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专题跟踪检测（十二） 直线与圆一、全练保分考法保大分1过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A2xy50B2xy70Cx2y50 Dx2y70解析：选B过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，点(3,1)在圆(x1)2y2r2上，圆心与切点连线的斜率k，切线的斜率为2，则圆的切线方程为y12(x3)，即2xy70.2圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的负半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为2，则圆C的标准方程为()A(x2)2(y)28B(x)2(y2)28C(x2)2(y)28D(x)2(y2)28解析：选A法一：设圆心为(r0)，半径为r.由勾股定理()22r2，解得r2，圆心为(2，)，圆C的标准方程为(x2)2(y)28.法二：四个圆的圆心分别为(2，)，(，2)，(2，)，(，2)，将它们逐一代入x2y0，只有A选项满足3已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2.则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交C外切 D相离解析：选B由题意知圆M的圆心为(0，a)，半径Ra，因为圆M截直线xy0所得线段的长度为2，所以圆心M到直线xy0的距离d(a0)，解得a2，即圆M的圆心为(0,2)，又知圆N的圆心为(1,1)，半径r1，所以|MN|，则Rr0)，则r64，所以圆C的方程为(x4)2y216.法二：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x10，x20)，由题设知xyxy.又y2x1，y2x2，故x2x1x2x2，即(x1x2)(x1x22)0，由x10，x20，可知x1x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上设点C的坐标为(r,0)(r0)，则点A的坐标为，于是22r，解得r4，所以圆C的方程为(x4)2y216.7设M，N分别为圆O1：x2y212y340和圆O2：(x2)2y24上的动点，则M，N两点间的距离的取值范围是_解析：圆O1的方程可化为x2(y6)22，其圆心为O1(0,6)，半径r1.圆O2的圆心O2(2,0)，半径r22，则|O1O2|2，则|MN|max22，|MN|min22，故M，N两点间的距离的取值范围是22，22答案：22，228过点P(3,1)，Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2y21相切，则a的值为_解析：点P(3,1)关于x轴对称的点为P(3，1)，所以直线PQ的方程为x(a3)ya0，由题意得直线PQ与圆x2y21相切，所以1，解得a.答案：9已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_解析：由题意，设所求的直线方程为xym0，圆心坐标为(a,0)(a0)，则由题意知22(a1)2，解得a3或1(舍去)，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以30m0，解得m3，故所求的直线方程为xy30.答案：xy3010(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1或k1(舍去)因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.11(2018成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线：yx2mx2m(mR)与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点解：由曲线：yx2mx2m(mR)，令y0，得x2mx2m0.设A(x1,0)，B(x2,0)，则可得m28m0，解得m8或m0，又圆C与y轴相切，所以圆C的半径ra，所以圆C的方程为(xa)2y2a2.因为点M(1，)在圆C上，所以(1a)2()2a2，解得a2.所以圆C的方程为(x2)2y24.(2)证明：记直线OA的斜率为k(k0)，则其方程为ykx.联立消去y，得(k21)x24x0，解得x10，x2.所以A.由kkOB2，得kOB，直线OB的方程为yx，在点A的坐标中用代换k，得B.当直线l的斜率不存在时，得k22，此时直线l的方程为x.当直线l的斜率存在时，即k22，则直线l的斜率为.故直线l的方程为y，即y，所以直线l过定点.综上，直线l恒过定点，定点坐标为.二、强化压轴考法拉开分1已知圆C：x2y21，点P(x0，y0)在直线l：3x2y40上，若在圆C上总存在两个不同的点A，B，使，则x0的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C如图，OP与AB互相垂直平分，圆心到直线AB的距离1，xy4.又3x02y040，y02x0，代入得x24，解得0x00，m0，得b222k2.由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.由k1k23，得(kx1b)(kx2b)3x1x2，即(k23)x1x2bk(x1x2)b20.将代入，整理得b23k2.由得b23k20，解得k.由和，解得k.要使k1，k2，k有意义，则x10，x20，所以0不是方程(*)的根，所以b220，即k1且k1.由，得k的取值范围为，1)(1，
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