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习题1 解答1写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。解： ，其图形是平面上之椭圆。 ，其图形是平面与圆柱面之交线，为一椭圆。2设有定圆与动圆，半径均为，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点所描曲线的矢量方程。解：设点的矢径为，与轴的夹角为；因有则故4求曲线的一个切向单位矢量。解：曲线的矢量方程为则其切向矢量为 模为 于是切向单位矢量为6求曲线在处的一个切向矢量。解：曲线矢量方程为 切向矢量为在处， 7.求曲线 在对应于 的点M处的切线方程和法平面方程。 解：由题意得曲线矢量方程为在的点M处，切向矢量于是切线方程为于是法平面方程为，即 8求曲线上的这样的点，使该点的切线平行于平面。解：曲线切向矢量为， 平面的法矢量为，由题知 得。将此依次代入式，得故所求点为 习题2 解答1说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。解：场所在的空间区域是除外的空间。等值面为，这是与平面平行的空间。场所在的空间区域是除原点以外的的点所组成的空间部分。等值面为，当时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）；当时，是除原点外的平面。2求数量场经过点的等值面方程。解：经过点等值面方程为，即，是除去原点的旋转抛物面。3已知数量场，求场中与直线相切的等值线方程。 解：设切点为，等值面方程为，因相切，则斜率为 ，即点在所给直线上，有解之得故4求矢量的矢量线方程。解 矢量线满足的微分方程为， 或 有解之得5.求矢量场通过点的矢量线方程。解 矢量线满足的微分方程为由，按等比定理有即解得故矢量线方程为又求得故所求矢量线方程为习题3 解答1求数量场在点处沿的方向导数。解：因，其方向余弦为在点处有所以2求数量场在点处沿曲线朝增大一方的方向导数。解：所求方向导数，等于函数在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点M所对应的参数为,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为，其方向余弦为又。于是所求方向导数为3求数量场在点处沿哪个方向的方向导数最大？解： 因， 当时，方向导数最大。即函数沿梯度方向的方向导数最大最大值为。4.画出平面场中的等值线，并画出场在与点处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向增大的方向。解：所述等值线的方程为：其中第一个又可以写为为二直线，其余的都是以轴为实轴的等轴双曲线（如下图,图中）由于故由图可见，其图形都符合所论之事实。5用以下二法求数量场在点处沿其矢径方向的方向导数。 直接应用方向导数公式； 作为梯度在该方向上的投影。解：点P的矢径其模其方向余弦为又所以 故 6，求数量场在点与点处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为0？解：其模依次为：于是的方向余弦为的方向余弦为求使之点，即求坐标满足之点，由此解得故所求之点为7通过梯度求曲面上一点处的法线方程。解：所给曲面可视为数量场的一张等值面，因此，场在点处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即 故所求的法线方程为8求数量场在点处等值面朝轴正向一方的法线方向导数。 解：因梯度与夹角为钝角，所以沿等值面朝轴正向一方的法线方向导数为 习题 41.设S为上半球面求矢量场向上穿过S的通量。【提示：注意S的法矢量n与r同指向】解：2.设S为曲面求流速场在单位时间内下侧穿S的流量Q。解： 其中D为S在xOy面上的投影区域：用极坐标计算，有3.设S是锥面在平面的下方部分，求矢量场向下穿出S的通量。解：略4.求下面矢量场A的散度。（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）5.求在给定点处的值：（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）， 故。6.已知求。解：故 7求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量：（1）（2）解：（1）其中为S所围之球域今用极坐标计算，有（2）。 习题五1 求一质点在力场的作用下沿闭曲线从运动一周时所做的功。解：功 2.求矢量场沿下列曲线的环量：（1）圆周；（2）圆周。解：（1）令，则圆周的方程成为，于是环量（2）令，则圆周的方程成为，于是环量3.用以下两种方法求矢量场在点M（1,2,3）处沿方向的环量面密度。（1）直接应用环量面密度的计算公式；（2）作为旋度在该方向上的投影。解：（1）故的方向余弦为又根据公式，环量面密度(2)于是 4用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。（1）（2）（3）解：（1）故有（2）故有（3）故有。5.已知求解：,有6.已知求解：故有 习题 六1.证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。（1）（2）解：（1）记则所以A为有势场。下面用两种方法求势函数：公式法： 不定积分法：因势函数满足，即有将第一个方程对积分，得对求导，得，与第二个方程比较，知于是从而再对求导，得与第三个方程比较，知，故所以（2）记则所以A为有势场。下面用两种方法求势函数：公式法： 不定积分法：因势函数满足，即有将第一个方程对积分，得对求导，得，与第二个方程比较，知于是从而再对求导，得与第三个方程比较，知，故所以2.下列矢量场A是否保守场？若是，计算曲线积分：（1），的起点为终点为（2），的起点为终点为解：（1）有故为保守场。因此，存在。按公式于是。（2）有故为保守场。因此，存在。按公式于是。3.求下列全微分的原函数：（1）（2）解：由公式（1） ；（2）。9.证明矢量场为调和场，并求其调和函数。解：，有故A为调和场。其调和函数由公式10.已知【提示：】解：则13.试证矢量场为平面调和场，并且：（1）求出场的力函数和势函数；（2）画出场的力线和等势线的示意图。证：记则有故为平面调和场。（1）由公式，并取其中，则势函数 力函数 （2）分别令与等于常数，就得到力线方程： ，等势线方程： 二者均为双曲线族，但对称轴相差角。如上图所示。 14.已知平面调和场的力函数 ，求场的势函数及场矢量.解：力函数与势函数之间满足以下关系：由有由此，又与前式相比可知所以故势函数于是。场矢量 习题 八2 计算下列曲线坐标系中的拉梅系数。（1） 曲线坐标，它与直角坐标的关系是：（2）曲线坐标，它与直角坐标的关系是：解：（1）因曲线坐标系是正交的，根据有 于是 ，故拉梅系数为：，（或）。（2）因曲线坐标系不是正交的，故不能用上面的方法来求。根据按定义有由此得拉梅系数为：
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