线性代数试题及答案.doc

2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A)考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的（ A） () 列向量组线性无关， （） 列向量组线性相关， （）行向量组线性无关， （） 行向量组线性相关2向量线性无关，而线性相关，则（ C ）。 () 必可由线性表出， （）必不可由线性表出，（）必可由线性表出， （）必不可由线性表出.3. 二次型，当满足（ C ）时，是正定二次型 ()；（）；（）；（）4初等矩阵（A）；() 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（） 所对应的行列式的值都等于1；（） 相乘仍为初等矩阵； （） 相加仍为初等矩阵5已知线性无关，则（C ）A. 必线性无关；B. 若为奇数，则必有线性相关；C. 若为偶数，则必有线性相关；D. 以上都不对。二、填空题（每小题3分，共15分）6实二次型秩为2，则 7设矩阵，则 8设是阶方阵，是的伴随矩阵，已知，则的特征值为 。9行列式=_ _;10. 设A是43矩阵，若，则=_；三、计算题（每小题10分，共50分）11求行列式的值。 12设矩阵，矩阵满足，求。13 求线性方程组的通解。14已知，求出它的秩及其一个最大无关组。15.设为三阶矩阵，有三个不同特征值依次是属于特征值的特征向量，令, 若，求的特征值并计算行列式.四、解答题（10分）16. 已知，求五、证明题（每小题5分，共10分）17.设是非齐次线性方程组的一个特解，为对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：向量组线性无关。18. 已知与都是阶正定矩阵，判定是否为正定矩阵，说明理由.2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考 考试时间：2011.5.28 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1设为阶矩阵，下列运算正确的是（ ）。 A. B. C. D. 若可逆，则；2下列不是向量组线性无关的必要条件的是（ ）。A都不是零向量; B. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C. 中任意两个向量都不成比例; D. 中任一部分组线性无关;3. 设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的（ ）。A列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关；C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关；4 如果（ ），则矩阵A与矩阵B相似。A. ； B. ； C. 与有相同的特征多项式； D. 阶矩阵与有相同的特征值且个特征值各不相同；5二次型，当满足（ ）时，是正定二次型。A. ； B. ； C. ； D. 。二、填空题（每小题3分，共15分）6设，则 ；7设 为行列式中元素的代数余子式，则 ；8= ；9已知向量组线性无关，则向量组的秩为 ；10. 设为阶方阵， ， 且， 则的一个特征值 ；三、计算题（每小题10分，共50分）11设，求。12设三阶方阵，满足方程，试求矩阵以及行列式，其中。13已知，且满足，其中为单位矩阵，求矩阵。14取何值时，线性方程组无解，有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时，求通解。15.设，求该向量组的秩和一个极大无关组。四、解答题（10分）16已知三阶方阵的特征值1，2，3对应的特征向量分别为，。其中：，。（1）将向量用，线性表示；（2）求，为自然数。5、 证明题（每小题5分，共10分）17设是阶方阵，且，；证明：有非零解。18 已知向量组(I) 的秩为3，向量组(II) 的秩为3，向量组(III) 的秩为4，证明向量组的秩为4。2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考 考试时间：2010.12.19一、单项选择题（每小题3分，共15分）1满足下列条件的行列式不一定为零的是（ ）。(A）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;（B）行列式中有两行（列）元素完全相同; （C）行列式中有两行（列）元素成比例; （D）行列式中等于零的个数大于个.2下列矩阵中（ ）不满足。(A）; （B）; （C）; （D）.3. 设为同阶可逆方阵,则( )。(A)； (B) 存在可逆矩阵；(C) 存在可逆矩阵； (D) 存在可逆矩阵.4向量组线性无关的充分必要条件是（ ）（A）均不为零向量；（B）中有一部分向量组线性无关；（C）中任意两个向量的分量不对应成比例；（D）中任意一个向量都不能由其余个向量线性表示。5零为方阵A的特征值是A不可逆的（ ）。（A）充分条件； （B）充要条件; （C）必要条件; （D）无关条件;二、填空题（每小题3分，共15分）6设，则= ；7已知设则 ；8设是三阶方阵，且，则 ；9已知向量组则该向量组的秩为 ;10. 已知，且于相似，则 。三、计算题（每小题10分，共50分）11 12 12已知3阶非零矩阵的每一列都是方程组 的解.求的值；证明.13设3阶矩阵满足等式,其中 求矩阵。14求向量组 的秩及最大无关组。15. 设1.求二次型所对应的矩阵； 2. 求的特征值和对应的特征向量。四、解答题（10分）16 ， 已知向量试讨论为何值时（1）不能用线性表示；（2）可由唯一地表示，并求出表示式；（3）可由表示，但表示式不唯一，并求出表示式。五、证明题（每小题5分，共10分）17设是一组维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示。18设为对称矩阵，为反对称矩阵，且可交换，可逆，证明：是正交矩阵。