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2.1不等关系与不等式最新考纲考情考向分析了解不等关系，掌握不等式的基本性质.以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合属低档题.1两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，bR)(2)作商法 (aR，b0) 2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbc可乘性acbc注意c的符号acbd同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0(nN，n2)a，b同为正数概念方法微思考1若ab，且a与b都不为0，则与的大小关系确定吗？提示不确定若ab，ab0，则0b，则，即正数大于负数2两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以相加但不一定能相乘，例如21，13.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，a1，则ab.()(3)一个不等式的两边同加上或同乘同一个数，不等号方向不变()(4)ab0，cd0.()(5)ab0，ab0”是“a2b20”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析0aba2b2，但由a2b200.3P74T3设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是()AacbdBacbdDadbc答案C解析由同向不等式具有可加性可知C正确题组三易错自纠4若ab0，cd0B.D.答案D解析cd0，0dc，又0ba，bdac，又cd0，即.5设a，bR，则“a2且b1”是“ab3且ab2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若a2且b1，则由不等式的同向可加性可得ab213，由不等式的同向同正可乘性可得ab212.即“a2且b1”是“ab3且ab2”的充分条件；反之，若“ab3且ab2”，则“a2且b1”不一定成立，如a6，b.所以“a2且b1”是“ab3且ab2”的充分不必要条件故选A.6若，则的取值范围是_答案(，0)解析由，得0.题型一比较两个数(式)的大小例1(1)若a0，b0，则p与qab的大小关系为()ApqDpq答案B解析(作差法)pqab(b2a2)，因为a0，b0，所以ab0.若ab，则pq0，故pq；若ab，则pq0，故pb0，比较aabb与abba的大小解ab，又ab0，故1，ab0，ab1，即1，又abba0，aabbabba，aabb与abba的大小关系为：aabbabba.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：作差；变形；定号；结论(2)作商法：作商；变形；判断商与1的大小关系；结论(3)函数的单调性法跟踪训练1(1)已知pR，M(2p1)(p3)，N(p6)(p3)10，则M，N的大小关系为_答案MN解析因为MN(2p1)(p3)(p6)(p3)10p22p5(p1)240，所以MN.(2)若a0，且a7，则()A77aa7aa7D77aa与7aa7的大小关系不确定答案C解析77aaa77a，则当a7时，01,7a1，77aa7aa7；当0a1,7a0，则7a1，77aa7aa7.综上，77aa7aa7.题型二不等式的性质例2(1)若a，b，cR，则下列说法正确的是()A若ab，则acbcB若ab，则b，则a2b2D若ab，则ac2bc2答案A解析当a0b时，B不正确，当0ab时，C不正确，当c0时，D不正确，由不等式的性质知A正确，故选A.(2)已知四个条件：b0a；0ab；a0b；ab0，能推出b，ab0，正确又正数大于负数，所以正确思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件跟踪训练2(1)已知a，b，c满足cba，且acacBc(ba)0Ccb20答案A解析由cba且ac0，知c0.由bc，得abac一定成立(2)若0，则下列不等式：ab|b|；ab；abb2中，正确的不等式有_(填序号)答案解析因为0，所以ba0，ab0，所以abab，|a|b|，在ba两边同时乘b，因为b0，所以abb0，给出下列四个不等式：a2b2；2a2b1；a3b32a2b.其中一定成立的不等式为()ABCD答案A解析方法一由ab0可得a2b2，成立；由ab0可得ab1，而函数f(x)2x在R上是增函数，f(a)f(b1)，即2a2b1，成立；ab0，()2()222b2()0，成立；若a3，b2，则a3b335,2a2b36，a3b3b2，2a2b1，均成立，而a3b32a2b不成立，故选A.命题点2求代数式的取值范围例4已知1x4,2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_答案(4,2)(1,18)解析1x4,2y3，3y2，4xy2.由1x4,2y3，得33x12,42y6，13x2y18.