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高二年级期末测试 数学（理科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案直接填写在答题卡相 应位置上.1. 已知复数 z 满足 z(1 + 2i) = 2 - i ， i 为虚数单位，则复数 z 的模为 .2. 若以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点 A 的极坐标 化成直角坐标为.(2, ) 30 13. 若曲线x2 + y2 =1在矩阵2 0 对应的变换下变为一个椭圆，则椭圆的离心率为 .4. 已知随机变量 X 的分布表如下所示，则实数 x 的值为 .X123Px214x y = -4t5. 将参数方程x = 2t + 1 ( t 为参数)化成普通方程为 .1010116. 计算C5 + C4 - C6 的结果为 .高二理科数学 第 10 页共 4 页( , , 0)7. 若平面a 的一个法向量为 1 12 2，直线l 的方向向量为(1, 0,1) ，则l 与a 所成角的大小为 .8. 已知某运动队有男运动员 4 名，女运动员 3 名，若现在选派 3 人外出参加比赛，则选出的 3 人中男运动员比女运动员人数多的概率是 .9. 若(x3 +a )6 的展开式中 x4 的系数为 240，则实数a 的值为 .x10.设向量 a = (1, 2,l),b = (2, 2, -1) ，若cosa, b = 4 ，则实数l 的值为.911. 观察下列恒等式:1tana= tana +2；tan 2a1tana= tana + 2 tan 2a +4；tan 4a1tana= tana + 2 tan 2a + 4 tan 4a +8；tan 8a请你把结论推广到一般情形,则得到的第n 个等式为 .88888812. 已知集合 A=C0,B=C1,C2,D=C4 ,C5 ,C6，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为 .x2213. 若实数 x, y 满足+ y4= 1 ，则(x + 1)(2 y + 1) 的取值范围是 .14. 当 x 1时，等式11 + x= 1 - x + x2 + + (-x)n + 恒成立，根据该结论，当 x 0，a R) ， i 为虚数单位，且复数 z +为实数z（1） 求复数 z ；（2） 在复平面内，若复数(m + z)2 对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围16. （本题满分 14 分）已知矩阵 M = ab1 对应的变换将点 P(1, 2) 变换成 P(4, 5) 2（1） 求矩阵 M 的逆矩阵 M -1 ；（2） 求矩阵 M 的特征向量17. （本题满分 14 分） y = 2 + 4sina在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为x = 1 + 4cosa ,( a 为参数).（1） 求曲线C 的普通方程；（2） 在以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为r sin(q + p ) = 11 2 ，过直线l 上一点 P 引曲线C 的切线，切点为M ，求 PM 的42最小值.18. （本题满分 16 分）已知某盒子中共有 6 个小球，编号为 1 号至 6 号，其中有 3 个红球、2 个黄球和 1 个绿球，这些球除颜色和编号外完全相同（1） 若从盒中一次随机取出 3 个球，求取出的 3 个球中恰有 2 个颜色相同的概率；（2） 若从盒中逐一取球，每次取后立即放回，共取 4 次，求恰有 3 次取到黄球的概率；（3） 若从盒中逐一取球，每次取后不放回，记取完黄球所需次数为 X，求随机变量 X的分布列及数学期望E( X ) 19. （本题满分 16 分）如图，在三棱锥V - ABC 中， AB = AC ， D 为 BC 的中点，VO 平面ABC ， 垂足O 落在线段 AD 上， E 为DVBC 的重心，已知 BC = 6,VO = 3,OD = 1, AO = 2 .（1） 证明： OE / 平面VAC ；（2） 求异面直线 AC与OE 所成角的余弦值；（3） 设点 M 在线段VA上，使得VM = lVA，试确定l 的值，使得二面角 A - MB - C为直二面角. 20. （本题满分 16 分）ACB(第 19 题）nF(x) = 1 Ck -1Cm xk (1- x)n-k ,(nkm n km N).设函数k =3 kn-1 k ， 、 、n kn n-m（1） 化简: Ck Cm - CmCk -m (n k m，n、k、mN) ；n（2） 已知 F(x) = 1 Ck -1Cmxk (1- x)n-k = am xm , 求a 表达式；k =m kn (-1)k +1n-1 knm 1 1 1（3） 设 An = a= - a + a - a +,k =2k234A 1 + 1 +请用数学归纳法证明不等式 2n+1n +1n + 2.高二年级期末调研测试理科数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1. 1 2. 3. 4. 5. 6. 0 7. 8. 9. 10.11. 12.3313. 14.二、解答题：在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.解答（1），则 2分， 5分 7分（2）由题意：, 9分 复数对应点坐标11分 复数对应的点在第一象限, , 所以 14分16.解：（1）由题意得，即，解得，所以，3分6分（2）矩阵的特征多项式为f()(1)(3)令f()0，解得11，238分当1时， 得令x1，则y1，于是矩阵的一个特征向量为10分当3时，由 得令x1，则y1，于是矩阵的一个特征向量为综上，矩阵的特征向量为和14分17.解.（1）由得又所以综上曲线的普通方程.4分（2）由得即.6分又直线的直角坐标方程为.8分由（1）知曲线为圆且圆心坐标为，半径为切线长当取最小时，取最小.10分而的最小值即为到直线的距离到直线的距离为.12分所以的最小值为4.14分18(1)如图，方法一：连接，因为是的重心，是的中点，即，又所以，又因为，所以 . 3分方法二：以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系则， ， 的重心，设，即即，因为所以，即又因为，所以 . 3分2) ， 所以异面直线所成角的余弦值 . 6分3)，则，=， .8分设平面ABV的法向量为，平面CMB的法向量为由 得即， 可取 . 11分由 得即， 可取 .14分由得解得 .16分19.解：（1）从盒中一次随机取出个球，记取出的3个球中恰有2个颜色相同为事件 则 答 取出的个球颜色相同的概率.3分（2）盒中逐一取球，取后立即放回，每次取到黄球的概率为记取4次恰有3次黄球为事件则答 取4次恰有3次黄球的概率.6分（3）的可能取值为2，3，4，5，6则， ，.11分 的分布列为23456 .14分所以的数学期望.16分20.解答:(1) .4分(2)由（1）得到: 令得到：， 即: .6分 . .9分 (3) 所以 : (1)式+(2)式得到: . .12分用数学归纳法证明不等式, 1）当时，,结论成立.2）假设时，结论成立,即:, 那么当时， 所以当结论也成立,根据1）、2）不等式恒成立. .16分
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