武汉科技大学2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1设为阶矩阵，下列运算正确的是（ D ）。A. B. C. D. 若可逆，则；2下列不是向量组线性无关的必要条件的是（ B ）。A都不是零向量; B. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C. 中任意两个向量都不成比例; D. 中任一部分组线性无关;3. 设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的（ A ）。A列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关；C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关；4 如果（ D ），则矩阵A与矩阵B相似。A. ； B. ； C. 与有相同的特征多项式； D. 阶矩阵与有相同的特征值且个特征值各不相同；5二次型，当满足（ C ）时，是正定二次型A. ； B. ； C. ； D. 。二、填空题（每小题3分，共15分）6设，则；7设 为行列式中元素的代数余子式，则 -1 ；8=；9已知向量组线性无关，则向量组的秩为 2 ；10. 设为阶方阵， ， 且， 则的一个特征值 -3 ；三、计算题（每小题10分，共50分）11设，求。解： 5分10分12设三阶方阵，满足方程，试求矩阵以及行列式，其中。解：由，得，即 3分由于， ，6分 ，8分所以。10分13已知，且满足，其中为单位矩阵，求矩阵。解：因为，所以可逆，2分由，得，故，即，4分不难求出 ,8分因此 。10分14取何值时，线性方程组无解，有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时，求通解。解：由于方程个数等于未知量的个数，其系数行列式；3分1.当时，有，原方程组无解；5分2.当时，有，所以原方程的通解为8分3.当时，方程组有唯一解。10分15.设，求该向量组的秩和一个极大无关组。解：6分所以向量组的秩为2，8分因为任意两个向量均不成比例，所以任意两个向量都是该向量组的一个极大无关组。10分四、解答题（10分）得 分16已知三阶方阵的特征值1，2，3对应的特征向量分别为，。其中：，。（1）将向量用，线性表示；（2）求，为自然数。解：（1）把用线性表示，即求解方程 故。5分（2）10分五、证明题（每小题5分，共10分）17设是阶方阵，且，；证明：有非零解。证明：，2分，4分所以有非零解。5分18 已知向量组(I) 的秩为3，向量组(II) 的秩为3，向量组(III) 的秩为4，证明向量组的秩为4。证明：向量组的秩为3，向量组的秩为3，所以为向量组的一个极大无关组，因此可唯一的由线性表示；2分假设向量组的秩不为4，又因为向量组的秩为3，所以向量组的秩为3，因此也可唯一的由线性表示；4分因此可唯一的由线性表示，而向量组的秩为4，即线性无关，因此不能由线性表示，矛盾，因此向量组的秩为4。5分武汉科技大学2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1满足下列条件的行列式不一定为零的是（ A ）。(A）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;（B）行列式中有两行（列）元素完全相同; （C）行列式中有两行（列）元素成比例; （D）行列式中等于零的个数大于个.2下列矩阵中（ C ）不满足。(A）; （B）; （C）; （D）.3. 设为同阶可逆方阵,则( D )。(A)； (B) 存在可逆矩阵；(C) 存在可逆矩阵； (D) 存在可逆矩阵.4向量组线性无关的充分必要条件是（ D ）（A）均不为零向量； （B）中有一部分向量组线性无关；（C）中任意两个向量的分量不对应成比例；（D）中任意一个向量都不能由其余个向量线性表示。5零为方阵A的特征值是A不可逆的（ B ）。（A）充分条件； （B）充要条件; （C）必要条件; （D）无关条件.二、填空题（每小题3分，共15分）6设，则= 0 。7已知设则；8设是三阶方阵，且，则 27 ；9已知向量组则该向量组的秩为 2 ;10. 已知，且于相似，则 6 。三、计算题（每小题10分，共50分）11 解： 5分 8分 10分12已知3阶非零矩阵的每一列都是方程组 的解.求的值；证明.解：因为非零矩阵的每一列都是齐次方程组的解，所以齐次线性方程组有非零解，即 5分由题意可得， 8分 因为，所以，即不可逆，所以 10分注：第二问也可以用反证法，方法对即可。13设3阶矩阵满足等式,其中求矩阵。解： 3分 8分所以。 10分14求向量组的秩及最大无关组。解：， 6分所以，任意两个不成比例的向量组均是的一个极大无关组。 10分15. 设 1.求二次型所对应的矩阵； 2. 求的特征值和对应的特征向量。解：1. 二次型所对应的矩阵， 3分2（二重） 6分 当时，所以为对应的特征向量。 8分当时，所以为对应的特征向量。 10分四、解答题（10分）16 ， 已知向量试讨论为何值时（1）不能用线性表示；（2）可由唯一地表示，并求出表示式；（3）可由表示，但表示式不惟一，并求出表示式.解：问题转化为方程组求解问题增广矩阵 5分（1）时,(若则,若则) 方程组无解，即不能用线性表示 6分（2）时，方程组有唯一解，即可由唯一地表示，求表示式： 8分（3）时，可由表示，但表示式不惟一，求表示式：， 10分五、证明题（每小题5分，共10分）17设是一组维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示。证明：充分性：是一组维向量，任一维向量都可由它们线性表示。因此有可由线性表示，因此有线性无关。 3分必要性：线性无关，因此有线性相关，即有惟一解，所以向量可由向量组线性表示，由的任意性可得任一维向量都可由线性表示。 5分18设为对称矩阵，为反对称矩阵，且可交换，可逆，证明：是正交矩阵。证明：为对称矩阵，为反对称矩阵，可交换， 2分 4分 所以是正交矩阵。 5分