引申探究1若将本例条件改为1xy3，求xy的取值范围解1x3，1y3，3y1，4xy4.又xy，xy0，4xy0，故xy的取值范围为(4,0)2若将本例条件改为1xy4,2xy3，求3x2y的取值范围解设3x2ym(xy)n(xy)，则即3x2y(xy)(xy)，又1xy4,2xy3，(xy)10,1(xy)，(xy)(xy)，即3x2y，3x2y的取值范围为.思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法逐一给出推理判断或反例说明结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断(2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围跟踪训练3(1)若abBa2abC.bn答案C解析(特值法)取a2，b1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；C项，|b|(|a|1)|a|(|b|1)|a|b|b|a|b|a|b|a|，ab0，|b|a|成立，故选C.(2)已知2xy5，则yx的取值范围是_答案(0,7)解析2y5，2x5，5x2，7yx7，又x0，0yxb，cd，则acbdB若acbc，则abC若，则ab，cd，则acbd答案C解析A项，取a2，b1，c1，d2，可知A错误；B项，当cbcab，所以B错误；C项，因为0，所以ab，C正确；D项，取ac2，bd1，可知D错误，故选C.2若b2B1baC.bea答案D解析由题意知，ba0，则a2a1，2，baeb0，ba0，beaaeb，aebbea，故选D.3若ab0，则下列不等式中一定成立的是()AabB.CabD.答案A解析取a2，b1，排除B与D；另外，函数f(x)x是(0，)上的增函数，但函数g(x)x在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增，所以，当ab0时，f(a)f(b)必定成立，即abab，但g(a)g(b)未必成立，故选A.4已知xyz，xyz0，则下列不等式成立的是()AxyyzBxzyzCxyxzDx|y|z|y|答案C解析xyz且xyz0，3xxyz0,3z0，zz，xyxz.5(2015浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()AaxbyczBazbycxCaybzcxDaybxcz答案B解析令x1，y2，z3，a1，b2，c3.A项：axbycz14914；B项：azbycx34310；C项：aybzcx26311；D项：aybxcz22913.故选B.6若，满足，则2的取值范围是()A20B2C2D02答案C解析，2.，2.又0，2.故20，则与的大小关系是_答案解析(ab).ab0，(ab)20，0.8已知有三个条件：ac2bc2；a2b2，其中能成为ab的充分条件的是_答案解析由ac2bc2可知c20，即ab，故“ac2bc2”是“ab”的充分条件；当c0时，ab；当a0，b0时，ab的充分条件9(2019杭州模拟)已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：若ab0，bcad0，则0；若ab0，0，则bcad0；若bcad0，0，则ab0.其中正确的命题是_(填序号)答案解析ab0，bcad0，0，正确；ab0，又0，即0，bcad0，正确；bcad0，又0，即0，ab0，正确故都正确10设，T1cos(1)，T2cos(1)，则T1与T2的大小关系为_答案T1T2解析T1T2(cos1cossin1sin)(cos1cossin1sin)2sin1sin0.故T10，求证：；(2)已知cab0，求证：.证明(1)bcad，bd0，11，.(2)cab0，ca0，cb0,00，.12已知1a4,2b8，试求ab与的取值范围解因为1a4,2b8，所以8b2.所以18ab42，即7ab2.又因为，所以2，即2.13已知ABC的三边长分别为a，b，c，且满足bc3a，则的取值范围为()A(1，) B(0,2)C(1,3) D(0,3)答案B解析由已知及三角形三边关系得两式相加，得02n2，所以mn4；结合定义及pq2，可得或即qp2或pq2，所以pq4.15设0bablnaBalnbblnaCaebbeaDaebbea答案B解析观察A，B两项，实际上是在比较和的大小，引入函数y，0x1.则y，可见函数y在(0,1)上单调递增所以，B正确对于C，D两项，引入函数f(x)，0x1，则f(x)0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，又因为0ba1，所以f(a)f(b)，即bea，故选B.16(2018浙江衢州二中模拟)已知非负实数a，b，c满足abc1，求(ca)(cb)的取值范围解因为a，b，c为非负实数，且abc1，则ab1c,0c1，故|(ca)(cb)|ca|cb|c21，即1(ca)(cb)1；又(ca)(cb)c2(1c)cab22.综上，(ca)(cb)1.
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