 3三个车间 它们生产同一种螺钉 其产量分别占总产量的25 35 40 每个车间的成品中 次品占产品的5 4 2 现从全部螺钉中抽取一个产品 求 1 它是次品的概率 2 若已知它是次品 它是1 2 3车间所生产的概率 解 设 抽到的是i车间的产品 B 抽到的产品是次品 3 子弹爆炸时产生大 中 小三种弹片 大 中 小三种弹片打中坦克的概率分别等于大 中 小三种弹片数量之比1 3 6 若大 中 小三种弹片击中坦克则其击穿坦克的概率分别为0 9 0 2 0 05 求 1 击穿坦克的概率 2 若已知坦克被击穿 分别是由大 中 小三种弹片击穿的概率 解 设B 坦克被击穿 表示坦克分别被大 中 小三种弹片击中 1 两台机床加工同样的零件 第一台出废品的概率是0 03 第二台出废品的概率是0 02 加工出来的零件放在一起 并已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍 求任意取出的零件是废品的概率 0 027 2 播种用的一等小麦种子中混合2 的二等种子 1 5 的三等种子 1 的四等种子 用一 二 三 四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别是0 5 0 15 0 1 0 05 求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率 0 4825 练习